রৈখিক সংমিশ্রনের অধীনে কি স্টেশনারিটি সংরক্ষণ করা হয়?

Question

কল্পনা করুন আমাদের দুটি সময়-সিরিজ প্রক্রিয়া রয়েছে, যা স্থির, উত্পাদক: ।$x_t,y_t$

কি , এছাড়াও নিশ্চল? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

কোন সাহায্য প্রশংসা করা হবে।

আমি হ্যাঁ বলব, যেহেতু এটির এমএ প্রতিনিধিত্ব রয়েছে।

Comments

এটি এমএ হওয়ার নিশ্চয়তা কেন? স্থিতিশীল এআর প্রক্রিয়া আছে। যেভাবেই হোক, আপনি যদি বিআইবিও স্থিতিশীলতার কথা বলছেন তবে হ্যাঁ যোগফল তুচ্ছ স্থিতিশীল কারণ আপনি নতুন সীমাটি গণনা করতে পারেন। অ্যাসিপটোটিক স্থিতিশীলতাও ধারণ করে কারণ$\lim_{t \to \infty} z_t = \alpha\lim_{t \to \infty} x_t + \beta\lim_{t \to \infty} y_t$

— স্টিভ কক্স

কিছুটা প্রসারের সাথে সম্পর্কিত: সংখ্যার বিশ্লেষণে দ্রষ্টব্য, আপনি স্থিতিশীলতা অর্জনের জন্য পূর্ব শর্ত (বিশেষ লৈখিক রূপান্তর) যা ব্যবহার করেন তাই আমি উত্তরটি হ্যাঁ সন্দেহ করি।

— সার্ভে

Answer 1

সম্ভবত আশ্চর্যের বিষয়, এটি সত্য নয়। (দুটি সময়ের সিরিজের স্বাধীনতা তবে এটি সত্য করে দেবে))

স্টেশনারি বোঝাতে আমি "স্থিতিশীল" বুঝি , কারণ এই শব্দগুলি আমাদের সাইটে কমপক্ষে একটি সহ কয়েক মিলিয়ন অনুসন্ধানের হিটগুলিতে বিনিময়যোগ্য হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছিল বলে মনে হয় ।

একটি counterexample জন্য, দিন একটি অ-ধ্রুবক নিশ্চল সময় সিরিজ, যার জন্য যে হতে স্বাধীন , যার প্রান্তিক ডিস্ট্রিবিউশন প্রতিসম চারপাশে আছে । নির্ধারণ করাএক্স টি এক্স এস এস ≠ টি , $X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

এই প্লটগুলি এই পোস্টে আলোচিত তিনটি সময়ের সিরিজের অংশগুলি দেখায়। একটি সাধারণ সাধারণ বিতরণ থেকে স্বাধীন অঙ্কনের সিরিজ হিসাবে অনুকরণ করা হয়েছিল।$X$

স্থিতিশীল তা দেখানোর জন্য, আমাদের দেখানোর দরকার যে যে কোনও এর যৌথ বিতরণ উপর নির্ভর করে না । তবে এটি সরাসরি এর প্রতিসাম্য এবং স্বাধীনতা থেকে অনুসরণ করে । ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , … , Y s + t n ) টি 1 < টি 2 < ⋯ < t n এস এক্স $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

এই lagged scatterplots (এর 512 মান একটি ক্রম জন্য ) কথন রয়েছে তা যুগ্ম bivariate ডিস্ট্রিবিউশন চিত্রিত স্বাধীন ও প্রতিসম: যেমন আশা করা যায়। (একটি "lagged scatterplot" প্রদর্শন মান বিরুদ্ধে ; মান দেখানো হয়।)Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , $Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

তা সত্ত্বেও, নির্বাচন , আমরা$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

এমনকি এবং অন্যথায়$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

যেহেতু অ-ধ্রুবক তাই স্পষ্টতই এই দুটি এক্সপ্রেশনটির যেকোন এবং জন্য আলাদা আলাদা বিতরণ রয়েছে , সুতরাং সিরিজটি স্থির নয়। প্রথম চিত্রের রঙগুলি বাকীটি থেকে শূন্য মানগুলি আলাদা করে এই অ-স্টেশনারিটি হাইলাইট করে।টি টি + + 1 ( এক্স + + ওয়াই ) / 2 ( এক্স + + ওয়াই ) /$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Comments

দুটি সময়ের সিরিজের স্বাধীনতা অবশ্যই যথেষ্ট শর্ত। কিন্তু যৌথ স্টেশনারিটির দুর্বল প্রয়োজনীয়তাও কি যথেষ্ট হবে না?

