গাইমা-পোইসন কীসের সাথে পোয়েসন ক্ষতিকারক?

একটি পয়সন বিতরণ প্রতি ইউনিট সময় ইভেন্টগুলি পরিমাপ করতে পারে এবং প্যারামিটারটি । সূচকীয় বণ্টনের ব্যবস্থা পরবর্তী ইভেন্ট হওয়া পর্যন্ত সময়, প্যারামিটার সঙ্গে । ইভেন্টগুলি বা সময়গুলির মডেল করা আরও সহজ কিনা তার উপর নির্ভর করে কেউ একটি বিতরণকে অন্যকে রূপান্তর করতে পারে। $\lambda$ $\frac{1}{\lambda}$

এখন, গামা-পোইসন হ'ল একটি প্রসারিত "পিয়াসন যা আরও বড় বৈকল্পিক iance একটি ওয়েইবুল বিতরণ একটি "প্রসারিত" বৃহত্তর বৈকল্পিক সহকারী on কিন্তু এই দু'জনকে কী সহজেই একে অপরতে রূপান্তরিত করা যায়, একইভাবে পোইসনকে তদন্তকারী হিসাবে রূপান্তর করা যায়?

বা এমন আরও কিছু বিতরণ রয়েছে যা গামা-পোইসন বিতরণের সাথে মিলিয়ে ব্যবহার করার পক্ষে আরও উপযুক্ত?

গামা-পোইসন নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ, বা এনবিডি হিসাবেও পরিচিত।

— zbicyclist
সূত্র

উত্তর:

এটি মোটামুটি সোজা এগিয়ে যাওয়ার সমস্যা। যদিও পোইসন এবং নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণের মধ্যে একটি সংযোগ রয়েছে, আমি আসলেই মনে করি এটি আপনার নির্দিষ্ট প্রশ্নের জন্য অসহনীয় কারণ এটি লোকেদের নেতিবাচক দ্বিপদী প্রক্রিয়াগুলি চিন্তা করতে উত্সাহিত করে। মূলত, আপনার পোয়েসন প্রক্রিয়াগুলির একটি সিরিজ রয়েছে:

{ওয়াই}_{আমি} ({টি}_{আমি}) | λ_{আমি} ~ পি ণ আমি গুলি গুলি ণ এন (λ_{আমি} {টি}_{আমি})

$Y_i(t_i)|\lambda_i\sim Poisson(\lambda_i t_i)$

যেখানে প্রক্রিয়া এবং হ'ল সময়টি আপনি এটি পর্যবেক্ষণ করেন এবং বোঝায়। এবং আপনি বলছেন যে এই প্রক্রিয়াগুলি বিতরণের মাধ্যমে এক সাথে হার বেঁধে "অনুরূপ": $Y_i$ $t_i$ $i$

λ_{আমি} ~ জি একটি মি মি একটি (α, β)

$\lambda_i\sim Gamma(\alpha,\beta)$

/ ইন্টিগ্রেশন করছেন উপর mxixing উপর , আপনি আছে: $\lambda_i$

{ওয়াই}_{আমি} ({টি}_{আমি}) | α β ~ এন ই ছ বি আমি এন (α, {পি}_{আমি}) W জ ই R ই {পি}_{আমি} = \frac{{টি}_{আমি}}{{টি}_{আমি} + + β}

$Y_i(t_i)|\alpha\beta\sim NegBin(\alpha,p_i)\;\;\; where \;\;p_i=\frac{t_i}{t_i+\beta}$

এটির একটি পিএমএফ রয়েছে:

পি R ({ওয়াই}_{আমি} ({টি}_{আমি}) = Y_{আমি} | α β) = \frac{Γ (α + + Y_{আমি})}{Γ (α) Y_{আমি}!} {পি}_{আমি}^{Y_{আমি}} (1 - {পি}_{আমি})^{α}

$Pr(Y_i(t_i)=y_i|\alpha\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+y_i)}{\Gamma(\alpha)y_i!}p_i^{y_i}(1-p_i)^\alpha$

অপেক্ষার সময় বিতরণ পেতে আমরা নোট করি:

