সাধারণ ঘনকের যোগফলের যোগফলের অনুপাত

12

নিম্নলিখিতগুলির সীমাবদ্ধ বিতরণ ( হিসাবে ) : যেখানে IID হয় । $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— অরুণাংশু বিশ্বাস
সূত্র

1

আপনি কি এলোমেলো ভেরিয়েবলের রূপান্তরগুলি দেখার চেষ্টা করেছেন? উদাহরণস্বরূপ, কেউ চারিত্রিক বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে পারেন, ল্যাপ্লেস-স্টিলটিজস ট্রান্সফর্মস, ইত্যাদি ce

— স্টিজন

1

ইঙ্গিত: অংক এবং ডিনোমিনেটর asyptotically দ্বিবিভক্ত স্বাভাবিক। আপনি তাদের মুহুর্তগুলি সরাসরি গণনা করতে পারেন: তাদের মাধ্যমগুলি অবশ্যই শূন্য, সংখ্যার বৈকল্পিক , ডিনোমিনেটরের পার্থক্য এবং । (এইভাবে পারস্পরিক সম্পর্ক )) সীমাবদ্ধ জন্য, শূন্য-মধ্যবর্তী বিভাজনটি স্বাভাবিক আকারে স্বাধীন শূন্যের জন্য প্রকাশ করুন -মানের এবং এবং ধ্রুবক স্বাভাবিক হয়ে যায় , তারপরে নোট করুন যে অনুপাত স্থানান্তরিত আকারের কাঁচি বিতরণ।

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

সূত্রটি যদি যেখানে এবং স্বতন্ত্র, এটি কেবল একটি ক্লাসিক পাঠ্যপুস্তক অনুশীলন হবে। আপনি এবং আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে কাচি বিতরণকে স্কেল করার জন্য asympotes।

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

তবে আপনার গঠনে, নির্ভরতার কারণে আমরা উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারি না। আমার মন্টে-কার্লো পরামর্শ দেয় যে এর সীমাবদ্ধতা বিতরণ অ- এবং এটির কোনও প্রথম মুহুর্ত নেই এবং এটি প্রতিসম নয়। এই সমস্যার সুস্পষ্ট সমাধান আছে কিনা তা নিয়ে আমি আগ্রহী। আমি মনে করি সমাধানটি কেবল উইনার প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রেই লেখা যেতে পারে। $U_n$

[সম্পাদনা] whuber এর ইঙ্গিত অনুসরণ করে, এটি নোট করুন

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$ যেখানে লক্ষ করেন, দ্বারা এবং । (স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিকের মুহুর্তগুলি, এমনকি ) এরপরে ধারাবাহিক ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে আমাদের কাছে যে আমরা লিখতে যেখানে এবং 2 এর থেকে , আমরা উপসংহারে যে যেখানে

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— জুলিয়াস
সূত্র

0

কিছু মন্তব্য, সম্পূর্ণ সমাধান নয়। এটি একটি মন্তব্যের জন্য দীর্ঘস্থায়ী, তবে সত্যই কেবল একটি মন্তব্য। সমাধানের কয়েকটি বৈশিষ্ট্য। যেহেতু আইআইডি স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক, যা একটি প্রতিসম (প্রায় শূন্য) বিতরণ, তাই প্রতিসাম্যিক থাকবে এবং (স্বতন্ত্র) প্রতিসাম্ভীর আরভি'র সমষ্টি হবে। সুতরাং এটি সংখ্যার এবং ডিনোমিনেটরের উভয় প্রতিসাম্যের সাথে একটি অনুপাত, সুতরাং প্রতিসম হবে। ডিনোমিনেটরের অবিচ্ছিন্ন ঘনত্ব থাকবে যা শূন্যের ধনাত্মক, সুতরাং আমরা অনুপাতের প্রত্যাশার অভাবের প্রত্যাশা করব (এটি একটি সাধারণ ফলাফল যে যদি শূন্যের উপর ক্রমাগত ঘনত্বের ধনাত্মক একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়, তবে প্রত্যাশার অভাব হবে না . দেখা $X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ আমি শুনেছি অনুপাত বা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিপরীতগুলি প্রায়শই সমস্যাযুক্ত, প্রত্যাশা না থাকার কারণে। কেন এমন? )। তবে এখানে, অঙ্ক এবং ডিনোমিনেটরের মধ্যে নির্ভরতা রয়েছে যা বিষয়টি জটিল করে তোলে ... (স্পষ্টতই এখানে আরও চিন্তাভাবনা প্রয়োজন)।

আকর্ষণীয় কাগজ https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176991795 অনুষ্ঠান সর্বোপরি, আদর্শ স্বাভাবিক ভেরিয়েবল ঘনক্ষেত্র, একটি হয়েছে অনির্দিষ্ট বন্টন, যে "হ্যামবার্গার অর্থে", তা না হয় তার মুহুর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয় না! সুতরাং রূপান্তরগুলি ব্যবহার সম্পর্কে উপরের মন্তব্যটি, এগিয়ে যাওয়ার কোনও কঠিন উপায় নির্দেশ করতে পারে! $x_i^3$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র