দুটি গাউশিয়ান এলোমেলো ভেক্টরগুলির অভ্যন্তরীণ পণ্যটির মুহুর্ত তৈরির ফাংশন

কেউ দয়া করে পরামর্শ দিতে পারেন যে আমি কীভাবে দুটি গাউসিয়ান এলোমেলো ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ উত্পাদনের মুহুর্ত তৈরির ফাংশনটি গণনা করতে পারি, একে অপরকে আলাদা করে হিসাবে বিতরণ করা হয় ? এর জন্য কি কিছু মানক ফলাফল পাওয়া যায়? যে কোনও পয়েন্টার অত্যন্ত প্রশংসা করা হয়। $\mathcal N(0,\sigma^2)$

— abhibhat
সূত্র

প্রথমে মামলাটি সম্বোধন করা যাক $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ । শেষে স্বেচ্ছাসেবীর সাধারণকরণ (সহজ) $\Sigma$ ।

অভ্যন্তরীণ পণ্যটি পর্যবেক্ষণ করে শুরু করুন হ'ল আইড ভেরিয়েবলগুলির যোগফল, তাদের প্রত্যেকটি দুটি স্বতন্ত্র সাধারণের পণ্য $(0,\sigma)$ পরিবর্তিত হয়, এর ফলে পরবর্তীটির মিলিফুফ অনুসন্ধান করার জন্য প্রশ্নকে হ্রাস করে, কারণ একটি যোগফলের মিলিগ্রাম এমজিএফএসের পণ্য s

মিলিগ্রাফ ইন্টিগ্রেশন দ্বারা সন্ধান করা যেতে পারে, তবে একটি সহজ উপায় আছে। কখন $X$ এবং $Y$ সাধারণ স্ট্যান্ডার্ড,

X Y = ((X + Y) / 2)^{2} - ((X - Y) / 2)^{2}

$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$

দুটি স্বতন্ত্র স্কেলড চি-স্কোয়ারের ভিন্নতার পার্থক্য। (স্কেল ফ্যাক্টর হয় $1/2$ কারণ বৈকল্পিক $(X\pm Y)/2$ সমান $1/2$ ।) কারণ চি-স্কোয়ার ভেরিয়েটের মিলিগ্রাম $1/\sqrt{1 - 2\omega}$ এর মিলিগ্রাম $((X+Y)/2)^2$ হয় $1/\sqrt{1-\omega}$ এবং এর এমজিএফ $-((X-Y)/2)^2$ হয় $1/\sqrt{1+\omega}$ । গুণক, আমরা দেখতে পেলাম যে পছন্দসই মিলিগ্রামের সমান $1/\sqrt{1-\omega^2}$ ।

(পরবর্তী রেফারেন্সের জন্য, লক্ষ্য করুন যে কখন $X$ এবং $Y$ দ্বারা উদ্ধার করা হয় $\sigma$ , তাদের পণ্য দ্বারা স্কেল $\sigma^2$ , কোথা থেকে $\omega$ দ্বারা স্কেল করা উচিত $\sigma^2$ খুব।)

এটি পরিচিত হওয়া উচিত: কয়েকটি ধ্রুবক কারণ এবং একটি চিহ্ন পর্যন্ত, এটি দেখতে শিক্ষার্থীর সাথে বিতরণের সম্ভাবনার ঘনত্বের মতো বলে মনে হচ্ছে $0$ স্বাধীনতার মাত্রা. (প্রকৃতপক্ষে, আমরা যদি এমজিএফএসের পরিবর্তে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন নিয়ে কাজ করতাম তবে আমরা তা অর্জন করতাম $1/\sqrt{1 + \omega^2}$ যা শিক্ষার্থী টি পিডিএফ এর আরও কাছাকাছি।) কোনও ছাত্রছাত্রীর সাথে তেমন কিছু নেই বলে মনে করবেন না $0$ ডিএফএস - সমস্ত বিষয় হ'ল এমজিএফ আশেপাশের অঞ্চলে বিশ্লেষণী হওয়া উচিত $0$ এবং এটি পরিষ্কারভাবে (দ্বিপদী উপপাদ্য দ্বারা)।

এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এই আইডি গাউসির অভ্যন্তরীণ পণ্য বিতরণ $n$ -ভেক্টরগুলির মিলিগ্রামের সমান হয় $n$ এই এমজিএফ-এর ভাঁজ পণ্য,

(1 - ω^{2} σ^{4})^{- n / 2}, n = 1, 2, \dots .

