দেবোরাহ মায়ো কি বর্নবৌমের সম্ভাবনার নীতি প্রমাণকে খণ্ডন করেছেন?

এটি আমার পূর্ববর্তী প্রশ্নের সাথে এখানে কিছুটা সম্পর্কিত: একটি উদাহরণ যেখানে সম্ভাবনা নীতি * সত্যই * গুরুত্বপূর্ণ?

স্পষ্টতই, দেবোরাহ মায়ো স্ট্যাটিস্টিকাল সায়েন্সে একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছেন, বর্নবাউমের সম্ভাবনার নীতিটির প্রমাণ খণ্ডন করেছেন। কেউ কি বার্নবাউমের মূল যুক্তি এবং মায়োর পাল্টা যুক্তি ব্যাখ্যা করতে পারেন? সে ঠিক (যৌক্তিকভাবে)?

mathematical-statistics likelihood-principle

— statslearner2
সূত্র

এই খণ্ডনের একটি খণ্ডন: একাডেমিক.উপ . com / bjps / article-abstract / 66/3 / 475 / 1497890 (ফ্রি অনুলিপি: gandenberger.org/wp-content/uploads/2013/11/… )।

— অ্যামিবা

আরও ভাষ্য: stats.stackexchange.com/questions/65520/…

— রোল্যান্ডো

এছাড়াও দেখুন arxiv.org/abs/1711.08093

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকা

মাইকেল লিউ প্রশ্নে অনুগ্রহের জন্য ধন্যবাদ।

— statslearner2

আবার অনুগ্রহ, তৃতীয়বার একটি কবজ।

— statslearner2

সংক্ষেপে, বর্নবাউমের যুক্তিটি হল যে দুটি ব্যাপকভাবে গৃহীত নীতিগুলি যৌক্তিকভাবে বোঝায় যে সম্ভাবনা নীতিটি অবশ্যই ধারণ করা উচিত। মায়োর পাল্টা যুক্তি হ'ল প্রমাণটি ভুল কারণ বর্নবাউম একটি নীতির অপব্যবহার করে।

নীচে আমি তর্কগুলি এতটা সহজ করি যে সেগুলি খুব কঠোর নয়। আমার উদ্দেশ্য তাদের বৃহত্তর দর্শকদের কাছে অ্যাক্সেসযোগ্য করা কারণ আসল যুক্তিগুলি খুব প্রযুক্তিগত। আগ্রহী পাঠকদের মন্তব্যে একটি প্রশ্নের সাথে যুক্ত নিবন্ধগুলিতে বিশদটি দেখতে হবে।

Concreteness অনুরোধে জন্য, আমি অজানা পক্ষপাত সঙ্গে একটি মুদ্রা ক্ষেত্রে উপর ফোকাস করা । পরীক্ষায় আমরা এটি 10 বার ফ্লিপ করি। পরীক্ষায় আমরা 3 টি "লেজ" না পাওয়া পর্যন্ত এটি ফ্লিপ করি। পরীক্ষায় আমরা "1" এবং "2" লেবেলযুক্ত ফর্সা মুদ্রাটি ফ্লিপ করি: যদি এটি "1" আমরা সম্পাদন করি ; যদি এটি "2" আমরা সম্পাদন করি । এই উদাহরণটি আলোচনাটিকে ব্যাপকভাবে সরল করবে এবং যুক্তিগুলির যুক্তি প্রদর্শন করবে (মূল প্রমাণ অবশ্যই আরও সাধারণ)। $\theta$ $E_1$ $E_2$ $E_{mix}$ $E_1$ $E_2$

নীতিসমূহ:

নিম্নলিখিত দুটি নীতি ব্যাপকভাবে গৃহীত:

দুর্বল শর্তের নীতিটি বলে যে আমরা পরীক্ষার সম্পাদন করার সিদ্ধান্ত নিলে , বা আমরা যদি perform এবং মুদ্রা "1" সিদ্ধান্ত নিই তবে আমাদের একই সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত । $E_1$ $E_{mix}$

পর্যাপ্ততা নীতিটি বলে যে দুটি পরীক্ষা-নিরীক্ষায় আমাদের একই সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত যেখানে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের একই মূল্য থাকে the

নিম্নলিখিত নীতিটি বয়েসিয়ান দ্বারা গৃহীত হয়েছে তবে ঘন ঘনবাদীদের দ্বারা নয়। তবুও, বার্নবাউম দাবি করেছেন যে এটি প্রথম দুটিটির যৌক্তিক পরিণতি।

সম্ভাবনার নীতিটি বলে যে দুটি পরীক্ষা-নিরীক্ষার ক্ষেত্রে আমাদের একই সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত যেখানে সম্ভাবনা কার্যগুলি সমানুপাতিক are

বার্নবাউমের উপপাদ্য:

বলুন আমরা সম্পাদন করি এবং আমরা দশটি ফ্লপের মধ্যে 7 টি "মাথা" পাই। সম্ভাবনা ফাংশন হয় । আমরা সম্পাদন করি এবং 3 "লেজ" পেতে 10 বার মুদ্রাটি ফ্লিপ করি। সম্ভাবনা ফাংশন হয় । দুটি সম্ভাবনা ফাংশন আনুপাতিক হয়। $E_1$ $\theta$ ${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$ $E_2$ $\theta$ ${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Birnbaum নিম্নলিখিত পরিসংখ্যাত বিবেচনায় থেকে থেকে : যেখানে এবং যথাক্রমে "মাথা" এবং "লেজ" এর সংখ্যা। তাই যাই ঘটুক না কেন, ফলাফলটি এমনটি রিপোর্ট করে যেন এটি পরীক্ষা থেকে আসে । এটা পরিনত হয় যে জন্য যথেষ্ট মধ্যে । কেবলমাত্র এবং , যখন আমাদের কাছে তুচ্ছ নয় $E_{mix}$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

