উদাহরণ যেখানে মুহুর্তের পদ্ধতি ছোট নমুনায় সর্বাধিক সম্ভাবনা হারাতে পারে?

57

সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলনকারী (এমএলই) অসম্পূর্ণভাবে দক্ষ; আমরা ব্যবহারিক ফলস্বরূপ দেখতে পাই যে তারা প্রায়শই ক্ষুদ্রতর নমুনার মাপে এমনকি মুহুর্তের পদ্ধতি (এমওএম) অনুমানের চেয়েও ভাল করে (যখন তারা পৃথক হয়)

এখানে উভয় পক্ষপাতদুষ্ট যখন সাধারণত ছোট পরিবর্তিত হয় এবং সাধারণত সাধারণত ছোট গড় স্কোয়ার ত্রুটি (এমএসই) আরও সাধারণভাবে বোঝার অর্থ 'এর চেয়ে ভাল' এর অর্থ means

প্রশ্নটি অবশ্য ঘটে:

সেখানে ক্ষেত্রে যেখানে MoM MLE বীট করতে পারেন হয় - উপর MSE বলে - ছোট নমুনা কি?

(যেখানে এটি কোনও অদ্ভুত / অবনতিজনিত পরিস্থিতি নয় - যেমন এমএলটির উপস্থিতি থাকতে পারে / asympototically দক্ষ রাখা)

একটি ফলোআপ প্রশ্ন তখন 'ছোট হতে পারে কত বড়?' - এটির উদাহরণস্বরূপ যদি এমন কিছু আছে যা এখনও তুলনামূলকভাবে বড় আকারের নমুনা আকার ধারণ করে, এমনকি সমস্ত সীমাবদ্ধ নমুনার আকারও?

[আমি পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারীর একটি উদাহরণ খুঁজে পেতে পারি যা সীমাবদ্ধ নমুনায় এমএলকে পরাজিত করতে পারে, তবে এটি এমওএম নয়]]

নোটটি পূর্বোক্তিকভাবে যুক্ত করা হয়েছে: এখানে আমার ফোকাসটি মূলত ইউনিভারিটিয়ার কেস (যা আসলে আমার অন্তর্নিহিত কৌতূহলটি এসেছে সেদিকে) is আমি বহুবিধ মামলাগুলি বাতিল করতে চাই না, তবে আমি বিশেষত জেমস-স্টেইন অনুমানের প্রসারিত আলোচনার দিকেও ঝুঁকতে চাই না।

— Glen_b
সূত্র

সমস্যা নেই; এটি আমাদের সবার ক্ষেত্রে এবং আপনার চেয়ে আমার সাথে প্রায়শই ঘটে। আমার সম্ভবত এটি শিরোনামে রাখা উচিত ছিল, তবে এটি ইতিমধ্যে বেশ দীর্ঘ ছিল।

— Glen_b

@ কার্ডিনাল আমি এখন মাপদণ্ড আরও স্পষ্ট করে তুলেছি।

— Glen_b

3

অন্যান্য উপায় আছে যা মুহুর্তের পদ্ধতি সর্বোচ্চ সম্ভাবনা "বীট" করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ মিশ্রণ অনুমানের সমস্যাগুলিতে এমওএল এমওএম না থাকাকালীন গণনা করা বেশ কুখ্যাত।

— vqv

@vqv অবশ্যই এটি এমন একটি ধারণা যা এমওএম পছন্দনীয় হতে পারে।

— Glen_b

2

যেহেতু আমি plebeians দুঃখে ঝোঁক, আমি অবহিত যে IID ইউনিফর্ম একটি নমুনা মধ্যে , শুধুমাত্র মা মূল্নির্ধারক একই MSE অভিজাত (MLE) যদি নমুনা আকার সঙ্গে হয়েছে , বা ... তবে হায়, বড় আকারের নমুনার আকারের জন্য, প্যাট্রিসিয়ান আবার তার সার্বভৌমত্বকে

U (0, θ)

$U(0,\theta)$

θ

$\theta$

1

$1$

2

$2$

— দৃ

36

এটি বিবেচনা করা যেতে পারে ... প্রতারণা, তবে ওএলএসের অনুমানকারী একটি এমওএম অনুমানকারী। একটি প্রমিত রৈখিক রিগ্রেশনের স্পেসিফিকেসন (সঙ্গে বিবেচনা করুন সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি regressors, তাই মাত্রার regressor ম্যাট্রিক্স উপর শর্তাধীন হয়), এবং আকার একটি নমুনা । বোঝাতে ভ্যারিয়েন্সের OLS ঔজ্জ্বল্যের প্রেক্ষাপটে মূল্নির্ধারক ত্রুটি মেয়াদের। এটা তাই নিরপেক্ষ $K$ $n$ $s^2$ $\sigma^2$

M S E (s^{2}) = Var (s^{2}) = \frac{2 σ^{4}}{n - K}

$MSE(s^2) = \operatorname {Var}(s^2) = \frac {2\sigma^4}{n-K}$

এখন এর এমএলই বিবেচনা করুন । এটাই $\sigma^2$

{\hat{σ}}_{M L}^{2} = \frac{n - K}{n} s^{2}

$\hat \sigma^2_{ML} = \frac {n-K}{n}s^2$ এটি কি পক্ষপাতদুষ্ট? এটির এমএসই হচ্ছে

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) = Var ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) + [E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) - σ^{2}]^{2}

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) = \operatorname {Var}(\hat \sigma^2_{ML}) + \Big[E(\hat \sigma^2_{ML})-\sigma^2\Big]^2$ ওএলএসের ক্ষেত্রে এমএলই প্রকাশ করা এবং আমরা প্রাপ্ত ওএলএসের অনুমানকারী বৈচিত্রের জন্য অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) = {(\frac{n - K}{n})}^{2} \frac{2 σ^{4}}{n - K} + {(\frac{K}{n})}^{2} σ^{4}

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) = \left(\frac {n-K}{n}\right)^2\frac {2\sigma^4}{n-K} + \left(\frac {K}{n}\right)^2\sigma^4$

\Rightarrow M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) = \frac{2 (n - K) + K^{2}}{n^{2}} σ^{4}

$\Rightarrow MSE (\hat \sigma^2_{ML}) = \frac {2(n-K)+K^2}{n^2}\sigma^4$

আমরা কোন অবস্থার অধীনে (যদি সেগুলি বিদ্যমান থাকে) চাই

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) > M S E (s^{2}) \Rightarrow \frac{2 (n - K) + K^{2}}{n^{2}} > \frac{2}{n - K}

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) > MSE (s^2) \Rightarrow \frac {2(n-K)+K^2}{n^2} > \frac {2}{n-K}$

\Rightarrow 2 (n - K)^{2} + K^{2} (n - K) > 2 n^{2}

$\Rightarrow 2(n-K)^2+K^2(n-K)> 2n^2$

2 n^{2} - 4 n K + 2 K^{2} + n K^{2} - K^{3} > 2 n^{2}

$2n^2 -4nK + 2K^2 +nK^2 - K^3 > 2n^2$ আমরা তে এই চতুর্ভুজটির পক্ষে নেতিবাচক মানগুলি পাওয়া সম্ভব? ইতিবাচক হওয়ার জন্য আমাদের এর বৈষম্যমূলক প্রয়োজন। আমাদের কাছে যা এই বারের আরও এক চতুর্ভুজ । এই বৈষম্যমূলক হ'ল তাই এই বিষয়টি বিবেচনায় নিতে যে একটি পূর্ণসংখ্যা। যদি

- 4 n + 2 K + n K - K^{2} > 0 \Rightarrow K^{2} - (n + 2) K + 4 n < 0

$-4n + 2K +nK - K^2 > 0 \Rightarrow K^2 - (n+2)K + 4n < 0$

K

$K$

Δ_{K} = (n + 2)^{2} - 16 n = n^{2} + 4 n + 4 - 16 n = n^{2} - 12 n + 4

$\Delta_K = (n+2)^2 -16n = n^2 + 4n + 4 - 16n = n^2 -12n + 4$

n

$n$

Δ_{n} = 12^{2} - 4^{2} = 8 \cdot 16

$\Delta_n = 12^2 - 4^2 = 8\cdot 16$

n_{1}, n_{2} = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 16}}{2} = 6 \pm 4 \sqrt{2} \Rightarrow n_{1}, n_{2} = {1, 12}

$n_1,n_2 = \frac {12\pm \sqrt{8\cdot 16}}{2} = 6 \pm 4\sqrt2 \Rightarrow n_1,n_2 = \{1, 12\}$

n

$n$

n

$n$ এই ব্যবধানের এবং এর চতুর্ভুজ সবসময় ধনাত্মক মান নেয়, সুতরাং আমরা প্রয়োজনীয় অসমতা অর্জন করতে পারি না। সুতরাং: আমাদের 12 এর চেয়ে বড় আকারের একটি নমুনা প্রয়োজন।

Δ_{K} < 0

$\Delta_K <0$

K

$K$

কোয়াড্র্যাটিকের জন্য এটি শিকড় দেওয়া $K$

K_{1}, K_{2} = \frac{(n + 2) \pm \sqrt{n^{2} - 12 n + 4}}{2} = \frac{n}{2} + 1 \pm \sqrt{{(\frac{n}{2})}^{2} + 1 - 3 n}

$K_1, K_2 = \frac {(n+2)\pm \sqrt{n^2 -12n + 4}}{2} = \frac n2 +1 \pm \sqrt{\left(\frac n2\right)^2 +1 -3n}$

