দুটি হিস্টোগ্রামের সাদৃশ্য কীভাবে মূল্যায়ন করবেন?

Question

দুটি হিস্টোগ্রাম দেওয়া, আমরা কীভাবে মূল্যায়ন করব যে সেগুলি সাদৃশ্যপূর্ণ কিনা?

কেবল দুটি হিস্টোগ্রামের দিকে নজর দেওয়া কি যথেষ্ট? সাধারণ থেকে এক ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রে সমস্যাটি রয়েছে যে যদি কোনও হিস্টোগ্রামটি কিছুটা আলাদা এবং সামান্য স্থানান্তরিত হয় তবে আমরা পছন্দসই ফলাফল পাব না।

কোন পরামর্শ?

Comments

"অনুরূপ" এর অর্থ কী? চি-স্কোয়ার টেস্ট এবং কেএস পরীক্ষা, উদাহরণস্বরূপ, দুটি হিস্টোগ্রাম অভিন্নের কাছাকাছি কিনা তা পরীক্ষা করুন । তবে "অনুরূপ" এর অর্থ স্থান এবং / বা স্কেলের কোনও পার্থক্য উপেক্ষা করে "একই আকার থাকতে পারে" mean আপনি কি আপনার উদ্দেশ্য স্পষ্ট করতে পারেন?

— শুক্র

Answer 1

একটি সাম্প্রতিক কাগজ যা পড়া মূল্যবান হতে পারে:

কেও, ওয়াই। পেটজল্ড, এল। যথার্থ সীমাবদ্ধতা এবং রাসায়নিকভাবে প্রতিক্রিয়াশীল সিস্টেমগুলির স্টোকাস্টিক সিমুলেশনে ত্রুটির পরিমাপ, 2006।

যদিও এই কাগজের ফোকাস স্টোকাস্টিক সিমুলেশন অ্যালগরিদমগুলির সাথে তুলনা করার বিষয়ে, তবে মূলত দুটি ধারণাটি কীভাবে হিস্টোগ্রামের তুলনা করা যায় তা মূল ধারণা।

আপনি লেখকের ওয়েবপৃষ্ঠা থেকে পিডিএফ অ্যাক্সেস করতে পারেন ।

Comments

হাই, এটির ভাল কাগজ, পিডিএফ লিঙ্ক দেওয়ার জন্য থ্যাঙ্কস .. আমি অবশ্যই এই কাগজটি দিয়ে যাব ..

— মেঘ 3.4

রেফারেন্স দেওয়ার পরিবর্তে আপনি যদি কাগজের মূল পয়েন্টগুলি সংক্ষিপ্ত করে বলতেন তবে ভাল হবে। লিঙ্কগুলি মারা যায়, তাই ভবিষ্যতে আপনার জবাব এই জার্নালের গ্রাহকগণের পক্ষে অকার্যকর হয়ে উঠতে পারে (এবং মানব জনসংখ্যার সিংহভাগই গ্রাহক নয়)।

— টিম

Answer 2

দুটি হিস্টগ্রামের মধ্যে প্রচুর দূরত্বের ব্যবস্থা রয়েছে। আপনি এই ব্যবস্থাগুলির একটি ভাল শ্রেণীকরণ এখানে পড়তে পারেন:

প্রো। প্রিপিতে কে। মেশগি এবং এস। ইশেই, "ট্র্যাকিংয়ের নির্ভুলতা উন্নত করতে গ্রিডিং সহ কালার্সের হিস্টোগ্রাম প্রসারিত করা হচ্ছে"। এমভিএ'15, টোকিও, জাপান, মে 2015।

আপনার সুবিধার্থে সর্বাধিক জনপ্রিয় দূরত্ব ফাংশন এখানে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

• $L_0$　বা হ্যালিঞ্জার দূরত্ব

$D_{L0} = \sum\limits_{i} h_1(i) \neq h_2(i)$

• $L_1$ , ম্যানহাটন বা সিটি ব্লক দূরত্ব

$D_{L1} = \sum_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• $L=2$ বা ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব

$D_{L2} = \sqrt{\sum_{i}\left( h_1(i) - h_2(i) \right) ^2 }$

• এল ∞ বা চাইবিশেভ দূরত্ব$_{\infty}$

$D_{L\infty} = max_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• এল পি বা ভগ্নাংশ দূরত্ব (মিনকভস্কি দূরত্বের পরিবারের অংশ)$_p$

