রোবটগুলির ঘনত্ব একটি অসীম এলোমেলো জ্যামিতিক গ্রাফ এ এলোমেলো পদচারনা করে

একটি অসীম এলোমেলো জ্যামিতিক গ্রাফটি বিবেচনা করুন যেখানে নোডের অবস্থানগুলি ঘনত্বের সাথে একটি পোইসন পয়েন্ট প্রক্রিয়া অনুসরণ করে ho এবং প্রান্তগুলি চেয়ে কাছের নোডগুলির মধ্যে স্থাপন করা হয় । সুতরাং, প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য নিম্নলিখিত পিডিএফ অনুসরণ করে: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

উপরে গ্রাফ সালে ব্যাসার্ধ বৃত্তের ভিতরে নোড বিবেচনা উৎপত্তি কেন্দ্রীভূত। ধরুন, সময়ে , আমরা উল্লিখিত প্রতিটি নোডের ভিতরে একটি ছোট রোবট রাখি। অর্থাৎ, বিমানটিতে রোবটগুলির ঘনত্ব দেওয়া হয়েছে: $r$ $t=0$

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$ যেখানে মূল থেকে দূরত্ব। নিম্নলিখিত চিত্রটি রোবটের প্রাথমিক স্থাপনের একটি উদাহরণ দেখায়।

l

$l$

উদাহরণ

প্রতিটি সময় পদক্ষেপে, রোবটগুলি এলোমেলোভাবে প্রতিবেশীদের একজনের কাছে যায়।

এখন, আমার প্রশ্নটি হল: এ রোবটগুলির ঘনত্বের কাজটি কী? যখন ঘনত্ব ফাংশন গণনা করা সম্ভব ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

দুঃখিত বন্ধুরা, আমি কোনওভাবেই গণিতজ্ঞ নই। কিছু অস্পষ্ট কিনা দয়া করে আমাকে জানান।

— হীলিয়াম্
সূত্র

সম্পাদক বা লেখক হিসাবে ওল্ফগ্যাং ওউসের বইগুলি সন্ধান করুন। সাম্প্রতিক একটি সংগ্রহ: এলোমেলো পদচারণা, সীমানা এবং স্পেকট্রা। বিরখাউজার, ২০১১. ২০০০ সাল থেকে (কেমব্রিজ ইউনিভ.প্রেস): র্যান্ডম অসীম গ্রাফ এবং গোষ্ঠীতে চলে।

— হরিণ হান্টার

ধন্যবাদ হান্টার আমি তার ২০১১ সালের বইটি একবারে দেখেছি তবে এর সাথে সম্পর্কিত কিছু খুঁজে পেলাম না। আমার এখনই 2000 টিতে অ্যাক্সেস নেই তবে আমি এটি সন্ধান করার পরে এটি সন্ধান করব। আপনি যদি বইগুলি থেকে আরও নির্দিষ্ট কিছু মনে করেন তবে আমাকে জানান।

— হেলিয়াম

এখানে একটি শুরু।

যাক বল হয়ত আপনাদের বিবেচনাধীন ব্যাসার্ধ হবে। $r = d/2$

প্রথমে, এলোমেলো পদক্ষেপগুলি পড়ুন: http://en.wikedia.org/wiki/Random_walk । ধরুন আপনার কাছে কেবল একটি রোবট রয়েছে এবং ধরে নিন যে আপনার এলোমেলো পদক্ষেপ দুটি দ্বিমাত্রিক জালিয়াতির উপর রয়েছে। ছোট , ম্যাট্রিক্সের গুণনের সাথে এটি গণনা করা সহজ। তুমি জানো শুধুমাত্র আছে জাফরি যার উপর আপনার উপর বা পরে পইঠা পারেন জমিতে সম্ভব পয়েন্ট ধাপ। যাক হতে অন্তিক এই ম্যাট্রিক্স ছেদচিহ্ন। যাক সব ভেক্টর হতে একটি ছাড়া গুলি মধ্যে তম স্পট। ধরুন যে এর প্রথম সারি (এবং কলাম) $t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ সাথে মিলে যায়। তারপর, সম্ভাব্যতা আপনি প্রান্তবিন্দু হয় পরে পদক্ষেপ (যেখানে মৌলিক উপায়ে জায়গা বদল করুন, এবং হ'ল উত্থাপিত হয় ম শক্তি)) আমি খুব নিশ্চিত যে আপনার এটিকে সুস্পষ্টভাবে সমাধান করতে সক্ষম হওয়া উচিত। আপনি এই সত্যটি ব্যবহার করতে পারেন যে আদর্শের উত্স থেকে একই দূরত্বের সমস্ত কিছুর একই ঘনত্ব হওয়া উচিত। $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