সার্বিক: নমুনা আকার জন্য এবং regressors সংখ্যা যেমন যে আমরা আছে জন্য উদাহরণস্বরূপ, যদি তবে এক খুঁজে পেয়েছে যে অসমতার জন্য রেজিস্ট্রার সংখ্যা হতে হবে । এটি আকর্ষণীয় যে অল্প সংখ্যক রেজিস্ট্রারদের জন্য এমএসই অর্থে এমএলই ভাল। $n>12$ $K$ $\lceil K_1\rceil <K<\lfloor K_2\rfloor$

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) > M S E (s^{2})

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) > MSE (s^2)$

n = 50

$n=50$

5 < K < 47

$5<K<47$

সংযোজন
মূল জন্য সমীকরণ লেখা যেতে পারে -quadratic $K$

K_{1}, K_{2} = (\frac{n}{2} + 1) \pm \sqrt{{(\frac{n}{2} + 1)}^{2} - 4 n}

$K_1, K_2 = \left(\frac n2 +1\right) \pm \sqrt{\left(\frac n2 +1\right)^2 -4n}$ যা আমি মনে করি নিখরচায় নীচের মূলটি সর্বদা থাকবে করা যখন regressors এখন পর্যন্ত MLE -so (অ্যাকাউন্ট "পূর্ণসংখ্যা-মান" সীমাবদ্ধতা গ্রহণ) MSE সাশ্রয়ী হতে হবে কোনো (সসীম) নমুনা আকার জন্য।

5

$5$

5

$5$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

1

ঠিক আছে, তাত্ত্বিক মুহুর্তের শর্তটি যা স্পেসিফিকেশনের সাথে আসে তা হ'ল । যে ডিগ্রিটিতে আমরা অনুমানকারী হিসাবে এর নমুনা অ্যানালগ ব্যবহার করি, আমি তা বলব।

E (u^{'} u ∣ X) = σ^{2}

$E(u'u\mid X) = \sigma^2$

E (u^{'} u ∣ X)

$E(u'u \mid X)$

σ^{2}

$\sigma^2$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

1

@AlecosPapadopoulos "নমুনা এনালগ", আমি তর্ক করবে, গ্রহণ করা হবে হর জন্য, অর্থাত এটা MLE হিসাবে একই হতে হবে। আপনি যদি তাত্ত্বিক প্রত্যাশার অভিজ্ঞতাগত প্রত্যাশার সাথে প্রতিস্থাপন করছেন তবে আপনি কীভাবে দিয়ে শেষ করতে পারবেন ? প্রাকৃতিক মুহূর্ত অবস্থার হওয়া উচিত এবং এবং প্রায়োগিক প্রত্যাশা সঙ্গে প্রতিস্থাপন আপনি পেতে হবে হর হবে।

n

$n$

n - K

$n - K$

E [X_{k} (Y - X β)] = 0

$E[X_k(Y - X \beta)] = 0$

E [(Y - X β)^{2}] = σ^{2}

$E[(Y - X\beta)^2] = \sigma^2$

n

$n$

— লোক

2

@ গ্যুই এটি একটি কার্যকর মন্তব্য mark ডিগ্রি অফ-স্বাধীনতা সংশোধন সবসময়ই ছিল, আমার কাছে, মেথড অফ মোমেন্টস সহ একটি ধারণামূলক সমস্যা। সর্বোপরি "নমুনা অ্যানালগ" কোনও কঠোর ধারণা নয় এবং এটি প্রত্যাশিত মান-তবে একটি অ্যাসিপটোটিক কাঠামোর সাথে পরিবর্তে দ্বারা বিভাজন করে চিঠিপত্রের মাধ্যমে "নমুনা মানে" ধারণার সাথে যুক্ত হয় does কোন পার্থক্য না। আমার কাছে এটি একটি অমীমাংসিত বিষয় রয়ে গেছে। অন্যদিকে, সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমানক সম্ভাবনা সমীকরণগুলির দ্বারা

n - K

$n-K$

n

$n$

— দৃ concrete়ভাবে

1

@ গুই (সিএনটিডি)। তাই কি আপনি বলছেন যে এই ক্ষেত্রে ত্রুটি ভ্যারিয়েন্সের MoM মূল্নির্ধারক হয় হয় সর্বাধিক সম্ভাবনা মূল্নির্ধারক, এবং তাই ফলাফলের আমি উদ্ভূত এমএল সঙ্গে না আম্মু তুলনা, কিন্তু OLS ঔজ্জ্বল্যের প্রেক্ষাপটে সঙ্গে এমএল (আধুনিক তার নিজের উপর একটি বিভাগ হচ্ছে)। .. হ্যাঁ, এটি যুক্তিযুক্ত হতে পারে যে এটি (এটিও) কেস।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

1

"এমওএম এর প্রাক্কলনকারীর মতো কোনও জিনিস আছে? এটি "একজন" মোম অনুমানকারী, তাই না? আপনি যদি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ওএলএস অবশিষ্টাংশ গ্রহণ করেন, , তবে । এটি পুরোপুরি ভাল মুহুর্তের অবস্থা, তাই না? এবং এটি জন্য পুরোপুরি একটি ভাল এমওএম দেয় , না? যথা, সাধারনত ওএলএস অনুমানকারী, ।

e

$e$

E (e^{2}) = \frac{n - k}{n} σ^{2}

$E(e^2)=\frac{n-k}{n}\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

s^{2}

$s^2$

— বিল

17

"এই নিবন্ধে, আমরা দ্বি-প্যারামিটার ইনভার্স গাউসীয় বিতরণের একটি নতুন প্যারামিটারাইজেশন বিবেচনা করি moments আমরা মুহুর্তের পদ্ধতি এবং সর্বাধিক সম্ভাবনার পদ্ধতি দ্বারা বিপরীত গাউসীয় বিতরণের পরামিতিগুলির জন্য অনুমানকারীগুলি পাই Then তারপরে, আমরা কার্যকারিতা তুলনা করি তাদের পক্ষপাতদুষ্ট এবং বর্গক্ষেত্রের ত্রুটি (এমএসই) -এর ভিত্তিতে দুটি পদ্ধতির জন্য অনুমানকারী this এটির জন্য আমরা প্যারামিটারগুলির মানগুলি নির্ধারণ করি, সিমুলেশনগুলি পরিচালনা করি এবং উভয় পদ্ধতির দ্বারা প্রাপ্ত অনুমানের জন্য এমএসই এবং পক্ষপাতের প্রতিবেদন করি The উপসংহারটি যখন নমুনার আকারগুলি 10 হয়, মুহুর্তের পদ্ধতিটি উভয় প্যারামিটারের (ল্যাম্বডা এবং থেইটা) অনুমানের জন্য সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতির চেয়ে বেশি দক্ষ হতে দেখা যায় .... " আরও পড়ুন

আজকাল কেউ প্রকাশিত সমস্ত কিছুতে বিশ্বাস করতে পারে না (বা করা উচিত নয়) তবে কাগজের শেষ পৃষ্ঠাটি আশাব্যঞ্জক বলে মনে হয়। আমি আশা করি এটি আপনার নোটটি পূর্ববর্তী সময়ে যুক্ত করেছে।

— ঘুমন্ত অবস্থায়
সূত্র

1

যদি আমি সঠিকভাবে তারপর যে প্রবন্ধে টেবিল বুঝতে আমি বিশ্বাস করি আপনি সঠিক গেছে - কিছু নমুনা মাপ এ মুহূর্তের পদ্ধতি (কাগজ মধ্যে MME) MLE অতিক্রম করে যাওয়া, অন্তত আনুমানিক হিসাব উপর বলে মনে হয় । (তবে, কিছু সিমুলেশন ফলাফল কিছুটা অদ্ভুতের চেয়ে বেশি বলে মনে হয় - যেমন পি 49 এর ডানদিকের কলামের অগ্রগতি me) - আমার কাছে এটি একটি খুব আকর্ষণীয় ফলাফল কারণ বিপরীত গাওসিয়ান তুলনামূলকভাবে বহুল ব্যবহৃত হয়।

θ

$\theta$

— Glen_b

গুড ফাইন্ড! ফলাফলগুলি বন্ধ থাকলেও দাবিটি কোথাও স্পষ্ট করে বলা ভাল লাগল।

— বেন ওগোরেক

আমার উত্তরে আমি যে কাগজটির সাথে লিঙ্ক করেছি সেগুলি একটি এমএসসি থিসিস থেকে উদ্ভূত হয়েছে, যা এটির পুরোপুরি এখানে পাওয়া যায়: digi.library.tu.ac.th/thesis/st/0415 সম্পর্কিত বিবরণের জন্য যেমন বিভাগ 5.2 দেখুন। একজন পূর্ণ অধ্যাপক সহ ছয় জন এই ফলাফলটিতে সাইন আপ করেছেন।

— হাইবারনেট করা

14

"জেনারালাইজড পেরেটো ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য প্যারামিটার এবং কোয়ান্টাইল অনুমান" তে হোসিং এবং ওয়ালিস (1987) পরিচালিত সিমুলেশন অনুসারে সিডিএফ দ্বারা প্রদত্ত দ্বি-পরামিতি জেনারেলাইজড পেরেটো বিতরণের পরামিতিগুলি

$G(y)= \begin{cases} 1-\left(1+ \frac{\xi y}{\beta} \right)^{-\frac{1}{\xi}} & \xi \neq 0 \\ 1-\exp\left(-\frac{y}{\beta}\right) & \xi=0 \end{cases}$

বা ঘনত্ব

$g(y)= \begin{cases} \frac{1}{\beta} \left( 1+\frac{\xi y}{\beta} \right)^{-1-\frac{1}{\xi}} & \xi \neq 0 \\ \frac{1}{\beta} \exp\left(-\frac{y}{\beta} \right) & \xi=0 \end{cases}$

যদি তারা এমএল এর বিপরীতে এমওএমের মাধ্যমে অনুমান করা হয় তবে আরও নির্ভরযোগ্য। এটি 500 মাপ অবধি নমুনাগুলি ধারণ করে The

$\widehat\beta = \frac{\overline y \overline{y^2}}{2(\overline{y^2} - (\overline y)^2)}$

এবং

$\widehat\xi = \frac{1}{2} - \frac{(\overline y)^2}{2(\overline{y^2} - (\overline y)^2)}$

সঙ্গে

$\overline{y^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2$

কাগজে বেশ কয়েকটি টাইপস রয়েছে (কমপক্ষে আমার সংস্করণটি রয়েছে)। উপরে দেওয়া এমওএম অনুমানের ফলাফলগুলি এই থ্রেডটিতে "হিরোপআপ" দ্বারা দয়া করে সরবরাহ করা হয়েছিল ।

— Joz
সূত্র

এর জন্য ধন্যবাদ. আমি এখন পর্যন্ত যা চেয়েছিলাম তার একটি সহজ উদাহরণ এটি।

— Glen_b

13

আমি একটি পেয়েছি:

অসমমিতিক ঘনিষ্ঠ শক্তি বিতরণের জন্য

f (x) = \frac{α}{σ Γ (\frac{1}{α})} \frac{κ}{1 + κ^{2}} \exp (- \frac{κ^{α}}{σ^{α}} [(x - θ)^{+}]^{α} - \frac{1}{κ^{α} σ^{α}} [(x - θ)^{-}]^{α}), α, σ, κ > 0, and x, θ \in R

$f(x) = \frac{\alpha}{\sigma\Gamma(\frac{1}{\alpha})} \frac{\kappa}{1+\kappa^2}\exp\left(-\frac{\kappa^\alpha}{\sigma^\alpha}[(x-\theta)^+]^\alpha -\frac{1}{\kappa^\alpha \sigma^\alpha}[(x-\theta)^-]^\alpha\right)\,,\quad \alpha,\sigma,\kappa>0, \text{ and } x,\theta\in \mathbb R$

ডেলিকাডো এবং গোরিয়ার সিমুলেশন ফলাফল (২০০৮) পরামর্শ দেয় যে ছোট নমুনা আকারের কিছু পরামিতিগুলির জন্য, মুহুর্তের পদ্ধতিটি এমএলইকে ছাড়িয়ে যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ- sample অনুমান করার সময় স্যাম্পল আকার 10-তে ক্ষেত্রে , এমএম এর চেয়ে এমএমএসের এমএসই ছোট। $\theta$ $\sigma$

ডেলিকাডো এবং গোরিয়া (২০০৮),
অসম্পূর্ণ ক্ষতিকারক শক্তি বিতরণের জন্য সর্বাধিক সম্ভাবনা, মুহুর্ত এবং এল-মুহুর্ত পদ্ধতির একটি ছোট নমুনা তুলনা,
জার্নাল কম্পিউটেশনাল স্ট্যাটিস্টিকস এবং ডেটা বিশ্লেষণ
খণ্ড 52 ইস্যু 3, জানুয়ারী, পিপি 1661-1673

(এছাড়াও http://www-eio.upc.es/~delicado/my-public-files/LmomAEP.pdf দেখুন )

— Glen_b
সূত্র

13

মুহুর্তের পদ্ধতিটি (এমএম) সর্বাধিক সম্ভাবনা (এমএল) পদ্ধতির কাছে পরাজিত করতে পারে যখন কেবলমাত্র কিছু জনসংখ্যার মুহুর্ত নির্দিষ্ট করা সম্ভব হয়। যদি বিতরণটি অ-সংজ্ঞায়িত হয় তবে এমএল অনুমানকারীগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে না।

সীমাবদ্ধ মুহুর্ত এবং iID পর্যবেক্ষণগুলি ধরে রেখে, এমএম দুর্দান্ত অ্যাসিপোটিক বৈশিষ্ট্য সহ ভাল অনুমান সরবরাহ করতে পারে।

উদাহরণ: যাক একজন IID নমুনা হতে , যেখানে একটি অজানা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন। নির্ধারণ করুন ম মুহূর্ত এবং যে বিবেচনা সুদ বের মুহূর্ত অনুমান হয় । $X_1, \ldots, X_n$ $X \sim f$ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$ $\nu_k = \int_{\mathbb{R}} x^k f(x)dx$ $k$ $\nu_4$

যাক , তারপর অভিমানী যে , কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য গ্যারান্টী যে যেখানে " " এর অর্থ "বিতরণে রূপান্তরিত হয়" । তদ্ব্যতীত, স্লুটস্কির উপপাদ্য দ্বারা, $\bar{X_k} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$ $\nu_8 < \infty$

