শর্তাধীন স্বাধীনতা এবং এর গ্রাফিকাল উপস্থাপনা সম্পর্কিত

Question

সমবায় নির্বাচন বাছাই করার সময় আমি নিম্নলিখিত উদাহরণটি একবার পড়ি read নিম্নলিখিত মডেল সম্মানের সাথে:

এর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং বিপরীত কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স নীচে দেওয়া হয়েছে,

আমি কেন স্বাধীনতার বুঝতে পারছি না এবং বিপরীত সহভেদাংক এখানে স্থির করা হয়?$x$$y$

এই সম্পর্কের অন্তর্ভুক্ত গাণিতিক যুক্তি কী?

এছাড়াও, নিম্নলিখিত চিত্রের বাম গ্রাফটি এবং মধ্যে স্বাধীনতার সম্পর্ক ক্যাপচার করার দাবি করেছে ; কেন?$x$$y$

Answer 1

বিপরীত কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স শর্তসাপূর্ণ রূপগুলি এবং বহুগামী গাউসীয় বিতরণের জন্য কোভেরিয়েন্সগুলি ব্যবহার করতে ব্যবহৃত হতে পারে। আগের প্রশ্নটি কিছু রেফারেন্স দেয়

উদাহরণস্বরূপ, এবং জেড এর শর্তসাপেক্ষ সমবায় সন্ধানের জন্য X = x এর মান দেওয়া হয়েছে , আপনি বিপরীত কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের নীচের ডানদিকে নেবেন$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

যা প্রকৃতপক্ষে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স দিতে না এবং জেড জন্য মূল্যের ওপর নিয়ন্ত্রিত এক্স = এক্স ।$Y$$Z$$X=x$

একইভাবে এবং ওয়াইয়ের শর্তসাপেক্ষ কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি সন্ধান করতে Z = z এর মান দেওয়া হয়েছে , আপনি বিপরীত কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের উপরের বাম কোণে নিতে হবে$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

আপনি কহন যে মধ্যবর্তী শর্তসাপেক্ষ সহভেদাংক এবং ওয়াই দেওয়া জেড = z- র হয় 0 (এবং তাদের শর্তাধীন ভেরিয়ানস প্রতিটি যে 1 )। $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

এই শূন্য শর্তসাপেক্ষ covariance শর্তসাপেক্ষ স্বাধীনতা বোঝায়, আপনি এছাড়াও এটি একটি মাল্টিভিয়ারেট গাউসিয়ান সত্য হিসাবে ব্যবহার করতে হবে (সাধারণভাবে শূন্য সমবায় স্বাধীনতা বোঝায় না)। আপনি এটি নির্মাণ থেকে জানেন।

$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Answer 2

এটি সঠিক এবং স্বীকৃত উত্তরের পরিপূরক। বিশেষত, মূল প্রশ্নটিতে বইটি যে বিবৃতি দেয় সে সম্পর্কে একটি ফলো-আপ প্রশ্ন রয়েছে।

$X$$Y$

এই উত্তরে এটিই সম্বোধন করা হয়েছে এবং এই উত্তরে সম্বোধন করা একমাত্র বিষয়।

আমরা একই পৃষ্ঠায় রয়েছি কিনা তা নিশ্চিত করার জন্য, নিম্নলিখিত অনুসারে আমি শর্তাধীন স্বাধীনতা গ্রাফটির (সংক্ষিপ্ত নির্দেশক) সংজ্ঞাটি ব্যবহার করি যা মার্কোভ এলোমেলো ক্ষেত্রের সাথে মিলিত হয় (কমপক্ষে মোটামুটিভাবে):

$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

থেকে পি। হুইটকারের 60, প্রয়োগকৃত গাণিতিক মাল্টিভারিয়েট পরিসংখ্যান (1990) এর গ্রাফিকাল মডেলগুলি ।

$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

$X$$Y$

বাম গ্রাফ সম্পর্কে, এটি আরও প্রাসঙ্গিকতা ছাড়াই অস্পষ্ট, তবে আমি মনে করি ধারণাটি কেবল শর্তযুক্ত স্বাধীনতার গ্রাফটি দেখতে কেমন হবে তা দেখানোর জন্য যদি আমাদের বিপরীত কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলিতে জিরো না থাকে।

$X, Y, Z$