$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$

দ্বারা আপ খুঁজছেন শিক্ষার্থীর টি ডিস্ট্রিবিউশন চারিত্রিক ফাংশন, আমরা (বীজগণিত একটি অতি ক্ষুদ্র অংশ অথবা একটি ইন্টিগ্রেশন সঙ্গে স্বাভাবিক ধ্রুবক খুঁজে পেতে) অনুমান থেকে PDF- নিজেই দেওয়া হয়

f_{n, σ} (x) = \frac{2^{\frac{1 - n}{2}} | x |^{\frac{n - 1}{2}} K_{\frac{n - 1}{2}} (\frac{| x |}{σ^{2}})}{\sqrt{π} σ^{4} Γ (\frac{n}{2})}

$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$

( $K$ এটি একটি বেসেল ফাংশন)।

উদাহরণস্বরূপ, এখানে একটি এলোমেলো নমুনার হিস্টোগ্রামে পিপিএফ সুপারমোসডের প্লট রয়েছে $10^5$ যেমন অভ্যন্তরীণ পণ্য যেখানে $\sigma=1/2$ এবং $n=3$ :

বারলেখ

সিমুলেশন থেকে এমজিএফ-এর যথার্থতা নিশ্চিত করা আরও শক্ত, তবে দ্রষ্টব্য (দ্বিপদী উপপাদ্য থেকে) যে

(1 + t^{2} σ^{4})^{- 3 / 2} = 1 - \frac{3 σ^{4} t^{2}}{2} + \frac{15 σ^{8} t^{4}}{8} - \frac{35 σ^{12} t^{6}}{16} + \frac{315 σ^{16} t^{8}}{128} + \dots,

$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$

যা থেকে আমরা মুহূর্তগুলি পড়তে পারি (ফ্যাকটোরিয়ালগুলি দ্বারা বিভক্ত)। সম্পর্কে প্রতিসাম্য কারণে $0$ কেবলমাত্র মুহুর্তের বিষয়। জন্য $\sigma=1/2$ এই সিমুলেশনের কাঁচা মুহুর্তের সাথে তুলনা করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত মানগুলি পাই:

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

প্রত্যাশিত হিসাবে, সিমুলেশনের উচ্চ মুহূর্তগুলি এমজিএফ দ্বারা প্রদত্ত মুহুর্তগুলি থেকে প্রস্থান শুরু হবে; তবে কমপক্ষে দশম মুহূর্তের মধ্যেই চমৎকার চুক্তি রয়েছে।

ঘটনাচক্রে, যখন $n=2$ বিতরণ দ্বি-তাত্পর্যপূর্ণ।

সাধারণ কেসটি পরিচালনা করতে, অভ্যন্তরীণ পণ্যটি একটি স্থানাঙ্ক-স্বতন্ত্র অবজেক্ট is সুতরাং আমরা এর প্রধান দিকনির্দেশগুলি (আইজেনভেেক্টর) নিতে পারি $\Sigma$ স্থানাঙ্ক হিসাবে। এই সমন্বয়গুলিতে অভ্যন্তরীণ পণ্যটি হ'ল স্বতন্ত্র সাধারণ পরিবর্তকের স্বতন্ত্র পণ্যগুলির সমষ্টি , প্রতিটি উপাদান তার সম্পর্কিত ইগেনালুয়ের সমান বৈকল্পিক সহ বিতরণ করা হয়। সুতরাং, ননজারো ইগেনভ্যালুগুলি হতে দেওয়া $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ (সঙ্গে $0 \le d \le n$ ), এমজিএফ অবশ্যই সমান হবে

{(\prod_{i = 1}^{d} (1 - ω^{2} σ_{i}^{4}))}^{- 1 / 2} .