পি R ({টি}_{আমি} \leq {টি}_{আমি} | α β) = 1 - পি R ({টি}_{আমি} > {টি}_{আমি} | α β) = 1 - পি R ({ওয়াই}_{আমি} ({টি}_{আমি}) = 0 | α β)

$Pr(T_i\leq t_i|\alpha\beta)=1-Pr(T_i> t_i|\alpha\beta)=1-Pr(Y_i(t_i)=0|\alpha\beta)$

= 1 - (1 - {পি}_{আমি})^{α} = 1 - {(1 + + \frac{{টি}_{আমি}}{β})}^{- α}

$=1-(1-p_i)^\alpha=1-\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

এটি পার্থক্য করুন এবং আপনার পিডিএফ আছে:

{পি}_{{টি}_{আমি}} ({টি}_{আমি} | α β) = \frac{α}{β} {(1 + + \frac{{টি}_{আমি}}{β})}^{- (α + + 1)}

$p_{T_i}(t_i|\alpha\beta)=\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

এটি সাধারণীকৃত পেরিটো বিতরণগুলির একটি সদস্য, দ্বিতীয় প্রকার। আমি এটি আপনার অপেক্ষা সময়ের বিতরণ হিসাবে ব্যবহার করব।

পোইসন বিতরণের সাথে সংযোগটি দেখতে, মনে রাখবেন যে , যাতে আমরা যদি এবং তারপর সীমা নেওয়া আমরা পাই: $\frac{\alpha}{\beta}=E(\lambda_i|\alpha\beta)$ $\beta=\frac{\alpha}{\lambda}$ $\alpha\to\infty$

\underset{α \to \infty}{লিম} \frac{α}{β} {(1 + + \frac{{টি}_{আমি}}{β})}^{- (α + + 1)} = \underset{α \to \infty}{লিম} λ {(1 + + \frac{λ {টি}_{আমি}}{α})}^{- (α + + 1)} = λ মেপুঃ (- λ {টি}_{আমি})

$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}=\lim_{\alpha\to\infty}\lambda\left(1+\frac{\lambda t_i}{\alpha}\right)^{-(\alpha+1)}=\lambda\exp(-\lambda t_i)$

এর অর্থ আপনি an একটি অতিরিক্ত-ছড়িয়ে পড়া প্যারামিটার হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন । $\frac{1}{\alpha}$

— probabilityislogic
সূত্র

আপনি আরও লক্ষ করতে পারেন যে অপেক্ষার সময় বিতরণটি গামা র্যান্ডম রেট প্যারামিটার সহ একটি ঘনিষ্ঠভাবে বিতরণ এবং কঠোরভাবে বলতে গেলে এটি গামা র্যান্ডম রেট প্যারামিটারের সাথে কোনও গামা বিতরণ হিসাবে দ্বিতীয় ধরণের বিটা বিতরণ।

— স্টাফেন লরেন্ট

@ প্রোব্যাবিলিটিস্লোগিককে একটি ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করে, আমি নীচের নিবন্ধটি এনবিডি এবং পেরেটোর মধ্যে সম্পর্কের বিষয়ে আরও বিশদ সরবরাহ করে দেখলাম: গুপ্ত, সুনীল এবং ডোনাল্ড জি মরিসন। গ্রাহক ক্রয়ের হারে বিজাতীয় অনুমান নির্ধারণ করা। বিপণন বিজ্ঞান, 1991, 10 (3), 264-269। যারা এই প্রশ্নের উত্তর দিতে আমাকে সহায়তা করেছেন তাদের সবাইকে ধন্যবাদ।

— zbcyclist

+1, আমি অনুমান করি যে এই দুর্দান্ত বিশ্লেষণাত্মক ফর্মটি আর থাকতে পারে না , যেখানে একটি ধ্রুবক।

P o i s s o n (λ_{i} t_{i} + c)

