সম্ভাব্যতা যে কি দেওয়া ?

ধরা যাক $X$ এবং $Y$ গড় $\mu=(\mu_1,\mu_2)$ এবং কোভেরিয়েন্স $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$ । সম্ভাব্যতা কি $\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$ ?

probability normal-distribution conditional-probability

— মাইক
সূত্র

@ হুবুহু ধন্যবাদ, তারা এখানে কিছু যুক্ত করছে না বলে আমার চিন্তাভাবনা মুছে ফেলেছে।

— অ্যাডমো

\frac{P r (m < Y | X = m)}{P r (m < Y | X = m) + P r (m < X | Y = m)}

$\frac{Pr(m<Y|X=m)}{Pr(m<Y|X=m)+Pr(m<X|Y=m)}$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

দরকারী লিঙ্ক stats.stackexchange.com/questions/30588/… এটি কি একটি স্ব-অধ্যয়ন প্রশ্ন?

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

এটিকে স্ব-অধ্যয়নের প্রশ্নের মতো মনে হচ্ছে তা নির্বিশেষে সমস্যার বিষয়ে আপনার মতামতগুলি আপনার ভাগ করে নেওয়া উচিত।

— জেদীআটম

উত্তর:

সামান্য আরও সুস্পষ্ট স্বরলিপি , যেখানে একটি আসল সংখ্যা, এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়। যে সেটটির উপরে একটি এল আকৃতির পথ যার দুটি অর্ধ-খোলা অংশ রয়েছে: একটি বিন্দু থেকে সরাসরি উপরে চলে যাচ্ছে এবং অন্যটি একই বিন্দু থেকে ডানদিকে চলে যাচ্ছে। এটি পরিষ্কার যে উল্লম্ব পাতে, এবং অনুভূমিক লেগ । $P(X<Y|\min(X, Y)=m)$ $m$ $\min(X,Y) = m$ $(m,m)$ $x<y$ $x>y$

এই জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি দেওয়া সমান আকারে সমস্যাটি পুনরায় লেখার পক্ষে সহজ, যেখানে সংখ্যার মধ্যে আমাদের কেবল উল্লম্ব লেগ থাকে যেখানে এবং ডিনোমিনেটরে আমাদের দুটি পায়ের সমষ্টি থাকে। $x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

সুতরাং এখন আমাদের ফর্মের দুটি এক্সপ্রেশন গণনা করা দরকার । দ্বিঘাতীয় স্বাভাবিক বিতরণের এই শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনাগুলির সর্বদা প্যারামিটারগুলির সাথে একটি সাধারণ বিতরণ থাকে: $P(m<X|Y=m)$ $\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

নোট করুন যে মূল সমস্যার সংজ্ঞা অনুসারে, standard প্রমিত বিচ্যুতির জন্য ব্যবহারের প্রচলিত কনভেনশনের বিপরীতে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলিকে । নীচে, আমরা এটিকে আরো ব্যবহার সুবিধাজনক পাবেন ভ্যারিয়েন্স এবং জন্য শর্তাধীন সম্ভাব্যতা বিতরণের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন জন্য। $\sigma_{ij}$ $\sigma$ $s^2$ $s$

এই দুটি পরামিতি জেনে, আমরা संचयी বিতরণ ফাংশন থেকে চেয়ে সম্ভাবনাটি গণনা করতে পারি । $m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

মিউট্যাটিস মিউটান্দিস , আমাদের কাছে জন্য একইরকম অভিব্যক্তি রয়েছে । দিন $P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

এবং

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

তারপরে আমরা এই দুটি স্কোরের ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ সমাধানটি নিখুঁতভাবে লিখতে পারি : $z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

প্রশ্ন লেখকের দেওয়া সিমুলেশন কোডের ভিত্তিতে, আমরা এই তাত্ত্বিক ফলাফলকে সিমুলেটেড ফলাফলের সাথে তুলনা করতে পারি:

— olooney
সূত্র

(3) আমি মনে করি বাম হাতের একটি বর্গক্ষেত্র হওয়া উচিত, কারণ এটি শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিক, পরে মানক বিচ্যুতিটি ব্যবহৃত হয়।

— ইয়ভেস

আপনি @ হ্যাঁ, আপনি ঠিকই বলেছেন এবং আমার বিশ্বাস আমার সাম্প্রতিক সম্পাদনাগুলি সমস্যার সমাধান করেছে। ধন্যবাদ.

