সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমানকারী - আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান

সেই পরামিতিটির এমএলই থেকে শুরু করে আমি কীভাবে সত্যিকারের প্যারামিটারের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক কনফিডেন্স ব্যবধান তৈরি করতে পারি?

— ফ্যাব্রিজিও
সূত্র

: ওয়ান ওয়ে এই সমস্যা কাছে ব-দ্বীপ পদ্ধতি ব্যবহার করা en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

আমি লক্ষ্য করেছি সেখানে খুবই বিস্তৃত হিসাবে এই প্রশ্ন বন্ধ ভোট আছে, কিন্তু সেখানে নেই MLEs এর মধ্যে asymptotic আচরণ succinctly বিবৃত করা যাবে সে বিষয়ে একটি সাধারণ উপপাদ্য। আমি একটি সংক্ষিপ্ত উত্তর রেখেছিলাম যে আমি কিছুটা পরে প্রসারিত করব।

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

সত্য যে আকারের IID নমুনা জন্য ব্যবহার করুন , কিছু নিয়মানুবর্তিতা অবস্থার দেওয়া MLE সত্য প্যারামিটারের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ মূল্নির্ধারক হয় পারস্পরিক দ্বারা, ও এর বন্টন এসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিক, ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে নির্ধারিত ফিশারের তথ্য: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ যেখানে একক নমুনা থেকে ফিশার তথ্য। এমএলই এ পর্যবেক্ষণ করা তথ্য প্রত্যাশিত তথ্যকে আশ্রয়হীনভাবে ঝোঁক দেয়, তাই আপনি আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলি গণনা করতে (95% বলুন)

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

উদাহরণস্বরূপ, যদি শূন্য-ছেঁটে যাওয়া পরিপ্রেক্ষিতে পর্যবেক্ষণ করা তথ্যের জন্য একটি সূত্র পেতে পারেন (যা আপনাকে সংখ্যাগতভাবে গণনা করতে হবে): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

নিয়মিততার শর্তাবলী দ্বারা বাদ দেওয়া উল্লেখযোগ্য কেসগুলির মধ্যে সেগুলি রয়েছে

প্যারামিটার ডেটা সমর্থন সমর্থন করে, উদাহরণস্বরূপ নট এবং মধ্যে অভিন্ন বিতরণ থেকে নমুনা $\theta$ $\theta$
নমুনা আকারের সাথে উপদ্রব পরামিতির সংখ্যা বৃদ্ধি পায়

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

তে , যেমন on বাধা রয়েছে যখন এই পদ্ধতিটি কি অযৌক্তিকভাবে প্রয়োগ হয় ? প্যারামিটারগুলির জন্য একটি এমএলই-র কী হবে , যেমন এবং ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— কোয়ান্ট_দেব

যদি ইন , তবে প্রকৃত মানটি একটি সীমানার সমান নয়।

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

যদি এবং, এর অর্থ এই নয় যে স্বাভাবিক আনুমানিকতা প্রযোজ্য নয় এবং আমার আরও নমুনার প্রয়োজন?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— কোয়ান্ট_দেব

হ্যাঁ, এটি কেবলমাত্র একটি অ্যাসিম্পটোটিক আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান।

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

@ কোয়ান্ট_দেব: না: আপনি প্যারামিটারগুলির একটি রূপান্তর খুঁজছেন যা সাধারণ আনুমানিককে শালীন করে তোলে - বা অন্য কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করে।

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন