একটি সাধারণ নমুনা থেকে সর্বনিম্ন অর্ডার পরিসংখ্যানের প্রত্যাশিত মান

25 জানুয়ারী 2014 আপডেট করুন: ভুল এখন সংশোধন করা হয়েছে। অনুগ্রহ করে আপলোড করা চিত্রের প্রত্যাশিত মানটির গণনা করা মানগুলি উপেক্ষা করুন - সেগুলি ভুল- আমি চিত্রটি মুছব না কারণ এটি এই প্রশ্নের উত্তর তৈরি করেছে।

10 জানুয়ারী 2014 আপডেট করুন: ভুলটি পাওয়া গেল - ব্যবহৃত উত্সগুলির মধ্যে একটিতে একটি গণিত টাইপো। সংশোধন প্রস্তুত করা হচ্ছে ...

একটি সংগ্রহ থেকে সর্বনিম্ন ক্রম পরিসংখ্যাত ঘনত্ব সঙ্গে সিডিএফ একটানা র্যান্ডম ভেরিয়েবল IID এবং PDF হয় $n$ $F_X(x)$ $f_X(x)$

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n f_{X} (x_{(1)}) {[1 - F_{X} (x_{(1)})]}^{n - 1} [1]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$

যদি এই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সাধারণ হয়, তবে

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n ϕ (x_{(1)}) {[1 - Φ (x_{(1)})]}^{n - 1} = n ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} [2]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$ এবং সুতরাং এর প্রত্যাশিত মানটি

ই ({এক্স}_{(1)}) = এন \int_{- \infty}^{\infty} {এক্স}_{(1)} φ ({এক্স}_{(1)}) {[Φ (- {এক্স}_{(1)})]}^{এন - 1} ঘ {এক্স}_{(1)} [3]

$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$

যেখানে আমরা স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিকের প্রতিসম বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেছি। ওভেন 1980 সালে , পৃষ্ঠা 402, সম। [ এন, 011 ] আমরা এটি খুঁজে পাই

\int_{- \infty}^{\infty} z- র φ (z- র) {[Φ (একটি z- র)]}^{মি} ঘ z- র = \frac{একটি মি}{(\sqrt{{একটি}^{2} + + 1}) (\sqrt{2 π})} \int_{- \infty}^{\infty} φ (z- র) {[Φ (\frac{একটি z- র}{\sqrt{{একটি}^{2} + + 1}})]}^{মি - 1} ঘ z- র [4]

$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$

এককের মধ্যে প্যারামিটারগুলি মিলছে $[3]$ এবং $[4]$ ( $a=-1$ , $m=n-1$ ) আমরা প্রাপ্ত

ই ({এক্স}_{(1)}) = - \frac{এন (এন - 1)}{2 \sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} φ ({এক্স}_{(1)}) {[Φ (\frac{- {এক্স}_{(1)}}{\sqrt{2}})]}^{এন - 2} ঘ {এক্স}_{(1)} [5]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$

আবার ওয়ান 1980 সালে, পি। 409, eq [ n0,010.2 ] আমরা এটি খুঁজে পাই

\int_{- \infty}^{\infty} [Π_{আমি = 1}^{মি} Φ (\frac{জ_{আমি} - ঘ_{আমি} z- র}{\sqrt{1 - ঘ_{আমি}^{2}}})] φ (z- র) ঘ z- র = {জেড}_{মি} (জ_{1}, । । ।, জ_{মি}; {ρ_{আমি ঞ}}) [6]

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$

কোথায় $\mathcal Z_m()$ মানক মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক, $\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$ জুটি অনুসারে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এবং $-1\le d_i\le 1$ ।

মেলা $[5]$ এবং $[6]$ আমাদের আছে, $m=n-2$ , $h_i=0,\;\forall i$ , এবং

\frac{ঘ_{আমি}}{\sqrt{1 - ঘ_{আমি}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow ঘ_{আমি} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \forall আমি \Rightarrow ρ_{আমি ঞ} = ρ = 1 / 3

$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$

এই ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, এক $[5]$ হয়ে

ই ({এক্স}_{(1)}) = - \frac{এন (এন - 1)}{2 \sqrt{π}} {জেড}_{এন - 2} (0, । । ।, 0; ρ = 1 / 3) [7]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$

এই মাল্টিভাইরিয়েট স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ সম্ভাবনার সমাকলন-সমান্তরাল ভেরিয়েবলগুলির অবিচ্ছেদ্য, সবগুলি শূন্যের মধ্যে মূল্যায়ন করা হয়েছে , যথেষ্ট তদন্ত দেখেছেন এবং এটি আনুমানিক ও গণনা করার বিভিন্ন উপায়ে উত্পন্ন হয়েছে। একটি বিস্তৃত পর্যালোচনা (সাধারণভাবে সাধারণ সাধারণ সম্ভাবনার সংখ্যার গণনার সাথে সম্পর্কিত) হলেন গুপ্ত (১৯৩63) । গুপ্তা বিভিন্ন পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের জন্য এবং 12 টি পর্যন্ত ভেরিয়েবলের জন্য সুস্পষ্ট মান সরবরাহ করে (যাতে এটি 14 ভেরিয়েবলের সংকলন কভার করে)। ফলাফল নেই (শেষ কলামটি ভুল) :

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

এখন যদি আমরা গ্রাফ করি কিভাবে মান হয় $\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$ সঙ্গে পরিবর্তন $n$ , আমরা পাবেন

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

সুতরাং আমি আমার তিনটি প্রশ্ন / অনুরোধে পৌঁছেছি:
১) কেউ প্রত্যাশিত মানটির ফলাফল সঠিক কিনা তা (যেমন একা এর বৈধতা পরীক্ষা করে দেখুন) বিশ্লেষণ করে এবং / অথবা সিমুলেশন দ্বারা যাচাই করতে পারে? $[7]$ )?