T : (ξ, x, y) \to (1, x, y),

$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$

x

$x$

y

$y$

T

$T$

E_{1}

$E_1$

T

$T$

θ

$\theta$

E_{m i x}

$E_{mix}$

x = 7

$x = 7$

y = 3

$y = 3$

P (X_{m i x} = (1, x, y) | T = (1, x, y)) = \frac{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3}}{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3} + 0.5 \times (\binom{9}{7}) θ^{7} (1 - θ)^{3}} = \frac{(\binom{10}{3})}{(\binom{10}{3}) + (\binom{9}{7})} .

$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$ অন্যান্য সমস্ত কেস 0 বা 1 - বাদে , যা উপরের সম্ভাবনার পরিপূরক। বিতরণের দেওয়া স্বাধীন , তাই একটি যথেষ্ট পরিসংখ্যাত হয় ।

P (X_{m i x} = (2, x, y) | T = (1, x, y))

$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$

X_{m i x}

$X_{mix}$

T

$T$

θ

$\theta$

T

$T$

θ

$\theta$

এখন পর্যাপ্ত নীতি অনুসারে, আমাদের অবশ্যই in এবং এর জন্য একই সিদ্ধান্ত নিতে হবে, এবং দুর্বল সহনশীলতার নীতি থেকে আমাদের অবশ্যই জন্য একই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে হবে মধ্যে এবং মধ্যে , সেইসাথে জন্য মধ্যে এবং মধ্যে । সুতরাং আমাদের উপসংহার অবশ্যই সব ক্ষেত্রে এক হতে হবে, যা সম্ভাবনার নীতি। $(1,x,y)$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_1$ $(1,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_2$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$

মায়োর প্রতি-প্রমাণ:

বর্নবাউমের সেটআপটি কোনও মিশ্রণ পরীক্ষা নয় কারণ "1" এবং "2" লেবেলযুক্ত মুদ্রার ফলাফলটি পর্যবেক্ষণ করা হয়নি , সুতরাং দুর্বল শর্তসাপেক্ষ নীতিটি এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য না ।

পরীক্ষা করুন বনাম এবং পরীক্ষার P-মান থেকে একটি উপসংহার আঁকা। একটি প্রাথমিক পর্যবেক্ষণ, নোট যে P-মান হিসাবে মধ্যে প্রায় হিসাবে দ্বিপদ বিন্যাস দেওয়া হয় ; এর p- মান মধ্যে প্রায় হিসেবে নেতিবাচক দ্বিপদ বিন্যাস দেওয়া হয় । $\theta = 0.5$ $\theta > 0.5$ $(7,3)$ $E_1$ $0.1719$ $(7,3)$ $E_2$ $0.0898$

এখানে গুরুত্বপূর্ণ অংশ আসে: পি-মান মধ্যে দুই গড় হিসাবে দেওয়া হয় - - মনে রাখবেন আমরা মুদ্রার অবস্থা জানি না অর্থাত প্রায় । এখনো P-মান মধ্যে - যেখানে মুদ্রা পালন করা হয় - যে হিসাবে একই , অর্থাত প্রায় । দুর্বল শর্তসাপেক্ষ নীতিটি ধারণ করে (সমাপ্তি এবং যেখানে মুদ্রা "1" অবতরণ করে) এবং তবুও সম্ভাবনা নীতিটি তা দেয় না। পাল্টা উদাহরণ বিরনবাউমের উপপাদ্যকে অস্বীকার করে। $T=(1,7,3)$ $E_{mix}$ $0.1309$ $(1,7,3)$ $E_{mix}$ $E_1$ $0.1719$ $E_1$ $E_{mix}$

পেয়ো এবং বার্গার মায়োর জবাব-প্রমাণকে অস্বীকার করেছেন:

মেয়ো সুস্পষ্টভাবে পর্যাপ্ততার নীতিটির বক্তব্য পরিবর্তন করেছেন: তিনি "একই পদ্ধতি" হিসাবে "একই সিদ্ধান্তে" ব্যাখ্যা করেন। পি-মান নেওয়া একটি অনুমিত পদ্ধতি, তবে কোনও উপসংহার নয়।

পর্যাপ্ততা নীতিটি বলে যে যদি পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান উপস্থিত থাকে তবে অবশ্যই সিদ্ধান্তগুলি একই হতে পারে তবে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানটি মোটেও ব্যবহার করার প্রয়োজন হয় না। যদি এটি হয়ে থাকে তবে এটি একটি বৈপরীত্যের দিকে পরিচালিত করবে, যেমন মেয়ো দেখিয়েছে।

— gui11aume
সূত্র

পার্শ্ব নোট হিসাবে, কেউ সত্যিকার অর্থে কখন এবং কীভাবে প্রয়োগ করবেন তা যদি না বলতে পারে তবে তারা প্রতিষ্ঠিত নীতিগুলির মূল্য নিয়ে প্রশ্ন তুলতে পারে। আমি আশ্চর্য হয়েছি কেন অ্যাক্সিয়াম্যাটিক পদ্ধতিটি সম্ভাবনার পক্ষে ভাল কাজ করে তবে পরিসংখ্যানের তত্ত্বের পক্ষে এতটা নয়।

— gui11aume