$D_{Lp} = \left(\sum\limits_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert ^p \right)^{1/p}$ এবং$0<p<1$

• হিস্টোগ্রাম ছেদ

$D_{\cap} = 1 - \frac{\sum_{i} \left(min(h_1(i),h_2(i) \right)}{min\left(\vert h_1(i)\vert,\vert h_2(i) \vert \right)}$

• কোসিন দূরত্ব

$D_{CO} = 1 - \sum_i h_1(i)h2_(i)$

• ক্যানবেরার দূরত্ব

$D_{CB} = \sum_i \frac{\lvert h_1(i)-h_2(i) \rvert}{min\left( \lvert h_1(i)\rvert,\lvert h_2(i)\rvert \right)}$

• পিয়ারসনের সহকারী সহগ

$D_{CR} = \frac{\sum_i \left(h_1(i)- \frac{1}{n} \right)\left(h_2(i)- \frac{1}{n} \right)}{\sqrt{\sum_i \left(h_1(i)- \frac{1}{n} \right)^2\sum_i \left(h_2(i)- \frac{1}{n} \right)^2}}$

• কোলমোগোরভ-স্মারনভ ডাইভারজেন্স

$D_{KS} = max_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• ম্যাচ দূরত্ব

$D_{MA} = \sum\limits_{i}\lvert h_1(i) - h_2(i) \rvert$

• ক্র্যামার-ভন মাইজেস দূরত্ব

$D_{CM} = \sum\limits_{i}\left( h_1(i) - h_2(i) \right)^2$

• $\chi^2$ পরিসংখ্যান

$D_{\chi^2} = \sum_i \frac{\left(h_1(i) - h_2(i)\right)^2}{h_1(i) + h_2(i)}$

• ভট্টাচার্য দূরত্ব

$D_{BH} = \sqrt{1-\sum_i \sqrt{h_1(i)h_2(i)}}$ & hellinger

• Squared Chord

$D_{SC} = \sum_i\left(\sqrt{h_1(i)}-\sqrt{h_2(i)}\right)^2$

• Kullback-Liebler Divergance

$D_{KL} = \sum_i h_1(i)log\frac{h_1(i)}{m(i)}$

• Jefferey Divergence

$D_{JD} = \sum_i \left(h_1(i)log\frac{h_1(i)}{m(i)}+h_2(i)log\frac{h_2(i)}{m(i)}\right)$

• Earth Mover's Distance (this is the first member of Transportation distances that embed binning information $A$ into the distance, for more information please refer to the abovementioned paper or Wikipedia entry.

$D_{EM} = \frac{min_{f_{ij}}\sum_{i,j}f_{ij}A_{ij}}{sum_{i,j}f_{ij}}$ $\sum_j f_{ij} \leq h_1(i) , \sum_j f_{ij} \leq h_2(j) , \sum_{i,j} f_{ij} = min\left( \sum_i h_1(i) \sum_j h_2(j) \right)$ and $f_{ij}$ represents the flow from $i$ to $j$

• Quadratic Distance

$D_{QU} = \sqrt{\sum_{i,j} A_{ij}\left(h_1(i) - h_2(j)\right)^2}$

• Quadratic-Chi Distance

$D_{QC} = \sqrt{\sum_{i,j} A_{ij}\left(\frac{h_1(i) - h_2(i)}{\left(\sum_c A_{ci}\left(h_1(c)+h_2(c)\right)\right)^m}\right)\left(\frac{h_1(j) - h_2(j)}{\left(\sum_c A_{cj}\left(h_1(c)+h_2(c)\right)\right)^m}\right)}$ and $\frac{0}{0} \equiv 0$

A Matlab implementation of some of these distances is available from my GitHub repository: https://github.com/meshgi/Histogram_of_Color_Advancements/tree/master/distance Also you can search guys like Yossi Rubner, Ofir Pele, Marco Cuturi and Haibin Ling for more state-of-the-art distances.

Update: Alternative explaination for the distances appears here and there in the literature, so I list them here for sake of completeness.