২) ধারণাটি সঠিকভাবে ধরে নিচ্ছেন, কেউ কি শূন্য-বিহীন এবং অ-একক বৈকল্পিক দ্বারা নরমালদের জন্য সমাধান দিতে পারে? সমস্ত রূপান্তরগুলির সাথে আমি সত্যিই চঞ্চল অনুভব করি।

3) সম্ভাবনার অবিচ্ছেদ্য মানটি সহজেই বিকশিত হয় বলে মনে হয়। এর কিছু ফাংশন দিয়ে এটি আনুমানিক করার বিষয়ে কীভাবে $n$ ?

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

আপনার ফলাফল সঠিক প্রদর্শিত হবে না। এটি কোনও গণনা ছাড়াই দেখতে সহজ, কারণ আপনার টেবিলে, আপনার $E[X_{(1)}]$ নমুনা আকার সঙ্গে বৃদ্ধি পায় $n$ ; স্পষ্টতই, নমুনার ন্যূনতমের প্রত্যাশিত মান অবশ্যই নমুনার আকার হিসাবে ছোট হতে হবে (অর্থাৎ আরও নেতিবাচক হয়ে উঠবে) $n$ বড় হয়।

সমস্যাটি ধারণাগতভাবে বেশ সহজ।

সংক্ষেপে: যদি $X$ ~ $N(0,1)$ পিডিএফ সহ $f(x)$ :

... তারপরে 1 ম অর্ডার পরিসংখ্যানের পিডিএফ (আকারের নমুনায়) $n$ ) হ'ল:

... সমর্থন ডোমেন সহ OrderStatফাংশনটি এখানে ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়েছে mathStatica:

তারপর, $E[X_{(1)}]$ , জন্য $n = 1,2,3$ সহজেই ঠিক যেমন পাওয়া যায়:

সঠিক $n = 3$ কেস প্রায় $-0.846284$ যা আপনার -1.06 (আপনার টেবিলের লাইন 1) এর কাজের তুলনায় স্পষ্টতই আলাদা, সুতরাং আপনার কাজকর্মের সাথে (বা সম্ভবত আপনি যা খুঁজছেন তা সম্পর্কে আমার বোঝা) পরিষ্কার মনে হচ্ছে।

জন্য $n \ge 4$ , বদ্ধ-ফর্মের সমাধানগুলি পাওয়া আরও জটিল, তবে প্রতীকী সংহতকরণ যদি প্রমাণিত হয় তবে আমরা সর্বদা সংখ্যাসূচক একীকরণটি ব্যবহার করতে পারি (ইচ্ছা থাকলে স্বেচ্ছাচারিতায় নির্ভুলতার জন্য)। এটি সত্যিই খুব সহজ ... উদাহরণস্বরূপ, এখানে $E[X_{(1)}]$ নমুনা আকারের জন্য $n = 1$ থেকে 14, গণিত ব্যবহার করে :

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

সব শেষ. এই মানগুলি আপনার টেবিলের (ডান হাতের কলাম) এর তুলনায় স্পষ্টতই খুব আলাদা।

এর আরও সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা $N(\mu, \sigma^2)$ পিতা বা মাতা, সাধারণ সাধারণ পিডিএফ দিয়ে শুরু করে উপরের মতো ঠিক এগিয়ে যান।

— wolfies
সূত্র

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. প্রকৃতপক্ষে আমি খুব স্পষ্ট করে দেখেছি যে সংখ্যার ফলাফলগুলির সাথে কিছু ভুল রয়েছে - সর্বোপরি, প্রত্যাশিত মানটি হ্রাসের পরিবর্তে নিখুঁত আকারে বাড়ানো উচিত, হিসাবে

n

$n$ বাড়ে। আমি কোনও উত্তর থেকে কিছু অন্তর্দৃষ্টি পেতে পারি কিনা তা দেখার জন্য উত্তরটি যেমন রেখেছি। আমি এখনও তাত্ত্বিক স্তরে সন্ধান করছি যেখানে ঠিক ভুলটিই হয়, সন্দেহ হয় ওওনের কাছ থেকে আমি প্রথম সমীকরণটি ব্যবহার করছি (কারণ দ্বিতীয়টি অন্যান্য উত্স দ্বারা যাচাই করা হয়েছে) ... উপায় দ্বারা, আপনি কি এই eq কিনা তা পরীক্ষা করে দেখতে পারেন?

4

$4$ আমার পোস্টে (একা একা রূপান্তর হিসাবে) সঠিক? আমি কৃতজ্ঞ থাকব.

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস