এর UMVUE সন্ধান করুন

দিন $X_1, X_2, . . . , X_n$ আইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের পিডিএফ থাকুন

$f_{X} (x ∣ θ) = θ (1 + x)^{- (1 + θ)} I_{(0, \infty)} (x)$ $f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x)$

কোথায় $\theta >0$ । এর UMVUE দিন $\frac{1}{\theta}$ এবং এর বৈকল্পিক গণনা

আমি ইউএমভিউ'র প্রাপ্ত দুটি জাতীয় পদ্ধতি সম্পর্কে শিখেছি:

ক্র্যামার-রাও লোয়ার বাউন্ড (সিআরএলবি)
লেহম্যান-শেফি থিমে

আমি দু'জনের প্রাক্তনকে ব্যবহার করে এটি চেষ্টা করতে যাচ্ছি। আমাকে অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে এখানে কী চলছে আমি পুরোপুরি বুঝতে পারি না এবং আমি উদাহরণস্বরূপ আমার সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করছি। আমার ওটা আছে $f_X(x\mid\theta)$ এর সাথে সম্পূর্ণ ওয়ান-প্যারামিটারের ক্ষতিকারক পরিবার

$h(x)=I_{(0,\infty)}$ , $c(\theta)=\theta$ , $w(\theta)=-(1+\theta)$ , $t(x)=\text{log}(1+x)$

যেহেতু non ননজারো , তাই CRLB ফলাফল প্রযোজ্য। আমাদের আছে $w'(\theta)=1$ $\Theta$

log f_{X} (x ∣ θ) = log (θ) - (1 + θ) \cdot log (1 + x)

$\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x)$

\frac{\partial}{\partial θ} log f_{X} (x ∣ θ) = \frac{1}{θ} - log (1 + x)

$\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x)$

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} log f_{X} (x ∣ θ) = - \frac{1}{θ^{2}}

$\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2}$

সুতরাং

I_{1} (θ) = - E (- \frac{1}{θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{2}}

$I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2}$

এবং নিরপেক্ষ estimators জন্য CRLB হয় $\tau(\theta)$

\frac{[τ^{'} (θ)]^{2}}{n \cdot I_{1} (θ)} = \frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

যেহেতু

\sum_{i = 1}^{n} t (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} log (1 + X_{i})

$\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

তারপরে , বা সমতুল্য, কোনও লিনিয়ার ফাংশন , এটির প্রত্যাশার সিআরএলবি অর্জন করবে এবং সুতরাং এটির প্রত্যাশার একটি UMVUE হবে। যেহেতু আমরা যে UMVUE আছে হয় $\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ $\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}$ $\frac{1}{\theta}$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

একটি প্রাকৃতিক প্যারামিটারাইজেশন জন্য আমরা $\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1)$

তারপর

V a r (log (1 + X)) = \frac{d}{d η} (- \frac{1}{η + 1}) = \frac{1}{(η + 1)^{2}} = \frac{1}{θ^{2}}

$\mathsf{Var}(\text{log}(1+X))=\frac{d}{d\eta}\left(-\frac{1}{\eta+1}\right)=\frac{1}{(\eta+1)^2}=\frac{1}{\theta^2}$

এটি কি বৈধ সমাধান? আরও সহজ পদ্ধতির আছে? আপনি যখন অনুমান করার চেষ্টা করছেন তার সাথে সমান হয় তখনই এই পদ্ধতিটি কার্যকর হয়? $\mathsf E(t(x))$

— রেমি
সূত্র

আপনি যে স্থানে দেখিয়েছিলেন যে পিডিএফ হ'ল এক-পরামিতি ত্বরান্বিত পরিবারের সদস্য, এটি অবিলম্বে পরিষ্কার হয়ে গেছে যে পরিবারের সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান যেহেতু, আপনি যেমনটি বলেছেন, , হ'ল লেমন -শ্যাফি উপপাদ্যটি ta থটির UMVUE।

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + X_{i})

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln(1+X_i)$

E (T / n) = \frac{1}{θ}

$E(T/n)=\frac{1}{\theta}$

T / n

$T/n$

1 / θ

$1/\theta$

— জেদীআটম

সুতরাং আমার যে অংশটি " ননজারো ..... " অপ্রাসঙ্গিক?

w^{'} (θ) = 1

$w'(\theta)=1$

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

— রেমি

আসলে তা না; এর ভিন্নতা সিআরএলবি ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া সহজ। সুতরাং উভয় প্রশ্ন একবারে সমাধান করতে আপনার যুক্তিই যথেষ্ট sufficient

T

$T$

— জেদীআটম

এইভাবে বৈকল্পিকটি খুঁজে পেতে, আমি কি ? অতএব, আমি আগে এটি ভুলভাবে করেছি?