• Canberra distance (another version)

$D_{CB}=\sum_i \frac{|h_1(i)-h_2(i)|}{|h_1(i)|+|h_2(i)|}$

• Bray-Curtis Dissimilarity, Sorensen Distance (since the sum of histograms are equal to one, it equals to $D_{L0}$)

$D_{BC} = 1 - \frac{2 \sum_i h_1(i) = h_2(i)}{\sum_i h_1(i) + \sum_i h_2(i)}$

• Jaccard Distance (i.e. intersection over union, another version)

$D_{IOU} = 1 - \frac{\sum_i min(h_1(i),h_2(i))}{\sum_i max(h_1(i),h_2(i))}$

Comments

Welcome to our site! Thank you for this contribution.

— whuber

Here is the paper link: mva-org.jp/Proceedings/2015USB/papers/14-15.pdf

— neves

Thanks, a list is wonderful, while it doesn't allow to create a comparison operator for histogram, e.g. to say that hist1 < hist2

— Olha Pavliuk

Answer 3

The standard answer to this question is the chi-squared test. The KS test is for unbinned data, not binned data. (If you have the unbinned data, then by all means use a KS-style test, but if you only have the histogram, the KS test is not appropriate.)

Comments

You are correct that the KS test is not appropriate for histograms when it is understood as a hypothesis test about the distribution of the underlying data, but I see no reason why the KS statistic wouldn't work well as a measure of sameness of any two histograms.

— whuber

An explanation of why the Kolmogorov-Smirnov test is not appropriate with binned data would be useful.

— naught101

This may not be as useful in image processing as in statistical fit assessment. Often in image processing, a histogram of data is used as a descriptor for a region of an image, and the goal is for a distance between histograms to reflect the distance between image patches. Little, or possibly nothing at all, may be known about the general population statistics of the underlying image data used to get the histogram. For example, the underlying population statistics when using histograms of oriented gradients would differ considerably based on the actual content of the images.

— ely

naught101's question was answered by Stochtastic: stats.stackexchange.com/a/108523/37373

— Lapis

Answer 4

You're looking for the Kolmogorov-Smirnov test. Don't forget to divide the bar heights by the sum of all observations of each histogram.

Note that the KS-test is also reporting a difference if e.g. the means of the distributions are shifted relative to one another. If translation of the histogram along the x-axis is not meaningful in your application, you may want to subtract the mean from each histogram first.

Comments

Subtracting the mean changes the null distribution of the KS statistic. @David Wright raises a valid objection to the application of the KS test to histograms anyway.

— whuber

Answer 5

As David's answer points out, the chi-squared test is necessary for binned data as the KS test assumes continuous distributions. Regarding why the KS test is inappropriate (naught101's comment), there has been some discussion of the issue in the applied statistics literature that is worth raising here.

An amusing exchange began with the claim (García-Berthou and Alcaraz, 2004) that one third of Nature papers contain statistical errors. However, a subsequent paper (Jeng, 2006, "Error in statistical tests of error in statistical tests" -- perhaps my all-time favorite paper title) showed that Garcia-Berthou and Alcaraz (2005) used KS tests on discrete data, leading to their reporting inaccurate p-values in their meta-study. The Jeng (2006) paper provides a nice discussion of the issue, even showing that one can modify the KS test to work for discrete data. In this specific case, the distinction boils down to the difference between a uniform distribution of the trailing digit on [0,9],

$$P(x) = \frac{1}{9},\ (0 \leq x \leq 9)$$ (in the incorrect KS test) and a comb distribution of delta functions, $$P(x) = \frac{1}{10}\sum_{j=0}^9 \delta(x-j)$$ (in the correct, modified form). As a result of the original error, Garcia-Berthou and Alcaraz (2004) incorrectly rejected the null, while the chi-squared and modified KS test do not. In any case, the chi-squared test is the standard choice in this scenario, even if KS can be modified to work here.

Answer 6

You can compute the cross-correlation (convolution) between both histograms. That will take into account slight traslations.

Comments

This is being automatically flagged as low quality, probably because it is so short. At present it is more of a comment than an answer by our standards. Can you expand on it? We can also turn it into a comment.

— gung - Reinstate Monica

Since histograms are fairly unstable representations of data, and also because they do not represent probabilities using height alone (they use area), one might reasonably question the applicability, generality, or usefulness of this approach unless more specific guidance is provided.

— whuber