$Poisson(\lambda_i t_i + c)$

c

$c$

— র্যান্ডেল

@ আরান্ডেল - আপনি এই আরভিটি চিহ্নিত করে একটি "সুন্দর-ইশ" ফর্মটি পেতে পারেন যে দুটি স্বতন্ত্র যোগফল ... যেখানে উপরে এবং সমান । হিসাবে উপর নির্ভর করে না বা এর পিডিএফ উপরে নেতিবাচক দ্বিপদ PDF এবং একটি পইসন PDF এর সংবর্তন হয়। অপেক্ষা সময় মাত্র গুণ বন্টন পেতে করে উপরের উত্তরে । তারপরে আপনি এবং পিডিএফ অপেক্ষার সময়ের সিডিএফ

Z_{i} = Y_{i} + X_{i}

$Z_i=Y_i+X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i} \sim p o i s s o n (c)

$X_i\sim poisson (c)$

X_{i}

$X_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

Y_{i}

$Y_i$

Z_{i}

$Z_i$

P r (Y_{i} = 0)

$Pr(Y_i=0)$

P r (X_{i} = 0) = e^{- c}

$Pr(X_i=0)=e^{-c}$

1 - e^{- c} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$1-e^{-c}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

e^{- c} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$e^{-c}\frac {\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$ ।

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

এটি মিক্সিং বিতরণের ক্ষেত্রে কাজ করবে না, কারণ আপনার প্রয়োজন (অন্যথায় মানে নেতিবাচক)। গামা মিক্সিং বিতরণটি কেটে ফেলতে হবে (আমি আমার পূর্ববর্তী উত্তরে ও ধরে নিয়েছিলাম)। এর অর্থ হবে কোনও এনবি বিতরণ।

λ_{i} < c t_{i}^{- 1}

$\lambda_i <ct_i^{-1}$

c > 0

$c>0$

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

একটি সম্ভাবনা: পয়েসন তাত্পর্যপূর্ণ হিসাবে নেতিবাচক-দ্বিপদীটি হ'ল ... তাত্পর্যপূর্ণ!

সেখানে একটি বিশুদ্ধ-লাফ বৃদ্ধি লেভি প্রক্রিয়া বলা হয় ঋণাত্মক বাইনমিয়াল প্রক্রিয়া সময়ে যেমন যে মান একটি নেতিবাচক দ্বিপদ বিন্যাস হয়েছে। পোইসন প্রক্রিয়াটির বিপরীতে, জাম্পগুলি অবশ্যই প্রায় । পরিবর্তে, তারা একটি লগারিদমিক বিতরণ অনুসরণ করে । দ্বারা মোট ভ্যারিয়েন্সের আইন , অনৈক্য কিছু জাম্প (জাম্প গড় আকার দ্বারা স্কেল করা) এর নম্বর থেকে আসে, এবং ভ্যারিয়েন্স কিছু জাম্প মাপ থেকে আসে, এবং আপনি এই ব্যবহার যে চেক করতে পারেন overispersed হয়। $t$ $1$

অন্যান্য দরকারী বর্ণনা থাকতে পারে। "ডিএনএ সিকোয়েন্সিংয়ের জন্য নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ ফ্রেমিং করা" দেখুন ।

উপরে বর্ণিত gণাত্মক দ্বিপদী প্রক্রিয়াটি কীভাবে তৈরি করা যায় সে সম্পর্কে আমাকে আরও স্পষ্ট করে বলি।

বেছে নিন । $p \lt 1$
যাক IID লগারিদমিক ডিস্ট্রিবিউশন সাথে থাকতে, তাই $X_1, X_2, X_3, ...$ $P(x_i = k) = \frac{-1}{\log(1-p)} \frac{p^k}{k}.$
ধ্রুবক হার সাথে একটি পোয়েসন প্রক্রিয়া হতে দিন , সুতরাং $N$ $-\log(1-p)$ $N(t) = \text{Pois}(-t \log(1-p)).$
যাক যাতে প্রক্রিয়া $NBP$

এন বি পি (টি) = Σ_{আমি = 1}^{এন (টি)} {এক্স}_{আমি} ।

$NBP(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i.$

$NBP$ বিতরণ করা জাম্প সহ একটি খাঁটি জাম্প প্রক্রিয়া। জাম্পগুলির মধ্যে ব্যবধানগুলি হার সহ একটি সূচকীয় বিতরণ অনুসরণ করে $-\log(1-p).$