— দিলিপ সরোতে

হ্যাঁ, এটি ঠিক ডিলিপ আপনাকে এই পর্যবেক্ষণের জন্য ধন্যবাদ।

— whuber

Answer 2

দ্বিমাত্রিক প্রক্রিয়াটি বিবেচনা করুন

$$w_t = (x_t, y_t)$$

যদি কঠোরভাবে নিশ্চল, বা অন্যভাবে, যদি প্রসেস হয় এবং হয় যৌথভাবে কঠোরভাবে নিশ্চল , তারপর একটি প্রক্রিয়া কোন পরিমাপযোগ্য ফাংশন দ্বারা গঠিত কঠোরভাবে স্থির হবে।( y t ) f : = f ( x t , y t ) , f : R 2 → $(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

@ হুবুহু উদাহরণ হিসাবে আমাদের আছে

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

এই কঠোরভাবে স্থিতিশীল কিনা তা পরীক্ষা করতে আমাদের প্রথমে এর সম্ভাব্যতা বন্টন করতে হবে। ধরুন ভেরিয়েবলগুলি একেবারে অবিচ্ছিন্ন। কিছু , আমাদের আছে গ ∈ $w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

হুবার উদাহরণের সাথে যুক্ত, দুটি শাখার বিভিন্ন সম্ভাবনা বিতরণ কারণ এর শূন্যের কাছাকাছি একটি বিতরণ প্রতিসাম্য রয়েছে। $x_t$

এখন কঠোর স্টেশনারিটি পরীক্ষা করতে, পুরো সংখ্যা দ্বারা সূচকটি স্থানান্তর করুন । আমাদের আছে$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

কঠোর স্টেশনারিটির জন্য, আমাদের অবশ্যই থাকতে হবে

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

এবং আমাদের মধ্যে এই সমতা নেই , কারণ, বলুন, যদি সমান হয় এবং বিজোড় হয়, তবে বিজোড় হয়, এক্ষেত্রে$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

যখন

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

সুতরাং আমাদের যৌথ কঠোর স্টেশনারিটি নেই এবং তারপরে এর কোনও কার্যক্রমে কী ঘটবে সে সম্পর্কে আমাদের কোনও গ্যারান্টি নেই । $f(x_t,y_t)$

আমি উল্লেখ করতে হবে যে এবং মধ্যে নির্ভরতা যৌথ কঠোর ক্ষতি হ্রাসের জন্য প্রয়োজনীয় তবে পর্যাপ্ত শর্ত নয়। এর নির্ভরতার অতিরিক্ত ধারনা ।$x_t$$y_t$$y_t$

বিবেচনা

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

যদি কেউ জন্য পূর্ববর্তী কাজ করে তবে একজন দেখতে পাবে যে এখানে যৌথ কঠোর স্তরের অবস্থান রয়েছে।$(q_t)$

এটি সুসংবাদ কারণ সূচকের উপর নির্ভর করার জন্য এবং কঠোরভাবে স্থির থাকতে কোনও প্রক্রিয়া মডেলিং অনুমানগুলির মধ্যে আমাদের মধ্যে নেই যা আমাদের প্রায়শই প্রয়োজন। তাই বাস্তবে, যদি আমাদের প্রান্তিক কঠোর স্টেশনারিটি থাকে তবে আমরা নির্ভরতার উপস্থিতিতেও যৌথ কঠোর স্টেশনারিটি আশা করি (যদিও আমাদের অবশ্যই চেক করা উচিত।)

Answer 3

আমি হ্যাঁ বলব, যেহেতু এটির এমএ প্রতিনিধিত্ব রয়েছে।

একটি পর্যবেক্ষণ। আমি মনে করি যে এমএ উপস্থাপনা হ'ল দুর্বল স্থিতিশীলতা বোঝায়, নিশ্চিত নয় যে এটি দৃ strong় স্টেশনারিটি বোঝায় কিনা।

Comments

পুনরায় "আমি কল্পনা করতে পারি না": অনুগ্রহ করে আমার উত্তরটি দেখুন।

— হোয়বার

অনলুপ, কঠোর স্টেশনারিটির সাথে সম্পর্কিত অংশটি সরিয়ে ফেলুন এবং কেবল দুর্বল স্টেশনারিটি সম্পর্কিত এটি ছেড়ে দিন। আমি আপনাকে একটি +1 দেব, যেহেতু এটি আমাকেও সহায়তা করেছিল। ;)

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধা।

@Anoldmaninthesea। এটার মত?

— অনেলুপ

হ্যাঁ, এরকম এমএ উপস্থাপনা প্রকৃতপক্ষে দুর্বল স্থিরতা বোঝায়।

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধ।

এটি স্বল্প মানের হিসাবে স্বয়ংক্রিয়ভাবে পতাকাঙ্কিত করা হচ্ছে, সম্ভবত এটি খুব ছোট। বর্তমানে এটি আমাদের স্ট্যান্ডার্ডের উত্তরগুলির চেয়ে কমেন্টের চেয়ে বেশি। আপনি কি এটি প্রসারিত করতে পারেন? আপনি এটিকে একটি মন্তব্যেও পরিণত করতে পারেন।

— গুং - মনিকা পুনরায়