কৌচি ব্যতীত অন্য কোনও বিতরণ আছে যার জন্য একটি নমুনার পাটিগণিত গড় একই বন্টন অনুসরণ করে?

Question

যদি $X$ কোনও কাচির বিতরণ অনুসরণ করে তবে ঠিক একই বন্টনকে অনুসরণ করে ; দেখতে এই থ্রেড ।$Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$X$

• এই সম্পত্তি একটি নাম আছে?

• অন্য কোন বিতরণ আছে যার জন্য এটি সত্য?

সম্পাদনা

এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসার আরেকটি উপায়:

সম্ভাব্যতা ঘনত্ব সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন ।$X$$f(x)$

দিন , যেখানে উল্লেখ করে এর ith পর্যবেক্ষণ ।$Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$$X_i$$X$

$Y$ নির্দিষ্ট কোনও মানকে কন্ডিশনার না করে নিজেই এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে ।$X$

তাহলে একটি কোশি বন্টন অনুসরণ করে, তত্কালীন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হয়$X$$Y$$f(x)$

জন্য অন্য কোনও ধরণের (নন তুচ্ছ *) সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে যার ফলে সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ?$f(x)$$Y$$f(x)$

* আমি মনে করতে পারি একমাত্র তুচ্ছ উদাহরণটি হ'ল একটি ডেরাক ডেল্টা। অর্থাত্ এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়।

Comments

আপনার শিরোনামটি সামান্য বোঝায়, কারণ "একটি নমুনার প্রত্যাশিত মান" একটি সংখ্যা। আপনি কি পরিবর্তে নমুনার গাণিতিক মানে ? প্রশ্নটিও অস্পষ্ট: "বিতরণ" দ্বারা আপনি একটি নির্দিষ্ট বন্টন বোঝাতে চান বা আপনার অর্থ - যেমন "কচী" শব্দটি দ্বারা প্রস্তাবিত - বন্টনের পরিবার ? এটি কিছু গৌণ সূক্ষ্মতা নয়: আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তার উপর নির্ভর করে উত্তরটি সম্পূর্ণরূপে পরিবর্তিত হয়। আপনার পোস্টটি পরিষ্কার করার জন্য এটি সম্পাদনা করুন।

— হোবার

@ হুবুহু, আমি প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশ যুক্ত করেছি যা আশাবাদী সম্ভাব্য ব্যাখ্যার পরিসরকে আরও শক্ত করে তোলে।

— চেচি লেভাস

ধন্যবাদ; এটি এর বেশিরভাগ অংশ পরিষ্কার করে দেয়। তবে আপনি ঠিক করেছেন কিনা আপনি যদি এই ফলাফলটি সকল জন্য ধারণ করেন তবে তার উপর নির্ভর করে বিভিন্ন উত্তর রয়েছে যদি এটি পরে থাকে তবে সিএফ বা সিজিএফ-তে অবস্থার অবস্থা গুরুতর এবং প্রস্তুত সমাধানের দিকে নিয়ে যায়। যদি এটি পূর্ব হয় তবে সম্ভাব্যভাবে অতিরিক্ত সমাধান রয়েছে are এন $n$ $n.$

— হোবার

আমি সকল জন্য ভাবছিলাম কিন্তু যদি কেউ একটি নির্দিষ্ট সম্পর্কে বিশ্লেষণও সরবরাহ করতে চায় তবে এটি স্বাগত হবে। $n$$n$

— চেচি লেভাস

Answer 1

এটি আসলে কোনও উত্তর নয় তবে কমপক্ষে স্থিতিশীল বিতরণ থেকে এ জাতীয় উদাহরণ তৈরি করা সহজ বলে মনে হয় না। আমাদের একটি আরভি তৈরি করতে হবে যার বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন তার গড়ের মতো।

সাধারণত, একটি আইডির জন্য, গড় সিএফ হয়

$$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$$ সঙ্গে অবস্থান প্যারামিটার শূন্য দিয়ে স্থিতিশীল ডিস্ট্রিবিউশন জন্য একটি একক আরভি এর CF, আমরা আছে φ এক্স ( T ) = exp { - | সি টি | α ( 1 - i β sgn ( t ) Φ ) } , যেখানে Φ = { ট্যান ( π $\phi_X$ $$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$$ দ্য কোশি বন্টন অনুরূপα=1,β=0, যাতেφˉএক্সএন(T)=φএক্স(T)কোন স্কেলের মাপদণ্ড সত্যিইগ>0। $$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$$ $\alpha=1$$\beta=0$$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$$c>0$

সাধারণভাবে, পেতেφ ˉ এক্স এন(T)=φএক্স(T),α=1আহ্বান মনে হয়, তাই φ ˉ এক্স এন (T

$$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$$ $\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$$\alpha=1$ তবে লগ| $$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$$ $$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$$

Comments

সুতরাং আপনার বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে কি এটুকু বলা যায় যে, কাচি এক = 1 এর একমাত্র সমাধান?

— চেচি লেভাস

এই ফলাফলগুলি থেকে এটি আমার ধারণা, তবে আমি দৃ pretty়ভাবে নিশ্চিত যে স্থির বন্টনগুলি আশেপাশে আরও বেশি জ্ঞানের লোক রয়েছে।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

$\psi=\log \phi$ $$\psi(t/n) = \psi(t)/n$$ $n=1,2,3,\ldots.$$\psi$$\psi$$-|ct|.$

$\alpha = 1$$\alpha = 0$