UMVUE অস্তিত্ব ও এর মূল্নির্ধারক পছন্দমত উপর মধ্যে জনসংখ্যা

আসুন জনসংখ্যার যেখানে drawn থেকে আঁকা একটি এলোমেলো নমুনা হোক । $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $\mathcal N(\theta,\theta^2)$ $\theta\in\mathbb R$

আমি UMVUE সন্ধান করছি । $\theta$

যুগ্ম ঘনত্ব হয় $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{θ \sqrt{2 π}} \exp [- \frac{1}{2 θ^{2}} (x_{i} - θ)^{2}] \\ = \frac{1}{(θ \sqrt{2 π})^{n}} \exp [- \frac{1}{2 θ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ)^{2}] \\ = \frac{1}{(θ \sqrt{2 π})^{n}} \exp [\frac{1}{θ} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \frac{1}{2 θ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - \frac{n}{2}] \\ = g (θ, T (x)) h (x) \forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in R^{n}, \forall θ \in R \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\theta\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right] \\&=g(\theta,T(\mathbf x))h(\mathbf x)\qquad\forall\,(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb R^n\,,\forall\,\theta\in\mathbb R \end{align}$

, যেখানে এবং । $g(\theta, T(\mathbf x))=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right]$ $h(\mathbf x)=1$

এখানে, উপর নির্ভর করে এবং এর মাধ্যমে এবং স্বাধীন । সুতরাং ফিশার-নেইম্যান ফ্যাক্টরিয়েশন উপপাদ্য দ্বারা দ্বি-মাত্রিক স্ট্যাটিস্টিক জন্য যথেষ্ট । $g$ $\theta$ $x_1,\cdots,x_n$ $T(\mathbf x)=\left(\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i^2\right)$ $h$ $\theta$ $T(\mathbf X)=\left(\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{i=1}^nX_i^2\right)$ $\theta$

তবে সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান নয়। এর কারণ $T$

E_{θ} [2 {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} - (n + 1) \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}] = 2 n (1 + n) θ^{2} - (n + 1) 2 n θ^{2} = 0 \forall θ

$E_{\theta}\left[2\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2-(n+1)\sum_{i=1}^nX_i^2\right]=2n(1+n)\theta^2-(n+1)2n\theta^2=0\qquad\forall\,\theta$

এবং ফাংশন অভিন্ন শূন্য নয়। $g^*(T(\mathbf X))=2\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2-(n+1)\sum_{i=1}^nX_i^2$

তবে আমি জানি যে একটি ন্যূনতম পর্যায়ে পরিসংখ্যান। $T$

আমি নিশ্চিত নই তবে আমি মনে করি এই বাঁকানো ঘনিষ্ঠ পরিবারের জন্য একটি সম্পূর্ণ পরিসংখ্যানের অস্তিত্ব থাকতে পারে। তাহলে আমি কীভাবে UMVUE করব? যদি একটি সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান উপস্থিত না থাকে তবে কোনও পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলনকারী ( এই ক্ষেত্রে মতো ) যা ন্যূনতম পর্যায়ে পরিসংখ্যানের ফাংশন তা ইউএমভিউ হতে পারে? (সম্পর্কিত থ্রেড: নিরপেক্ষ অনুমানককে UMVUE হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তটি কী? ) $\bar X$

আমি যদি থিতার সেরা লিনিয়ার নিরপেক্ষ নির্ণায়ক (BLUE) বিবেচনা করি ? নীল কি উম্মু হতে পারে? $\theta$

ধরুন আমি রৈখিক পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক বিবেচনা এর যেখানে এবং । যেহেতু আমরা জানি যে কি । আমার ধারণাটি হ'ল হ্রাস করতে হবে যাতে নীল । হায় তাহলে UMVUE হতে ? $T^*(\mathbf X)=a\bar X+(1-a)cS$ $\theta$ $c(n)=\sqrt{\frac{n-1}{2}}\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$ $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$ $E_{\theta}(cS)=\theta$ $\text{Var}(T^*)$ $T^*$ $\theta$ $T^*$ $\theta$

আমি উপর ভিত্তি করে একটি রৈখিক পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক নিয়েছি এবং হিসাবে এছাড়াও জন্য যথেষ্ট । $\bar X$ $S$ $(\bar X,S^2)$ $\theta$

সম্পাদনা:

কাজ অনেক প্রকৃতপক্ষে হিসেব মধ্যে সম্পন্ন করা হয়েছে আরো সাধারণভাবে পরিবার যেখানে পরিচিত হয়। নীচে কয়েকটি সর্বাধিক প্রাসঙ্গিক উল্লেখ রয়েছে: $\theta$ $\mathcal N(\theta,a\theta^2)$ $a>0$

গ্লিজার / হিলির দ্বারা পরিচিত গুণাগুণ সহ একটি সাধারণ বিতরণের গড় অনুমান করা ।
আরএ খান কর্তৃক বৈচিত্র্যের জ্ঞাত সহগ সহ একটি সাধারণ বিতরণের গড় অনুমানের উপর একটি নোট ।
আর এ খান কর্তৃক বৈচিত্র্যের জ্ঞাত সহগ সহ একটি সাধারণ বিতরণের গড় অনুমানের বিষয়ে একটি মন্তব্য ।
এই অধ্যায় এক্সট্রাক্ট।

আমি ক্যাসেলা / বার্জার দ্বারা স্ট্যাটিস্টিকাল ইনফারেন্স থেকে এই অনুশীলনের মধ্যে এই রেফারেন্সগুলির মধ্যে প্রথমটি পেয়েছি :

আমার প্রশ্ন যদিও এই অনুশীলন সম্পর্কে নয়।

চূড়ান্ত নোট (অধ্যায়ের নিষ্কর্ষ) বলে যে ন্যূনতম পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান সম্পূর্ণ না হওয়ায় থটির UMVUE উপস্থিত নেই $\theta$ । আমি জানতে চাই যে আমাদের পরিপূর্ণভাবে পরিসংখ্যান খুঁজে পাওয়া যায়নি বলে কেবল একটি উম্মুয়ের উপস্থিতি নেই বলে এই সিদ্ধান্ত নিতে কী সক্ষম করে ? এ সম্পর্কিত কি কোনও সম্পর্কিত ফলাফল আছে? লিঙ্কযুক্ত থ্রেডে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান উপস্থিত না থাকলেও আমি UMVUE এর অস্তিত্ব দেখি।

এখন ধরে নিই যে অভিন্ন ন্যূনতম বৈকল্পিক নিরপেক্ষ অনুমানকটির অস্তিত্ব নেই, 'সেরা' অনুমানকারী বাছাই করার জন্য আমাদের পরবর্তী মানদণ্ডটি কী হওয়া উচিত? আমরা কি ন্যূনতম এমএসই, নূন্যতম বৈকল্পিক বা এমএলই খুঁজছি? বা মানদণ্ডের পছন্দটি আমাদের অনুমানের উদ্দেশ্যটির উপর নির্ভর করবে?

উদাহরণস্বরূপ, আমি একটি পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক বলার এবং অন্য পক্ষপাতমূলক মূল্নির্ধারক এর । ধরুন এর MSE (যা তার ভ্যারিয়েন্স হয়) যে এর চেয়ে বেশি হয় । যেহেতু এমএসই হ্রাস করার অর্থ একই সাথে পক্ষপাত হ্রাস করা এবং একই সাথে, আমি মনে করি যে পূর্ববর্তী পক্ষপাতদুষ্ট হলেও টি- চেয়ে অনুমানের পছন্দ হওয়া উচিত 'আরও ভাল' । $T_1$ $T_2$ $\theta$ $T_1$ $T_2$ $T_2$ $T_1$

এর অনুমানকারীদের সম্ভাব্য পছন্দগুলি শেষ নোটের 4 নম্বর পৃষ্ঠা থেকে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। $\theta$

নীচের সূত্রটি লেহম্যান / কেসেলা (দ্বিতীয় সংস্করণ, পৃষ্ঠা 87-88) দ্বারা পয়েন্ট অনুমানের থিওরি থেকে এসেছে :

এটি অত্যন্ত সম্ভাবনাময় যে আমি সবকিছুই ভুল বুঝেছি, তবে শেষ বাক্যটি কি বলেছে যে নির্দিষ্ট শর্তে UMVUE এর অস্তিত্বের জন্য সম্পূর্ণ পরিসংখ্যানের অস্তিত্ব প্রয়োজন? যদি তাই হয়, এটি কি আমার দিকে তাকানো উচিত ফলাফল?

আরআর বাহাদুরের কারণে শেষ ফলাফলটি যা শেষে বলা হয়েছে এই নোটটিকে বোঝায় ।

আরও অনুসন্ধান করার পরে, আমি একটি ফলাফল পেয়েছি যা জানিয়েছে যে যদি ন্যূনতম পর্যায়ে পরিসংখ্যান সম্পূর্ণ না হয় তবে একটি সম্পূর্ণ পরিসংখ্যানের অস্তিত্ব নেই। তাই কমপক্ষে আমি যথেষ্ট দৃ convinced় বিশ্বাসী যে এখানে একটি সম্পূর্ণ পরিসংখ্যানের অস্তিত্ব নেই।

আমি অন্য একটি ফলাফল বিবেচনা করতে ভুলে গেছি তা হল মোটামুটি যেটি বলা হয় যে একটি পক্ষপাতহীন অনুমানকারীকে ইউএমভিইউ হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হ'ল এটি অবশ্যই শূন্যের প্রতিটি নিরপেক্ষ অনুমানকটির সাথে সম্পর্কযুক্ত হতে হবে না। আমি এই উপপাদ্যটি ব্যবহার করে এখানে দেখানোর চেষ্টা করেছি যে এখানে কোনও ইউএমভিইউ নেই এবং এটিও যে that মতো একটি নিরপেক্ষ অনুমানকটি ইউএমভিউ নয়। তবে এটি শেষের মতো সাধারণ হিসাবে কাজ করে না, উদাহরণস্বরূপ, এখানে চূড়ান্ত চিত্রণে। $\bar X$

— StubbornAtom
সূত্র

হালনাগাদ:

মূল্নির্ধারক বিবেচনা যেখানে আপনার পোস্টে দেওয়া হয়। এই একজন নিরপেক্ষ মূল্নির্ধারক হয় এবং স্পষ্ট (কোন মানের জন্য নিচে দেওয়া মূল্নির্ধারক সঙ্গে সম্পর্কিত করা হবে )।

\hat{0} = \bar{X} - c S

$\hat 0 = \bar{X} - cS$

c

$c$

0

$0$

a

$a$

সিএন্ডবি থেকে উপপাদ্য .2.২.২৫ দেখায় যে কীভাবে এ একটি খোলামেলা সেট রয়েছে ততক্ষণ পর্যন্ত পরিবারের জন্য পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান সন্ধান করা যায় । দুর্ভাগ্যক্রমে এই বিতরণটি এবং যা (যেহেতু একটি মুক্ত সেট গঠন করে না ) এটির কারণেই এই পরিসংখ্যান জন্য সম্পূর্ণ নয় , এবং এটি একই কারণে আমরা একটি নিরপেক্ষ অনুমানক তৈরি করতে পারি যে কোনও পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানের সাথে সম্পর্কযুক্ত করা হবে

{(w_{1} (θ), \dots w_{k} (θ)}

$\{(w_1(\theta), \cdots w_k(\theta)\}$

R^{k}

$\mathbb R^k$

w_{1} (θ) = θ^{- 2}

$w_1(\theta) = \theta^{-2}$

w_{2} (θ) = θ^{- 1}

$w_2(\theta) = \theta^{-1}$

R^{2}

$R^2$

w_{1} (θ) = w_{2} (θ)^{2}

$w_1(\theta) = w_2(\theta)^2$

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X}, S^2)$

θ

$\theta$

0

$0$

θ

$\theta$ যা পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের ভিত্তিতে তৈরি।

আরেকটি আপডেট:

এখান থেকে তর্কটি গঠনমূলক। এটা ঘটনা অন্য পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক অস্তিত্ব আছে যে হতে হবে যেমন যে অন্তত এক জন্য । $\tilde\theta$ $Var(\tilde\theta) < Var(\hat\theta)$ $\theta \in \Theta$

প্রুফ: ধরা যাক যে , এবং ( কিছু মূল্যের জন্য )। একটি নতুন অনুমানকারী বিবেচনা করুন এই অনুমানকারীটি স্পষ্টভাবে বৈচিত্র্য আসুন । $E(\hat\theta) = \theta$ $E(\hat 0) = 0$ $Cov(\hat\theta, \hat 0) < 0$ $\theta$

\tilde{θ} = \hat{θ} + b \hat{0}

$\tilde\theta = \hat\theta + b\hat0$

V a r (\tilde{θ}) = V a r (\hat{θ}) + b^{2} V a r (\hat{0}) + 2 b C o v (\hat{θ}, \hat{0})

$Var(\tilde\theta) = Var(\hat\theta) + b^2Var(\hat0) + 2bCov(\hat\theta,\hat0)$

M (θ) = \frac{- 2 C o v (\hat{θ}, \hat{0})}{V a r (\hat{0})}

$M(\theta) = \frac{-2Cov(\hat\theta, \hat0)}{Var(\hat0)}$

ধৃষ্টতা করে, সেখানে একটি বিদ্যমান থাকা আবশ্যক যেমন যে । আমরা যদি চয়ন , তারপর এ । অতএব ta থিতাটি UMVUE হতে পারে না। $\theta_0$ $M(\theta_0) > 0$ $b \in (0, M(\theta_0))$ $Var(\tilde\theta) < Var(\hat\theta)$ $\theta_0$ $\hat\theta$ $\quad \square$