\sqrt{n} (\bar{X_{4}} - ν_{4}) \overset{d}{\to} N (0, ν_{8} - ν_{4}^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X_4} - \nu_4) \stackrel{d}{\to} N(0, \nu_8 - \nu_4^2),$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

\frac{\sqrt{n} (\bar{X_{4}} - ν_{4})}{\sqrt{\bar{X_{8}} - {\bar{X_{4}}}^{2}}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{n}(\bar{X_4} - \nu_4)}{\sqrt{\bar{X_8} - \bar{X_4}^2}} \stackrel{d}{\to} N(0, 1)$ যেহেতু (সম্ভবত অভিসৃতি)।

\bar{X_{8}} - {\bar{X_{4}}}^{2} \overset{P}{\to} ν_{8} - ν_{4}^{2}

$\bar{X_8} - \bar{X_4}^2 \stackrel{P}{\to} \nu_8 - \nu_4^2$

এটি হল, আমরা মুহুর্তের পদ্ধতির (বৃহত নমুনাগুলির জন্য) ব্যবহার করে জন্য (আনুমানিক) আঁকতে পারি, আমাদের কেবলমাত্র জনসংখ্যার আগ্রহের মুহুর্তগুলিতে কিছু অনুমান করতে হবে। এখানে, সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুমানকারীগুলি এর আকার না জেনে সংজ্ঞায়িত করা যায় না । $\nu_4$ $f$

একটি সিমুলেশন অধ্যয়ন:

প্যাট্রিয়োটা ইত্যাদি। (২০০৯) একটি ত্রুটি-ইন-ভেরিয়েবল মডেলে অনুমানের পরীক্ষার প্রত্যাখ্যান হারগুলি যাচাই করতে কিছু সিমুলেশন অধ্যয়ন পরিচালনা করে। ফলাফলগুলি সুপারিশ করে যে এমএম পদ্ধতিটি ছোট নমুনাগুলির জন্য এমএল এর চেয়ে নামমাত্র স্তরের কাছাকাছি নাল অনুমানের অধীনে ত্রুটির হার উত্পাদন করে।

Noteতিহাসিক নোট:

মুহুর্তের পদ্ধতিটি কে। পিয়ারসন 1894 সালে "বিবর্তনের গাণিতিক তত্ত্বের অবদান" দ্বারা প্রস্তাব করেছিলেন। সর্বাধিক সম্ভাবনার পদ্ধতিটি ১৯২২ সালে আরএ ফিশার প্রস্তাব করেছিলেন "তাত্ত্বিক পরিসংখ্যানের গাণিতিক ভিত্তিতে"। দুটি কাগজই যেখানে লন্ডনের রয়্যাল সোসাইটির দার্শনিক লেনদেনগুলিতে প্রকাশিত হয়েছিল, সিরিজ এ।

রেফারেন্স:

ফিশার, আরএ (1922)। তাত্ত্বিক পরিসংখ্যানের গাণিতিক ভিত্তিতে, লন্ডনের রয়্যাল সোসাইটির দার্শনিক লেনদেন, সিরিজ এ, 222, 309-368।

প্যাট্রিয়োটা, এজি, বলফারিন, এইচ, ডি কাস্ত্রো, এম (২০০৯)। সমীকরণ ত্রুটিযুক্ত একটি ভিন্ন ভিন্ন স্ট্রাকচারাল ত্রুটি-ইন-ভেরিয়েবল মডেল, পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি 6 (4), 408-423 ( পিডিএফ )

পিয়ারসন, কে (1894)। বিবর্তনের গাণিতিক তত্ত্বের অবদান, লন্ডনের রয়্যাল সোসাইটির দার্শনিক লেনদেন, সিরিজ এ, 185, 71-110।

— আলেকজান্দ্রে প্যাট্রিয়োটা
সূত্র

1

আপনার উত্তরটি সম্ভবত একটি আকর্ষণীয় মত মনে হচ্ছে। আপনি কি এটির উপর কিছুটা প্রসারিত করতে সক্ষম? আমি নিশ্চিত যে আমি বেশ দেখতে পাচ্ছি না।

— Glen_b

@ গ্লেন_ বি দয়া করে, আমার শেষ সংযোজন আপনাকে সহায়তা করে কিনা তা যাচাই করুন।

— আলেকজান্দ্রে প্যাট্রিয়োটা

তার জন্য ধন্যবাদ; আমি বিশ্বাস করি আপনি যা পাচ্ছেন তা আমি দেখছি।

— Glen_b

ঠিক আছে, এটি একটি সাধারণ মন্তব্য তবে আমি মনে করি এটি আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়। আপনি যদি ডেটা আচরণ সম্পর্কে মোট তথ্য সরবরাহ করেন তবে এটি এমএল পদ্ধতির এমএম পদ্ধতির বাইরে থাকা বেশ স্বাভাবিক। কাগজে [1] আমরা একটি ত্রুটি-ইন-ভেরিয়েবল মডেলে অনুমানের পরীক্ষার প্রত্যাখ্যান হারগুলি যাচাই করতে কিছু সিমুলেশন অধ্যয়ন করি। ফলাফলগুলি সুপারিশ করে যে এমএম পদ্ধতিটি ছোট নমুনাগুলির জন্য এমএল এর চেয়ে নামমাত্র স্তরের কাছাকাছি নাল অনুমানের অধীনে ত্রুটির হার উত্পাদন করে। [1] ime.usp.br/~patriota/STLAYT-D-08-00113- পুনর্বিবেচিত-v2.pdf