উষ্ণতার পরে, আসুন আপনার আসল প্রশ্নে এগিয়ে যান। পরে পদক্ষেপ, আপনি শুধুমাত্র সসীম গ্রাফ যে ব্যাসার্ধ মধ্যে বিবেচনা করতে হবে উৎপত্তি প্রায় বল (সর্বত্র অন্য সম্ভাবনা আছে শুধুমাত্র পরে পৌঁছানো হচ্ছে $t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ ধাপ)। সেই গ্রাফটির সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স তৈরি করার চেষ্টা করুন এবং এটি জালির কেসের মতোই কাজ করুন - আমি কীভাবে এটি করব তা জানি না, তবে আমি আপনাকে অনুমান করার জন্য সেখানে মার্কোভের কিছু তত্ত্ব আছে বলে অনুমান করতে পারি। একটি জিনিস আপনি আমাদের এই সুবিধাটি নিতে পারেন যে আপনি জানেন যে এই বন্টনটি অবশ্যই উত্সের চারপাশে প্রতিসাম্যযুক্ত হওয়া উচিত, বিশেষত ঘনত্বটি উত্স থেকে দূরত্বের কেবল একটি ফাংশন। এটি জিনিসগুলিকে আরও সহজ করে তুলবে, সুতরাং আপনাকে কেবলমাত্র বিবেচনার দরকার হ'ল পদক্ষেপের পরে আপনি মূল থেকে দূরত্বের । একবার আপনি এই সমস্যাটি সমাধান করার পরে, আপনার ঘনত্বের জন্য লোকেশন পদক্ষেপের পরে কল করুন । নোট করুন যে ফাংশন হবে $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ । এই বিতরণ থেকে নমুনা র্যান্ডম পরিবর্তনশীল হতে দিন । $X$

এখন আপনার একাধিক রোবট দিয়ে শুরু করাও বিবেচনা করা উচিত। মনে করুন যে একাধিক রোবটকে একই ভার্টেক্সে থাকতে দেওয়া হয়েছে, এটি এটি একটি রোবটের ক্ষেত্রে তুলনায় বেশি শক্ত করে না। রোবট বৃত্ত উপর অবিশেষে শুরু, দৈব চলক যে এই বৃত্তের উপর অবিশেষে নমুনা হয় কল করতে পারেন । আপনি যে পয়েসন সংখ্যক রোবট দিয়ে শুরু করবেন তা পোইসন বিতরণ থেকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়ে উঠুক। সুতরাং একাধিক রোবট থেকে আপনি যে ঘনত্ব পাবেন সেটি কেবল । $U$ $M$ $MU + X$

আমি মনে করি এটি বিতরণকে পুরোপুরি সংজ্ঞায়িত না করেই সমাধানের পক্ষে যুক্তিসঙ্গত শুরু । শুভকামনা, এবং ঝরঝরে প্রশ্ন। $X$

— user1448319
সূত্র

আপনি কীভাবে পরিষ্কার করতে পারেন যে আপনি কীভাবে একটি নিয়মিত জালির উপর ধাপ পরে দখল করা সম্ভব স্থানগুলির মোট সংখ্যা অর্জন করেছিলেন ? উদাহরণস্বরূপ, , এবং যুক্তিসঙ্গত উত্তর দেয় না। আপনার উত্তর না হওয়া উচিত ?

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

— কার্ডিনাল

ওহ, ভাল ধরা এমন তো হওয়ার কথা না , এটা হতে অনুমিত এর । এর উত্স, 4 হল অক্ষ, 4 টি ত্রিভুজাকার অ্যারে। উদাহরণস্বরূপ, , এবং এবং অন্যান্য 3 দিক এবং এবং অন্যান্য চারটি চতুর্ভুজ এর জন্য।

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

— ব্যবহারকারী 1448319

আপনি কীভাবে দুই পদক্ষেপের পরে এ যাচ্ছেন ? (সম্ভবত আপনি যে পদক্ষেপটি বর্ণনা করছেন তা আমি বুঝতে পারছি না I যদি আমি "স্বাভাবিক" র্যান্ডম , অর্থাৎ চারটি মূল দিকের ইউনিফর্মের মতো মনে করি তবে যদি আমি ভুল না করি তবে উত্তর আমার প্রথম মন্তব্যে সঠিক হওয়া উচিত))

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

— কার্ডিনাল

থেকে দুটি পদক্ষেপের পরে আপনি শেষ করতে পারবেন না । তবে আপনি দুটি পদক্ষেপ নেওয়ার পরে দিয়ে যেতে পারেন । উপরে বর্ণিত নির্মাণের জন্য আপনি 2 টি পদক্ষেপের মধ্যে সমস্ত পয়েন্ট বিবেচনা করতে হবে ।

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

— ব্যবহারকারী 1448319

তা সত্য, কিন্তু আমি বলতে চাচ্ছি তা কি বলেন বাক্য তুলেছেন: তুমি জানো শুধুমাত্র আছে সম্ভব আপনি যে সমস্ত স্থানে পর জাফরি উপর অবতরণ করতে পারে ধাপ। $n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$ :-) সম্ভবত কোনও সম্পাদনা স্পষ্ট করতে সহায়তা করবে। চিয়ার্স।

— কার্ডিনাল