আমি মনে করি না যে এই বিবরণটি থেকে এর নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ রয়েছে, তবে উইকিপিডিয়ায় সম্ভাব্যতা তৈরির কার্যকারিতা ব্যবহারের একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ রয়েছে , এবং ফিশার যখন এটি চালু করেছিলেন তখন এটি প্রমাণও করেছিল প্রজাতির আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ করতে লোগারিথমিক বিতরণ। $NBP(t)$ $NB(t,p)$

— ডগলাস জারে
সূত্র

না, কোনও যৌগিক পোইসন প্রক্রিয়াটির ক্ষতিকারক অপেক্ষার সময় রয়েছে। এর অর্থ আপনি কিছু বিতরণ সহ আইআইডি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যুক্ত করুন।

Pois (λ t)

$\text{Pois}(\lambda t)$

— ডগলাস জারে

না, এটি কোনও যৌগিক পোইসন প্রক্রিয়া দ্বারা বোঝানো হয়নি। " পোইসন প্রক্রিয়া অনুসারে জাম্পগুলি এলোমেলোভাবে আসে এবং নির্দিষ্ট সম্ভাবনার বন্টন সহ জাম্পগুলির আকারও এলোমেলো হয়" " আমি আইআইডি পোইসন ভেরিয়েবলগুলি বলিনি। আপনি আইআইডি লগারিদমিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির ম আংশিক যোগফল গ্রহণ করেন যেখানে একটি পোইসন প্রক্রিয়াটির মান।

N

$N$

N

$N$

— ডগলাস জারে

2

$2$

আসুন আমরা এই আলোচনাটি এই

— আড্ডায়

আমি এখনও মন্তব্য করতে পারছি না তাই আমি ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি এটি চূড়ান্ত সমাধান নয়।

আপনি কোনও এনবিতে ব্যবহারের জন্য উপযুক্ত বিতরণের জন্য জিজ্ঞাসা করছেন তবে উপযুক্ত পুরোপুরি সংজ্ঞায়িত হয়নি। যদি কোনও যথাযথ বিতরণ ডেটা ব্যাখ্যা করার জন্য উপযুক্ত এবং আপনি একটি অতিমাত্রায় পোয়েসন দিয়ে শুরু করছেন তবে আপনাকে অতিরিক্ত পরিমাণে যাওয়ার কারণটি আরও সন্ধান করতে হবে। বিবি ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে বা একটি ইতিবাচক ঘটনার উপর নির্ভরশীলতার সাথে কোনও পয়সনের মধ্যে পার্থক্য রাখে না (যে ঘটনাটি ঘটতে থাকে তা অন্য ঘটনার সম্ভাবনা বাড়িয়ে তোলে)। অবিচ্ছিন্ন সময়ে সময়কাল নির্ভরতাও থাকে, যেমন ধনাত্মক সময়কাল নির্ভরতা মানে সময়ের সাথে সাথে সংঘটন হওয়ার সম্ভাবনা বাড়ায়। এটিও দেখানো হয়েছিল যে নেতিবাচক সময়কাল নির্ভরতা asympototically একটি অতিমাত্রায় পোয়েসনের কারণ [1] করে । এটি উপযুক্ত ওয়েটিং টাইম মডেল কী হতে পারে তার তালিকায় যুক্ত করে।

— মীডোয়ালার্ক ব্র্যাডশার
সূত্র

অতিরিক্ত কারণের কারণ: এটি গ্রাহক ক্রয়ের ডেটা। পৃথক গ্রাহকরা লয়েজদা ক্রয়ের হার সহ প্রত্যেকটি পিসন। তবে প্রত্যেক গ্রাহকের একই ল্যাম্বডা থাকে না - এটি অতিরিক্ত পরিমাণে যাওয়ার কারণ। ল্যাম্বদা ক্রয়ের হারগুলি গামা হিসাবে বিতরণ হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি একটি সাধারণ মডেল (এএসসি এহরেনবার্গে ফিরে পাওয়া যায়) তবে আমি তাঁর লেখায় এমন কিছু পাইনি যা এই প্রশ্নের উত্তর দেয়।

— zbcyclist