— আলেকজান্ডার প্যাট্রিয়োটা

এটি মুহুর্তের পদ্ধতির (এমওএম) একটি অতি সাধারণ উদাহরণ। মোম সাধারণত প্যারামিট্রিক অনুমানের সমস্যায় মোতায়েন করা হয়, যেখানে বিতরণের একটি সু-সংজ্ঞায়িত প্যারামেট্রিক পরিবার রয়েছে। অন্যদিকে, আপনি এখানে একটি ননপ্যারামেট্রিক সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলন নির্ধারণ করতে পারেন । এফ-টুপি বলে অভিব্যক্তিক বিতরণ ফাংশন, অজানা বিতরণ ফাংশন F এর ননপ্যারমেট্রিক সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলন। । এটি চতুর্থ মুহুর্তের নমুনার সমান।

— vqv

5

মোমের পক্ষে অতিরিক্ত উত্স:

হংক, এইচপি এবং ডব্লু। ইয়ে। 2014. কানাডার তুষারের গভীরতার রেকর্ড ব্যবহার করে তীব্র স্থল তুষারের বোঝা বিশ্লেষণ । প্রাকৃতিক বিপত্তি 73 (2): 355-371।

নমুনার আকার ছোট হলে এমএমএল ব্যবহার অবাস্তব পূর্বাভাস দিতে পারে (হোসিং এট আল 1985; মার্টিন এবং স্টেডিঞ্জার 2000)।

মার্টিনস, ইএস এবং জেআর স্টেটিঙ্গার। 2000 জেনারেলাইজড সর্বোচ্চ-সম্ভাবনা একটি hydrologic ডেটার জন্য চরম-মান সমাংশক estimators সাধারণ । জল সম্পদ গবেষণা 36 (3): 737-744।

সারাংশ:

থ্রি-প্যারামিটার জেনারালাইজড চূড়ান্ত মান (জিইভি) বিতরণে বার্ষিক বন্যা, বৃষ্টিপাত, বাতাসের গতি, তরঙ্গ উচ্চতা, তুষার গভীরতা এবং অন্যান্য ম্যাক্সিমার বর্ণনা দেওয়ার জন্য বিস্তৃত আবেদন পাওয়া গেছে। পূর্ববর্তী অধ্যয়নগুলি দেখায় যে ছোট-নমুনা সর্বাধিক-সম্ভাবনা অনুমানের (এমএলই) পরামিতিগুলি অস্থির এবং এল মুহুর্তের অনুমানকারীদের প্রস্তাব দেয়। আরও সাম্প্রতিক গবেষণাটি দেখায় যে কোয়ান্টাইল অনুমানকারীগুলির মুহুর্তগুলির পদ্ধতিতে moments0.25 <κ <0.30 এল মূহুর্ত এবং এমএলইএস এর চেয়ে ছোট মূল-বর্গক্ষেত্র ত্রুটি রয়েছে। ছোট নমুনায় এমএলইগুলির আচরণের পরীক্ষাটি প্রমাণ করে যে জিইভি-আকৃতির প্যারামিটারের অযৌক্তিক মানগুলি তৈরি করা যেতে পারে। একটি সাধারণীকৃত সর্বাধিক সম্ভাবনা (জিএমএল) বিশ্লেষণে পরিসংখ্যানগত / শারীরিকভাবে যুক্তিসঙ্গত পরিসীমাতে κ মানগুলিকে সীমাবদ্ধ করার জন্য একটি বায়সিয়ান পূর্ব বিতরণ ব্যবহার এই সমস্যাটিকে দূর করে।

ভূমিকা এবং সাহিত্য পর্যালোচনা বিভাগে তারা অতিরিক্ত কাগজপত্রগুলি উদ্ধৃত করে যা সিদ্ধান্ত নিয়েছে যে কোনও ক্ষেত্রে এমওএল এমএলই (আবার চূড়ান্ত মান মডেলিং) ছাড়িয়ে যায়, যেমন

হোস্টিং এট। [1985a] দেখান যে ছোট-নমুনা এমএলই প্যারামিটার অনুমানকারীগুলি খুব অস্থির এবং সম্ভাবনা-ওজনযুক্ত মুহুর্তের (পিডাব্লুএমএম) অনুমানকারীগুলির প্রস্তাব দেয় যা এল মুহুর্তের অনুমানকারীগুলির সমতুল্য [হোসিং, 1990]। [...]

