বহুজাতিক বিতরণের স্বাভাবিক আনুমানিক পরিমাণ কত?

যদি একাধিক সম্ভাব্য আনুমানিকতা থাকে তবে আমি সর্বাধিক প্রাথমিকের সন্ধান করছি।

normal-distribution multinomial approximation

উত্তর:

দ্বিমুখী বিতরণ যেমন অবিচ্ছিন্ন স্বাভাবিক বন্টন দ্বারা সমানভাবে করা হয় তেমনি আপনি বহুভিত্তিক সাধারণ বিতরণ দিয়ে এটি আনুমানিক করতে পারেন। পরীক্ষা করে দেখুন বিতরণ তত্ত্ব উপাদানসমূহ এবং মাল্টিনমিয়াল বিতরণ পৃষ্ঠাগুলি 15-16-17।

আসুন আপনার সম্ভাব্যতার ভেক্টর হও। তারপরে মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণের গড় ভেক্টর হ'ল । কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হ'ল এক সমমিত ম্যাট্রিক্স। তির্যক উপাদানগুলি আসলে এর ভিন্নতা ; যেমন , । Ith সারি এবং jth কলামে অফ-তির্যক উপাদানটি হ'ল , যেখানে সমান নয় । $P=(p_1,...,p_k)$ $np=(np_1,np_2,...,np_k)$ $k \times k$ $X_i$ $np_i(1-p_i)$ $i=1,2...,k$ $\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$ $i$ $j$

— তাত্ক্ষণিকবাজার
সূত্র

২ য় রেফারেন্স দেখুন।

— স্টেট

স্ট্যাটাস, যাতে এই উত্তরটি নিজেই দাঁড়াতে পারে (এবং লিঙ্ক পচা প্রতিরোধী হতে পারে), আপনি কি সমাধানের একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিতে আপত্তি করবেন?

— হুড়হুড়ি

এটির কি ধারাবাহিকতা সংশোধন দরকার? আপনি কিভাবে এটি প্রয়োগ করবেন?

— জ্যাক এইডলি

কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক নির্দিষ্ট নয়, বরং ইতিবাচক অর্ধ-নির্দিষ্ট, এবং পূর্ণ-পদমর্যাদার নয়। এটি ফলে বহুবিধ বিতরণকে অপরিজ্ঞাত করে তোলে। এই সমস্যার মুখোমুখি হলাম। কিভাবে এটি পরিচালনা করতে কোন ধারণা?

— মোহাম্মদ আলাগান

@ এমআলাগান: এখানে সংজ্ঞায়িত গড় / কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিকগুলির একটি ছোটখাটো সমস্যা রয়েছে: ভেরিয়েবলের সাথে বহুবর্ষীয় বিতরণের জন্য , সমতুল্য মাল্টিভারিয়েট নরমাল ভেরিয়েট রয়েছে। এটি সাধারণ দ্বিপদী উদাহরণে স্পষ্ট হয়, যা (সাধারণ) সাধারণ বন্টন দ্বারা আনুমানিক। আরও আলোচনার জন্য, বিতরণ তত্ত্বের উপাদানসমূহের উদাহরণ 12.7 দেখুন ।

k

$k$

k - 1

$k-1$

— এমএস দৌস্তি 21'17

এই উত্তরে প্রদত্ত ঘনত্বটি হ্রাস পেয়েছে এবং তাই আমি ঘনত্ব গণনা করতে নীচের ব্যবহার করেছি যা সাধারণ আনুমানিক ফলাফল থেকে প্রাপ্ত:

একটা উপপাদ্য একটি দৈব চলক দেওয়া বলেছেন , একটি জন্য -dimensional ভেক্টর সঙ্গে এবং , যে; $X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$ $m$ $p$ $\sum_i p_i = 1$ $\sum_i X_i = n$

X \overset{d}{\to} \sqrt{n} diag (u) Q [\begin{matrix} Z_{1} \\ ⋮ \\ Z_{m - 1} \\ 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} n p_{1} \\ ⋮ \\ n p_{m} \end{matrix}],

$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$

বৃহত , দেওয়া; $n$

সহ একটি ভেক্টর ; $u$ $u_i = \sqrt{p_i}$
, এবং এর জন্য এলোমেলো চলক ; $Z_i \sim N(0,1)$ $i = 1, \ldots, m-1$
চূড়ান্ত কলাম সহ একটি অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স । $Q$ $u$

এর অর্থ, কিছুটা পুনর্বিন্যাসের সাথে আমরা প্রথম উপাদানগুলির জন্য একটি মাত্রিক মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণ কাজ করতে পারি (যা কেবলমাত্র আকর্ষণীয় উপাদান কারণ অন্যদের যোগফল)। $m-1$ $m-1$ $X$ $X_m$

ম্যাট্রিক্স এর উপযুক্ত মান হ'ল সহ - অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট গৃহস্থালি রূপান্তর। $Q$ $I - 2 v v^T$ $v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

যদি আমরা বাম-হাতের সীমাটি প্রথম সারিগুলিতে সীমাবদ্ধ করে থাকি এবং তার প্রথম সারি এবং কলামগুলিতে সীমাবদ্ধ করি ( যথাক্রমে এই এবং den বোঝায় ): $m-1$ $Q$ $m-1$ $m-1$ $\hat{X}$ $\hat{Q}$

\hat{X} \overset{d}{\to} \sqrt{n} diag (\hat{u}) \hat{Q} [\begin{matrix} Z_{1} \\ ⋮ \\ Z_{m - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} n p_{1} \\ ⋮ \\ n p_{m - 1} \end{matrix}] \sim N (μ, n Σ),

$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$

বৃহত , যেখানে; $n$

$\hat{u}$ প্রথম উল্লেখ করে পদ ; $m-1$ $u$
হ'ল , এবং; $\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স দিয়ে । $n \Sigma = n A A^T$ $A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

চূড়ান্ত সমীকরণের ডান হাতটি হ'ল গণনায় ব্যবহৃত হ্রাস-অ-ঘনত্ব।

যেমনটি প্রত্যাশা করা হয়েছিল, আপনি যখন সমস্ত কিছু প্লাগ ইন করেন, আপনি নিম্নলিখিত কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স পান:

(n Σ)_{i j} = n \sqrt{p_{i} p_{j}} (δ_{i j} - \sqrt{p_{i} p_{j}})

$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$

জন্য , যা ঠিক তার প্রথম অবধি সীমিত মূল উত্তরে সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স সারি এবং কলাম। $i,j = 1, \ldots, m-1$ $m-1$ $m-1$

এই ব্লগ এন্ট্রি আমার সূচনা পয়েন্ট ছিল।

— stephematician
সূত্র

আরেকটি দরকারী সংস্থানটি এতে সরবরাহিত লিঙ্কগুলি হ'ল

— ধাপে

ভাল উত্তর (+1) --- নোট করুন যে আপনি সিনট্যাক্সের সাথে লিঙ্কগুলি এম্বেড করতে পারেন [textual description](hyperlink)। আপনার লিঙ্কগুলি এম্বেড করতে আমি এই উত্তরটি সম্পাদনা করার স্বাধীনতা নিয়েছি।

— বেন - মনিকা