$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$

এই যুক্তিতে আমি কোনও ত্রুটি করি নি তা নিশ্চিত করতে, আমি যেখানে একটি উদাহরণ দিয়েছিলাম $\Sigma$ ম্যাট্রিক্স হয়

(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$

এবং গণনা করা হয়েছে যে এর ইগনালভ্যালগুলি

(σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, σ_{3}^{2}) = (\frac{1}{16} (17 + \sqrt{65}), \frac{1}{16} (17 - \sqrt{65}), \frac{3}{8}) \approx (1.56639, 0.558609, 0.375) .

$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$

চারিত্রিক ফাংশনের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে সংখ্যার সাথে মূল্যায়ন করে পিডিএফ গণনা করা সম্ভব ছিল (এখানে প্রদত্ত এমজিএফ সূত্র থেকে প্রাপ্ত): এই পিডিএফটির একটি প্লট একটি লাল রেখা হিসাবে নিম্নলিখিত চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে। একই সাথে, আমি উত্পন্ন $10^6$ আইড পরিবর্তিত হয় $X_i$ সাধারণ থেকে $(0,\Sigma)$ বিতরণ এবং অন্য $10^6$ আইড পরিবর্তিত হয় $Y_i$ একইভাবে, এবং গণনা $10^6$ বিন্দু পণ্য $X_i\cdot Y_i$ । প্লটটি এই ডট পণ্যগুলির হিস্টগ্রাম দেখায় (কিছু চরম মান বাদ দিয়ে - পরিসীমাটি ছিল $-12$ প্রতি $15$ ):

হিস্টোগ্রাম এবং পিডিএফ

আগের মতো, চুক্তিটি দুর্দান্ত। তদুপরি, মুহূর্তগুলি অষ্টমীর মধ্য দিয়ে ভাল মেলে এবং দশমীতেও যুক্তিসঙ্গতভাবে ভাল:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

অভিযোজ্য বস্তু

(যোগ করা হয়েছে 9 আগস্ট 2013.)

$f_{n,\sigma}$ বৈকল্পিক-গামা বিতরণের একটি উদাহরণ , যা প্রথমে সংজ্ঞায়িত হয়েছিল "সাধারণ ভিন্নতা-গড় মিশ্রণ যেখানে মিশ্রণের ঘনত্ব গামা বিতরণ"। এটির একটি মানক অবস্থান রয়েছে ( $0$ ), এর অসমমিতি পরামিতি $0$ (এটি প্রতিসাম্য), স্কেল প্যারামিটার $\sigma^2$ , এবং আকারের প্যারামিটার $n/2$ (উইকিপিডিয়া পরামিতি অনুসারে) to

— whuber
সূত্র

হ্যালো হুবার, বিস্তারিত ব্যাখ্যার জন্য অনেক ধন্যবাদ। যদিও আমার একটা সন্দেহ আছে। কখন

Σ

$\Sigma$ সাধারণভাবে, অভ্যন্তরীণ পণ্যের সমষ্টি প্রসারের শর্তাদি আর আইড নয়; অতএব যোগফলের মিলিগ্রেড আর আর এমজিএফএসের পণ্য নয়। তারপরে, আমরা কীভাবে উপরের বিশ্লেষণকে আরও সাধারণ সিগমাতে সাধারণীকরণ করব?

— অভিহাত

এই সাধারণীকরণের কয়েকটি (সহজ) বিবরণ সরবরাহ করার জন্য আমি একটি নতুন বিভাগ যুক্ত করেছি, এটি পরিষ্কার করার জন্য যে এখানে নতুন কোনও কিছুই জড়িত নয়। আপনি যে পরিমাণ ডেটা ননজারো অর্থ পেয়েছেন সে ক্ষেত্রেও এমজিএফ লিখতে আপনি এমজিএফএসের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে পারেন, যার ফলে সমস্যাটি সম্পূর্ণ সাধারণতার সাথে সমাধান করা।

— whuber