কোনও গৌসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানটি একটি লজিস্টিক ফাংশনের মাধ্যমে রূপান্তরিত

Question

লজিস্টিক ফাংশন এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি উভয়ই সাধারণত হিসাবে চিহ্নিত করা হয় । আমি ব্যবহার করব এবং স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন জন্য।$\sigma$$\sigma(x) = 1/(1+\exp(-x))$$s$

আমি একটি র্যান্ডম ইনপুট যার গড় সঙ্গে একটি লজিস্টিক স্নায়ুর আছে এবং মানক চ্যুতির আমি জানি। আমি আশা করি কিছু গাউসের আওয়াজের মধ্য দিয়ে পার্থক্যটি ভালভাবে সংহত করা যায়। সুতরাং, স্বরলিপিটির সামান্য অপব্যবহারের সাথে ধরে নিন, এটি । এর প্রত্যাশিত মান কত ? স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন সাথে তুলনা বড় বা ছোট হতে পারে বা । প্রত্যাশিত মানটির জন্য একটি ভাল বদ্ধ ফর্ম আনুমানিকতা একটি বন্ধ ফর্ম সমাধানের মতো প্রায় ভাল good$\mu$$s$$\sigma(\mu + N(0,s^2))=\sigma(N(\mu,s^2))$$\sigma(N(\mu,s^2))$$s$$\mu$$1$

আমি মনে করি না একটি বদ্ধ ফর্ম সমাধান বিদ্যমান। এটি একটি রূপান্তর হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং লজিস্টিক ঘনত্বের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি ( ) জানা যায়, তবে এটি কতটা সহায়তা করে তা আমি নিশ্চিত নই। বিপরীত সিম্বলিক ক্যালকুলেটর এ ঘনত্ব সনাক্ত করতে পারেনি লজিস্টিক ডিস্ট্রিবিউশনের ঘনত্ব সংবর্তন এবং আদর্শ সাধারন বন্টনের, যা দাড়ায় কিন্তু প্রমাণ করে না কোন সহজ প্রাথমিক অবিচ্ছেদ্য বলে কিছু নেই। আরও পরিস্থিতিগত প্রমাণ: লজিস্টিক নিউরনের সাথে নিউরাল নেটওয়ার্কগুলিতে গাউসিয়ান ইনপুট শোর যোগ করার বিষয়ে কয়েকটি গবেষণাপত্রে, কাগজপত্রগুলি ফর্মের প্রকাশ বন্ধও দেয় নি।$\pi t ~\text{csch} ~\pi t$$0$

এই প্রশ্নটি বোল্টজম্যান মেশিনগুলিতে গড় ক্ষেত্রের আনুমানিক ক্ষেত্রে ত্রুটিটি বোঝার চেষ্টা করে উত্থাপিত হয়েছিল।

Answer 1

নিম্নলিখিতটি আমি ব্যবহার করে শেষ করেছি:

লিখন যেখানে । আমরা একটি টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ ব্যবহার করতে পারি।এক্স ∼ এন ( 0 , s 2$\sigma(N(\mu,s^2)) = \sigma(\mu + X)$$X \sim N(0,s^2)$

$\sigma(\mu + X) = \sigma(\mu) + X \sigma'(\mu) + \frac{X^2}{2} \sigma''(\mu)+ ... + \frac{X^n}{n!}\sigma^{(n)}(\mu) + ...$

$\begin{eqnarray} E[\sigma(\mu + X)] & =& E[\sigma(\mu)] + E[X \sigma'(\mu)] + E[\frac{X^2}{2} \sigma''(\mu)] + ... \newline & = & \sigma(\mu) + 0 + \frac{s^2}{2}\sigma''(\mu) + 0 + \frac{3s^4}{24}\sigma^{(4)}(\mu)+ ... + \frac{s^{2k}}{2^k k!}\sigma^{(2k)}(\mu) ... \end{eqnarray}$

কনভার্জেশন সমস্যা আছে। লজিস্টিক একটি মেরু রয়েছে যেখানে , সুতরাং , বিজোড়। উপসর্গটি অকেজো হওয়ার মতো হ'ল বিচ্যুতি একই নয়, তবে উল্লেখযোগ্য হলে এই সিরিজটি প্রায় অবিশ্বাস্য হতে পারে ।x = k π i k P ( | X | > $\exp(-x) = -1$$x = k \pi i$$k$$P(|X| \gt \sqrt{\mu^2 + \pi^2})$

যেহেতু , আমরা এর ডেরাইভেটিভস লিখতে পারেন মধ্যে polynomials যেমন । উদাহরণস্বরূপ, এবং । গুণফলগুলি OEIS A028246 এর সাথে সম্পর্কিত ।σ ( এক্স ) σ ( এক্স ) σ ″ = σ - 3 σ 2 + 2 σ 3 σ ‴ = σ - 7 σ 2 + 12 σ 3 - 6 σ $\sigma'(x) = \sigma(x) (1-\sigma(x))$$\sigma(x)$$\sigma(x)$$\sigma'' = \sigma-3\sigma^2+2\sigma^3$$\sigma''' = \sigma - 7\sigma^2 + 12 \sigma^3 - 6\sigma^4$

Answer 2

আপনার এখানে যা রয়েছে তা এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা লগইট-স্বাভাবিক (বা লজিস্টিক-নরমাল) বিতরণ অনুসরণ করে ( উইকিপিডিয়া দেখুন ),, । লগইট-স্বাভাবিক বিতরণের মুহুর্তগুলির বিশ্লেষণাত্মক সমাধান নেই।$\mbox{logit}[x] \sim N(\mu, s^2)$

তবে অবশ্যই এটি সংখ্যার একীকরণের মাধ্যমে পেতে পারেন। আপনি যদি আর ব্যবহার করেন তবে এমন লজিটনর্ম প্যাকেজ রয়েছে যা আপনার প্রয়োজনীয় সমস্ত কিছু রয়েছে। একটি উদাহরণ:

install.packages("logitnorm")
library(logitnorm)
momentsLogitnorm(mu=1, sigma=2)

এই ফলন:

> momentsLogitnorm(mu=1, sigma=2)
      mean        var 
0.64772644 0.08767866

সুতরাং, এমনকি একটি সুবিধাজনক ফাংশন রয়েছে যা আপনাকে সরাসরি গড় এবং বৈকল্পিকতা দেবে।