স্বাধীনতার জন্য যৌথ এমজিএফ-এ প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত

Question

ধরুন সিডিএফ সাথে একটি যৌথ বিতরণের জন্য আমার একটি যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন । কি উভয় একটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট স্বাধীনতা জন্য শর্ত এবং ? আমি কয়েকটি পাঠ্যপুস্তক পরীক্ষা করেছি, যা কেবলমাত্র প্রয়োজনীয়তার উল্লেখ করেছে :F X , Y ( x , y ) M X , Y ( s , t ) = এম X , Y ( s , 0 ) ⋅ M X , Y ( 0 , t $M_{X,Y}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y)$$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$

$$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$$

স্বাধীনতার ফলাফল । যেহেতু প্রান্তিকের এমজিএফগুলি আমাদের রয়েছে যৌথ এমজিএফ দ্বারা নির্ধারিত হয়:$M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

$$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

তবে অনলাইনে অনুসন্ধানের পরে আমি কেবল একটি সাময়িক রেফারেন্স পেয়েছি , বিনা প্রমাণে, কথোপকথনের কাছে । নিম্নলিখিত স্কেচ প্রুফ কার্যক্ষম?

একটি যৌথ এমজিএফ , এটি অনন্যভাবে এবং প্রান্তিক বিতরণ এবং তাদের এমজিএফ, এবং । প্রান্তিকগুলি একাই অন্যান্য অনেকগুলি সম্ভাব্য যৌথ বিতরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং সিডিএফ সহ এবং স্বতন্ত্র একটি যৌথ বন্টনকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করে এবং এমজিএফ:X Y M X ( s ) = M X , Y ( s , 0 ) M Y ( t ) = M X , Y ( 0 , t ) X Y F $M_{X,Y}(s,t)$$X$$Y$$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$$F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

$$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

সুতরাং যদি আমাদের দেওয়া হয়, আমাদের মূল জন্য, যে , এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট । তারপরে এমজিএফ-এর একত্রে, আমাদের মূল যৌথ বিতরণে এবং এবং স্বতন্ত্র।M X , Y ( s , t ) = M ind X , Y ( s , t ) F এক্স , ওয়াই ( x , y ) = এফ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$$X$$Y$

Answer 1

হ্যাঁ, এটি কেবল দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য নয়, এলোমেলো ভেরিয়েবলের (সীমাবদ্ধ) অনুক্রমের জন্যও স্বাধীনতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত। রিনালদো বি শিনাজি লিখে স্ট্যাটিস্টিকাল অ্যাপ্লিকেশন সহ সম্ভাবনার 242 পৃষ্ঠায় উদাহরণস্বরূপ P.2 দেখুন। অথবা গণনা ডেটার একনোমেট্রিক বিশ্লেষণের পৃষ্ঠা 259 যা সম্ভাবনা উত্পন্ন করার ফাংশনের উপর ভিত্তি করে। কেবলমাত্র লক্ষ্য করুন যে "মুহূর্তটি উত্পন্ন করার কার্যটি সর্বদা উপস্থিত থাকে না"।

Comments

কঠিন রেফার জন্য ধন্যবাদ। হ্যাঁ, এটি উল্লেখ করতে সাবধান ছিলেন যে শুরুতে মূল এমজিএফ দেওয়া হয়েছিল এবং এটি প্রদর্শন করার জন্য মনে করার চেষ্টা করা হয়েছিল যে আমি উল্লেখ করা অন্য যে কোনও এমজিএফ এর সাথে কিছু করার আগে তার ফলাফল হিসাবে উপস্থিত ছিল! আপনার রেফগুলিতে কোন প্রমাণ কৌশলগুলি নিযুক্ত করা হয়েছিল?

— সিলভারফিশ

আপনি আমার 1 ম রেফারেন্সে পি 2 এর ঠিক পরে অনুচ্ছেদটি পড়েছেন?

— স্ট্যাট

হ্যাঁ হ্যাঁ - এটি ভেক্টরগুলিতে আমার প্রস্তাবিত প্রমাণের বর্ধন। এমজিএফের সাথে প্রদত্ত বিতরণের এমজিএফের তুলনা করুন উপাদানগুলি স্বাধীন ছিল; যেহেতু তারা একই এবং MGFs স্বতন্ত্র যৌথ বন্টন নির্ধারণ, যুগ্ম বন্টন হয় স্বাধীন এক।

— সিলভারফিশ