হোস্টিং এট। [1985a] দেখিয়েছে যে জিইভি বিতরণের জন্য সম্ভাব্যতা-ওজনযুক্ত মুহুর্তগুলি (পিএম) বা সমমানের এল মুহুর্ত (এলএম) অনুমানকারী 15 থেকে 100 এর চেয়ে বেশি নমুনা আকারের পক্ষপাত এবং প্রকরণের ক্ষেত্রে সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী (এমএলই) থেকে ভাল। অতি সম্প্রতি, ম্যাডসেন এট আল। [1997a] দেখিয়েছে যে মুহুর্তের পদ্ধতিটির (এমওএম) কোয়ান্টাইল অনুমানকারীদের এলএম এবং এমএলএর চেয়ে -0.25 <কে <0.30 এর জন্য ছোট আরএমএসই (মূল-বর্গক্ষেত্রের ror) থাকে যখন 10-50 আকারের নমুনা আকারের জন্য 100-বছরের ইভেন্টের অনুমান করা হয় । এমএলইগুলি কেবলমাত্র কে> ০.০ এবং সেটিংয়ের আকারগুলি বিনয়ী (এন> = 50) হলে পছন্দসই।

কে (ক্যাপ্পা) হ'ল জিইভির আকৃতি প্যারামিটার।

উদ্ধৃতিতে উপস্থিত কাগজপত্রগুলি:

হোসিং জে, ওয়ালিস জে, উড ই (1985) সম্ভাবনা-ওজনযুক্ত মুহুর্তগুলির পদ্ধতি দ্বারা সাধারণীকরণের চূড়ান্ত-মূল্য বিতরণের অনুমান । টেকনোমেট্রিক্স 27: 251–261।

ম্যাডসেন, এইচ।, পি.এফ. রাসমুসেন এবং ডি। রোজবার্গ (১৯৯ extreme) চূড়ান্ত হাইড্রোলজিক ইভেন্টগুলির মডেলিংয়ের জন্য বার্ষিক সর্বাধিক সিরিজ এবং আংশিক সময়কালীন সিরিজ পদ্ধতির তুলনা , 1, এট-সাইট মডেলিং, ওয়াটার রিসোর। Res।, 33 (4), 747-758।

হোসিং, জেআরএম, এল-মুহুর্তগুলি: অর্ডার পরিসংখ্যানের লিনিয়ার সংমিশ্রণগুলি ব্যবহার করে বিতরণ বিশ্লেষণ এবং অনুমান , জেআর স্ট্যাটাস। সোস, সার্। বি, 52, 105-124, 1990।

অতিরিক্ত হিসাবে, আমার উপরের কাগজপত্রগুলিতে যেমন সমাপ্ত হয়েছে তেমন অভিজ্ঞতা আছে, ছোট এবং মাঝারি নমুনার আকারের সাথে চরম ঘটনাগুলি মডেলিংয়ের ক্ষেত্রে (<50-100 যা সাধারণ) এমএলই অবাস্তব ফলাফল দিতে পারে, সিমুলেশন দেখায় যে এমওএম আরও শক্তিশালী এবং ছোট আরএমএসই

— Arpi
সূত্র

3

এটির উত্তর দেওয়ার প্রক্রিয়াতে: দ্বিপাক্ষিকের জন্য প্যারামিটারগুলি অনুমান করা আমি এই কাগজটিতে হোঁচট খেয়েছি :

ইঙ্গ্রাম ওলকিন, এ জন পেটকা, জেমস ভি জিদেক: দ্বিপদী বিতরণের জন্য এন অনুমানকারীগুলির একটি তুলনা। জাসা 1981।

যা একটি উদাহরণ দেয় যেখানে মুহুর্তের পদ্ধতি, কমপক্ষে কিছু ক্ষেত্রে সর্বাধিক সম্ভাবনা মারায়। সমস্যাটি দ্বি দ্বি বিতরণ অনুমান যেখানে উভয় পরামিতি অজানা। এটা তোলে পশু প্রাচুর্য অনুমান করার জন্য যখন আপনি সব প্রাণী দেখতে পায় না চেষ্টা উদাহরণস্বরূপ প্রদর্শিত হবে, এবং দেখা সম্ভাব্যতা এছাড়াও অজানা। $N$ $\text{Bin}(N,p)$ $p$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন
সূত্র

এই উদাহরণটি সম্পর্কে খুব সুন্দর একটি জিনিস হ'ল পরিস্থিতিটি জানানো খুব সহজ - অনেক লোক দ্বিপাক্ষিক (কমপক্ষে ধারণার ক্ষেত্রে, নামটির সাথে সর্বদা না থাকলে) এর সাথে পরিচিত।

— Glen_b