সংক্ষেপে বলা: এটা সত্য যে হয় সম্পর্কিত দিয়ে (জন্য কোন পছন্দ ) যে বোঝা আমরা একটি নতুন মূল্নির্ধারক যা বেশী ভালো গঠন করা যেতে পারে অন্তত একটি পয়েন্টের জন্য , এর একরূপতা লঙ্ঘন সেরা পক্ষপাতদুষ্টতার দাবি করে। $\hat\theta$ $\hat0$ $a$ $\hat\theta$ $\theta_0$ $\hat\theta$

আসুন আপনার লিনিয়ার সংমিশ্রণের ধারণাটি আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন।

\hat{θ} = a \bar{X} + (1 - a) c S

$\hat\theta = a \bar X + (1-a)cS$

আপনি চিহ্নিত হিসাবে, একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমানক যেহেতু এটি পর্যাপ্ত (সম্পূর্ণ না হলেও) পরিসংখ্যানের ভিত্তিতে। স্পষ্টতই, এই অনুমানকটি পক্ষপাতহীন, সুতরাং এমএসই গুনতে আমাদের কেবল বৈকল্পিক গণনা করা দরকার। $\hat\theta$

\begin{aligned} M S E (\hat{θ}) & = a^{2} V a r (\bar{X}) + (1 - a)^{2} c^{2} V a r (S) \\ = \frac{a^{2} θ^{2}}{n} + (1 - a)^{2} c^{2} [E (S^{2}) - E (S)^{2}] \\ = \frac{a^{2} θ^{2}}{n} + (1 - a)^{2} c^{2} [θ^{2} - θ^{2} / c^{2}] \\ = θ^{2} [\frac{a^{2}}{n} + (1 - a)^{2} (c^{2} - 1)] \end{aligned}

$\begin{align*} MSE(\hat\theta) &= a^2 Var(\bar{X}) + (1-a)^2 c^2 Var(S) \\ &= \frac{a^2\theta^2}{n} + (1-a)^2 c^2 \left[E(S^2) - E(S)^2\right] \\ &= \frac{a^2\theta^2}{n} + (1-a)^2 c^2 \left[\theta^2 - \theta^2/c^2\right] \\ &= \theta^2\left[\frac{a^2}{n} + (1-a)^2(c^2 - 1)\right] \end{align*}$

পার্থক্য করে, আমরা প্রদত্ত নমুনা আকার জন্য "অনুকূল " খুঁজে পেতে পারি । $a$ $n$

a_{o p t} (n) = \frac{c^{2} - 1}{1 / n + c^{2} - 1}

$a_{opt}(n) = \frac{c^2 - 1}{1/n + c^2 - 1}$ যেখানে

c^{2} = \frac{n - 1}{2} {(\frac{Γ ((n - 1) / 2)}{Γ (n / 2)})}^{2}

$c^2 = \frac{n-1}{2}\left(\frac{\Gamma((n-1)/2)}{\Gamma(n/2)}\right)^2$

এই অনুকূল পছন্দের একটি চক্রান্ত নিচে দেওয়া হয়। $a$

কিছুটা আকর্ষণীয় বিষয় লক্ষণীয় যে , আমাদের কাছে (ওল্ফ্রামালফার মাধ্যমে নিশ্চিত হওয়া) রয়েছে। $n\rightarrow \infty$ $a_{opt}\rightarrow \frac{1}{3}$

এটি যে UMVUE এর কোনও গ্যারান্টি নেই তবে এই অনুমানকটি পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের সমস্ত পক্ষপাতহীন লিনিয়ার সংমিশ্রনের ন্যূনতম বৈকল্পিক অনুমানকারী।

— knrumsey
সূত্র

আপডেটের জন্য ধন্যবাদ. আমি পাঠ্যপুস্তক হিসাবে সিএন্ডবি অনুসরণ করি নি, কেবল অনুশীলনের দিকে তাকিয়েছি।

— জেদীআটম

@ স্টুবর্নআটম আমি প্রমাণ যুক্ত করেছি যে rating থিতাটি কেন উমভিউ করা যায় না (সিএন্ডবি পৃষ্ঠা 344 থেকে খুব বেশি orrowণ নেওয়া হয়েছে)। একবার দেখুন এবং আমাকে জানান যে এটি কিছুটা সহায়তা করে কিনা।

\hat{θ}

$\hat\theta$

— 21