প্রত্যাশিত মান এবং লগের প্রকরণ (ক)

আমার একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যেখানে একটি সাধারণ বিতরণ করা হয় । আমি এবং সম্পর্কে কী বলতে পারি ? একটি আনুমানিক খুব সহায়ক হবে। $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— rocksportrocker
সূত্র

আমি মনে করি প্রশ্নটি লগ-স্বাভাবিকের "বিপরীত" সম্পর্কে ছিল, যেখানে একটি সাধারণ আরভি এ লগ-সাধারণ এক্স = এক্সপ্রেস (এ) নিয়ে যায়, প্রশ্নকর্তা এক্স = লগ (এ) এর বিতরণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিলেন, যা অপরিশোধিত (কখনও কখনও aণাত্মক সংখ্যার লগের প্রয়োজনের কারণে) হয়। কাটা কাটা সাধারণের জন্য কিছু ফলাফল থাকতে পারে তবে তারা অগোছালো হতে পারে're

— মার্টিন ও'লায়ারি

রকস্পট্রোকার, যেমন @ মার্টিন ও'লারি উল্লেখ করেছেন যে, এই জাতীয় একটি ভেরিয়েবল গাণিতিকভাবে সম্ভব নয় , কারণ নেতিবাচক মানগুলির জন্য অপরিজ্ঞাত । কমপক্ষে আপনি অগ্রভাগ ছাঁটিয়া প্রয়োজন কিছু অ-নেগেটিভ মূল্য এ। তুমি আমাদের বলতে পারবেন কেন আপনি বিশ্বাস করেন সাধারন হতে পারে?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

যদি আমরা মোটামুটি সাধারণ অর্থে "আনুমানিকতা" বিবেচনা করি তবে আমরা কোথাও পেতে পারি।

আমাদের ধরে নিতে হবে না যে আমাদের আসল স্বাভাবিক বন্টন আছে তবে ঘনত্ব ব্যতীত আনুমানিক স্বাভাবিক কিছু 0 এর আশেপাশে ননজারো হতে পারে না।

সুতরাং আসুন যে দিন "প্রায় স্বাভাবিক" (এবং গড় * কাছাকাছি ঘনীভূত) এক অর্থে যে, আমরা দূরে সম্পর্কে উদ্বেগ handwave করতে পারেন আসছে 0 (এবং মুহূর্তের তার পরবর্তী প্রভাব কাছাকাছি , কারণ '0 এর কাছাকাছি নেমে' না), তবে নির্দিষ্ট সাধারণ বিতরণের মতো একই নিম্ন অর্ডার মুহুর্তগুলির সাথে, তবে আমরা টেলর সিরিজটি রূপান্তরিত এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলিতে ব্যবহার করতে পারতাম । $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

কিছু রূপান্তর , এটি টেলর সিরিজ হিসাবে সম্প্রসারণের সাথে জড়িত ( যেখানে ' ' এর ভূমিকা নিচ্ছে এবং গ্রহণ করে ' ' এর ভূমিকা ) এবং তারপরে প্রত্যাশাগুলি নেওয়া এবং তারপরে বৈচিত্রটি গণনা করা বা সম্প্রসারণের বর্গের প্রত্যাশা (যা থেকে বৈকল্পিকতা পাওয়া যায়)। $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

ফলাফলের আনুমানিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্রগুলি হ'ল:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$ এবং

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

এবং তাই (যদি আমি কোনও ত্রুটি না করি), যখন : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* এই একটি ভাল পড়তা আপনি সাধারণত চান স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন হওয়ার জন্য গড় (প্রকরণের কম সহগ) তুলনায় বেশ ছোট মনে হয়েছিল। $a$

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

লগের জন্য টেলর সিরিজের কনভার্সনের তুলনামূলকভাবে ছোট ব্যাসার্ধ রয়েছে বলে এই ঘনিষ্ঠতাগুলি প্রয়োগ করতে সতর্কতার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে।

— শুশুক

@whuber গড় প্রায় একটি বিস্তৃতির জন্য, আমি মনে করি এই উপদেশ মিলা চাই যে, "স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন যে সঙ্গে আমার উত্তর প্রান্ত গড় তুলনায় বেশ ছোট হওয়া উচিত" - যদি আমি কিছু আরও সমস্যাটি হল এই যে পরামর্শ অনুপস্থিত করছি আমার উত্তর ঠিক করা উচিত না কভার করে না।

a

$a$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

গড়ের জন্য জন্য বেশ ভাল কাজ করে এবং তারতম্যের জন্য বা আরও বেশ ভাল কাজ করে ।

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— হোবার

যে কোনও ক্ষেত্রে এটি অবশ্যই স্পষ্টভাবে মূল্যবান যে আমরা পরোক্ষভাবে এর রূপান্তরকে নির্ভর করছি (যেহেতু )। প্রস্তাবিত সুস্পষ্ট মানগুলির জন্য ধন্যবাদ; আমি যদি এটি ব্যবহার করি তবে আমি কিছুটা সতর্ক হই am দুটি মূল্যবান মন্তব্য।

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা