মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এবং চরিত্রগত ফাংশনের মধ্যে লিঙ্ক

আমি মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এবং চরিত্রগত ফাংশন মধ্যে লিঙ্ক বুঝতে চেষ্টা করছি। মুহূর্ত তৈরির ফাংশনটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

এর সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে , আমি এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য বিতরণের সমস্ত মুহুর্তগুলি খুঁজে পেতে পারি এক্স. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

আমি সম্পূর্ণরূপে বুঝতে পারে না কি তথ্য কাল্পনিক সংখ্যা কি আমাকে আরো দেয়। আমি দেখতে পাচ্ছি যে এবং এইভাবে আমরা কেবল না চরিত্রগত ফাংশনে, কিন্তু কেন আমরা চরিত্রগত ফাংশনে মুহূর্ত বিয়োগ করতে হবে? গাণিতিক ধারণা কি? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— : Giuseppe
সূত্র

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হ'ল মুহূর্ত তৈরির কার্যটি সর্বদা সসীম হয় না! ( উদাহরণস্বরূপ এই প্রশ্নটি দেখুন See ) যদি আপনি সাধারণ তত্ত্বটি বানাতে চান তবে বিতরণে রূপান্তর সম্পর্কে, আপনি যতটা সম্ভব বস্তুর সাথে এটি কাজ করতে সক্ষম হতে চাই like চরিত্রগত ফাংশন অবশ্যই,, যেকোনো দৈব চলক জন্য সসীম থেকে

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$ ।

— কার্ডিনাল

টেলর সম্প্রসারণের মিলগুলি এখনও কোনও ব্যক্তিকে মুহূর্তগুলি পড়ার অনুমতি দেয়, যখন সেগুলি উপস্থিত থাকে, তবে মনে রাখবেন যে সমস্ত বিতরণে মুহুর্ত থাকে না, সুতরাং এই কার্যগুলির মধ্যে আগ্রহ এর থেকেও অনেক বেশি যায়! :)

— কার্ডিনাল

আরেকটি বিষয় লক্ষণীয় হ'ল এমজিএফ হ'ল এলোমেলো ভেরিয়েবলের ল্যাপ্লেস রূপান্তর এবং সিএফ হ'ল ফুরিয়ার রূপান্তর। এই অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক রয়েছে, এখানে দেখুন ।

— tchakravarty

আমি ভেবেছিলাম সিএফ হ'ল কোনও প্রব্যাবিলিটি বিতরণের বিপরীত ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (এবং ফুরিয়ার রূপান্তর নয়)?

— জিউসেপ

পার্থক্যটি কেবল সূচকটির লক্ষণ এবং সম্ভবত একটি গুণক ধ্রুবক।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন সর্বদা উপস্থিত থাকে, কারণ তাদের মডুলাস এর একটি ফাংশনের সংহতকরণ প্রয়োজন । তবে, মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটির প্রয়োজন নেই কারণ বিশেষত এটি কোনও ক্রমের মুহুর্তগুলির অস্তিত্ব প্রয়োজন। $1$

যখন আমরা জানি যে সকলের জন্য সমাকলনযোগ্য হয় , আমরা সংজ্ঞায়িত করতে পারেন প্রতিটি জটিল সংখ্যার জন্য । তারপরে আমরা লক্ষ্য করব যে এবং । $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— ডেভিড গিরাডো
সূত্র