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2} = \frac{θ^{2}}{n} {(- \frac{1}{θ^{2}})}^{2} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2=\frac{\theta^2}{n}\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{n\theta^2}$

— রেমি

হ্যাঁ, এটি এর বৈকল্পিকতা । অবিকল।

T

$T$

— জেদীআটম

আপনার যুক্তি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই সঠিক।

নমুনার যৌথ ঘনত্ব $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ হয়

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{θ^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i}))}^{1 + θ}} 1_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0}, θ > 0 \\ ⟹ \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = n \ln (θ) - (1 + θ) \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) + \ln (1_{min_{1 \leq i \leq n} x_{i} > 0}) \\ ⟹ \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) \\ = - n (\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i})}{n} - \frac{1}{θ}) \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{\theta^n}{\left(\prod_{i=1}^n (1+x_i)\right)^{1+\theta}}\mathbf1_{x_1,x_2,\ldots,x_n>0}\qquad,\,\theta>0 \\\\\implies \ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=n\ln(\theta)-(1+\theta)\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)+\ln(\mathbf1_{\min_{1\le i\le n} x_i>0}) \\\\\implies\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i) \\\\&=-n\left(\frac{\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)}{n}-\frac{1}{\theta}\right) \end{align}$

সুতরাং আমরা ফর্ম স্কোর ফাংশন প্রকাশ করেছি

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k (θ) (T (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{θ}) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=k(\theta)\left(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)-\frac{1}{\theta}\right)\tag{1}$

যা ক্র্যামার-রাও অসমতার সাম্যতার শর্ত।

এটি যাচাই করা কঠিন নয়

\begin{matrix} (2) & E (T) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \underset{= 1 / θ}{\underset{⏟}{E (\ln (1 + X_{i}))}} = \frac{1}{θ} \end{matrix}

$E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\underbrace{E(\ln(1+X_i))}_{=1/\theta}=\frac{1}{\theta}\tag{2}$

থেকে $(1)$ এবং $(2)$ আমরা এটা উপসংহার করতে পারেন

পরিসংখ্যান $T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ এটি একটি নিরপেক্ষ অনুমানক $1/\theta$ ।
$T$ ক্র্যামার-রাও অসমতার সমতা শর্তকে সন্তুষ্ট করে।

এই দুটি সত্যই এক সাথে বোঝায় $T$ এর UMVUE $1/\theta$ ।

দ্বিতীয় বুলেটটি আসলে আমাদের সেই বৈকল্পিকতাটি জানায় $T$ ক্র্যামার-রাও নিম্ন সীমানা অর্জন করে $1/\theta$ ।

সত্যিই, যেমন আপনি দেখিয়েছেন,

E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = - \frac{1}{θ^{2}}

$E_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=-\frac{1}{\theta^2}$

এটি বোঝায় যে পুরো নমুনার জন্য তথ্য ফাংশন

I (θ) = - n E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = \frac{n}{θ^{2}}

$I(\theta)=-nE_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=\frac{n}{\theta^2}$

তাই ক্রিমার-রাও নীচের দিকে আবদ্ধ $1/\theta$ এবং তাই UMVUE এর বৈকল্পিকতা

Var (T) = \frac{{[\frac{d}{d θ} (\frac{1}{θ})]}^{2}}{I (θ)} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\operatorname{Var}(T)=\frac{\left[\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\theta}\right)\right]^2}{I(\theta)}=\frac{1}{n\theta^2}$

এখানে আমরা ক্র্যামার-রাও অসমতার একটি বাস্তবায়ন কাজে লাগিয়েছি, যা বলে যে বিতরণ পরিবারের জন্য $f$ প্যারামিট্রিসড দ্বারা $\theta$ (পরিসংখ্যান যদি সিআর অসমতার নিয়মিততা শর্ত ধরে) $T$ পক্ষপাতহীন $g(\theta)$ কিছু ফাংশন জন্য $g$ এবং যদি এটি সিআর অসমতার সাম্যের শর্তটি সন্তুষ্ট করে তবে

\frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x) = k (θ) (T (x) - g (θ))

$\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_{\theta}(x)=k(\theta)\left(T(x)-g(\theta)\right)$ তাহলে

T

$T$ এর অবশ্যই UMVUE হওয়া উচিত

g (θ)

$g(\theta)$ । সুতরাং এই যুক্তি প্রতিটি সমস্যায় কাজ করে না।

বিকল্পভাবে, লেহম্যান-শেফি উপপাদ্যটি ব্যবহার করে আপনি এটি বলতে পারেন $T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(1+X_i)$ এর UMVUE $1/\theta$ এটি পক্ষপাতহীন হিসাবে $1/\theta$ এবং বিতরণ পরিবারের জন্য একটি সম্পূর্ণ পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান। যে $T$ এক প্রতি পরামিতি ঘটিত পরিবারের ক্ষেত্রে নমুনাটির যৌথ ঘনত্বের কাঠামো থেকে যথেষ্ট প্রতিযোগিতা পরিষ্কার। তবে এর বৈকল্পিকতা $T$ সরাসরি খুঁজে পেতে কিছুটা জটিল হতে পারে।

— StubbornAtom
সূত্র

একজনের বিতরণও ব্যবহার করতে পারে

T

$T$ এর গড়, বৈচিত্র খুঁজে পেতে

— জেদীআটম