— olooney

@ এলোনি, এই উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি ডেরাইভেশন অনুসরণ করতে পারি এবং এটি সঠিক বলে মনে হচ্ছে। তবে, আমি একটি সিমুলেশনে (1) এবং (7) যাচাই করার চেষ্টা করেছি এবং ফলাফলগুলি বেশ আলাদা ছিল। আপনি এখানে আমার আর কোড দেখতে পাবেন gist.github.com/mikeguggis/d041df05565f63f8be2c6c51f5cf8961

— মাইকে

@ মাইক, আমার মনে হয় আমার একটি চিহ্নের ত্রুটি ছিল। এটি ঠিক করার পরে, তাত্ত্বিক ফলাফলটি অনুকরণের ফলাফলগুলির সাথে একমত বলে মনে হচ্ছে। gist.github.com/olooney/e88a66d2d2fa7f2f0cd0d0dd6b708739

— অলোনি

@ ওলোনি, ভাল ধরা দুটি সিমুলেশন ভিত্তিক অনুমান কেন মেলে না তা আমি এখনও বুঝতে অক্ষম (আমার কোডের 30-32 লাইন)।

— মাইকে

বায়েস উপপাদ্যের একটি সংশোধিত সংস্করণ (এবং জন্য ধারণার অপব্যবহার ) ব্যবহার করে প্রশ্নটি আবারও লেখা যেতে পারে $Pr$

\begin{aligned} P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) & = \frac{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y)}{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y) + P r (m i n (X, Y) = m | X \geq Y) P r (X \geq Y)} \\ = \frac{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m)}{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) + P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m)} . \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$

এবং এর বিভাজন পিডিএফ হতে সংজ্ঞা দিন , এবং । তারপর $f_{X,Y}$ $X$ $Y$ $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$ $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

\begin{aligned} P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X = m, Y > m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (m, t) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$

এবং

\begin{aligned} P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X \geq m, Y = m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (t, m) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$

স্বাভাবিকতা এবং শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সংজ্ঞা ব্যবহার করে ইন্টিগ্রেন্ডগুলি পুনরায় লেখা যেতে পারে

f_{X, Y} (m, t) = f_{Y | X} (t) f_{X} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{Y | X}}} ϕ (\frac{t - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})

$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$

এবং

f_{X, Y} (t, m) = f_{X | Y} (t) f_{Y} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{X | Y}}} ϕ (\frac{t - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}}) .

$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$

যেখানে

μ_{X | Y} = μ_{1} + \frac{σ_{12}}{σ_{22}} (m - μ_{2}),

$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$

μ_{Y | X} = μ_{2} + \frac{σ_{12}}{σ_{11}} (m - μ_{1}),

$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$

σ_{X | Y} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{11}

$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$

এবং

σ_{Y | X} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{22} .

$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$

এইভাবে

P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) = \frac{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})}{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}}) + (1 - Φ (\frac{m - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}})} .

$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$

এই চূড়ান্ত ফর্মটি @ অলোনি যে ফলাফলের সাথে এসেছে তার সাথে খুব মিল। পার্থক্যটি হ'ল তার সম্ভাবনাগুলি সাধারণ ঘনত্বের দ্বারা ওজনিত হয় না।

সংখ্যাগত যাচাইয়ের জন্য একটি আর স্ক্রিপ্ট এখানে পাওয়া যাবে

— মাইক
সূত্র