নমুনার গড়টি দেওয়া স্যাম্পল মিডিয়ানের প্রত্যাশিত মান

Question

যাক $Y$ মধ্যমা বোঝাতে দিন $\bar{X}$ বোঝাতে গড়, আকারের একটি র্যান্ডম নমুনা $n=2k+1$ একটি বিতরণ যে থেকে । আমি কীভাবে গণনা করতে পারি ?$N(\mu,\sigma^2)$$E(Y|\bar{X}=\bar{x})$

স্বজ্ঞাতভাবে, স্বাভাবিকতা অনুমানের কারণে, দাবি করা বুদ্ধিমান হয়ে যায় যে এবং সত্যই এটি সঠিক উত্তর। এটি কি কঠোরভাবে দেখানো যেতে পারে?$E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$

আমার প্রাথমিক চিন্তাটি ছিল শর্তসাপেক্ষে সাধারণ বিতরণ ব্যবহার করে এই সমস্যাটির কাছে আসা যা সাধারণত একটি পরিচিত ফলাফল। সেখানে সমস্যাটি হ'ল যেহেতু আমি প্রত্যাশিত মানটি এবং ফলস্বরূপ মধ্যকের বৈচিত্রটি জানি না, তাই আমাকে অর্ডারের পরিসংখ্যানগুলি গণনা করতে হবে । তবে এটি খুব জটিল এবং আমি সম্পূর্ণরূপে না হলে আমি সেখানে যাব না। $k+1$

Comments

আমি বিশ্বাস করি যে এটি কেবলমাত্র stats.stackexchange.com/a/83887 এ পোস্ট করা সাধারণীকরণের তাত্ক্ষণিক পরিণতি । বন্টন x i - ˉ $x_i-\bar{x}$ স্পষ্টভাবে সম্পর্কে প্রতিসাম্য $0$, যেহেতু তাদের মধ্যমাটির প্রতিসাম্য বন্টন রয়েছে, সুতরাং এর গড়টি শূন্য। অতএব মধ্যমা নিজেই (শুধুমাত্র অবশিষ্টাংশ এর) প্রত্যাশা সমান $0 + E(\bar{X}\ |\ \bar{X}=\bar{x}) = \bar{x}$ , Qed।

— হোবার

@ ভুবার দুঃখিত, অবশিষ্টাংশ?

— জনক

আমি আমার মন্তব্যে সেগুলি সংজ্ঞায়িত করেছি: এগুলি প্রতিটি $x_i$ এবং তাদের গড়ের মধ্যে পার্থক্য ।

— whuber

@ হুবুহু না আমি বুঝতে পারি না তবে আপনার উত্তরটি আমার প্রশ্নের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত এবং আপনি কীভাবে প্রত্যাশাটি ব্যবহার করেছেন তা বোঝার জন্য আমি এখনও কাজ করছি।

— JohnK

@ ভুবার ঠিক আছে, তবে দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন যদি আমি ভুল, $E(Y|\bar{X})=E(\bar{X}|\bar{X})+E(Y-\bar{X}|\bar{X})$ এবং এখন দ্বিতীয় শব্দটি শূন্য কারণ মধ্যমা প্রতিসম প্রায় $\bar{x}$ । অতএব, প্রত্যাশা হ্রাস করার $\bar{x}$

— JohnK

Answer 1

$X$ আসল নমুনা এবং $Z$ টি এন্টারপ্রাইজ সহ এলোমেলো ভেক্টরকে বোঝাতে দিন $Z_k=X_k-\bar X$। তারপরে $Z$ স্বাভাবিক কেন্দ্রীভূত হয় (তবে এর এন্ট্রিগুলি স্বতন্ত্র নয়, যেমনটি দেখা যায় যে তাদের যোগফল সম্পূর্ণ সম্ভাবনার সাথে শূন্য হয়)। একটি রৈখিক কার্মিক হিসাবে $X$ , ভেক্টর $(Z,\bar X)$ স্বাভাবিক অত: পর তার সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স যথেষ্ট এর গণনার দেখানোর জন্য যে $Z$ স্বাধীন $\bar X$ ।

দিকে ঘুরতে , কেউ দেখতে পাবে যে Y = ˉ X + T যেখানে টি Z এর মাঝারি । বিশেষ করে, টি উপর নির্ভর করে জেড শুধুমাত্র অত: পর টি স্বাধীন ˉ এক্স , এবং বিতরণের $Y$$Y=\bar X+T$$T$$Z$$T$$Z$$T$$\bar X$$Z$ অত: পর প্রতিসম হয় কেন্দ্রীভূত হয়।$T$

অবশেষে,

$$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ, এটি প্রায় এক বছর আগে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল এবং আমি খুব আনন্দিত যে কেউ অবশেষে এটি পরিষ্কার করে দিয়েছে।

— JohnK

Answer 2

নমুনা মাঝারিটি একটি অর্ডার পরিসংখ্যান এবং এতে একটি অস্বাভাবিক বিতরণ থাকে, সুতরাং নমুনা মিডিয়েন এবং স্যাম্পল গড়ের (যা একটি সাধারণ বিতরণ রয়েছে) এর যৌথ সসীম-নমুনা বিতরণ দ্বিখণ্ডিত স্বাভাবিক হবে না। আনুষঙ্গিকভাবে নিম্নলিখিত হোল্ডগুলি অনুমানের দিকে অবলম্বন করুন (আমার উত্তর এখানে দেখুন ):

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

সঙ্গে

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

যেখানে নমুনা গড় এবং μ জনসংখ্যার গড় ওয়াই এন নমুনা মধ্যমা এবং V জনসংখ্যা মধ্যমা, চ ( ) র্যান্ডম জড়িত ভেরিয়েবল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব এবং σ 2 ভ্যারিয়েন্স হয়। $\bar X_n$$\mu$$Y_n$$\mathbb v$$f()$$\sigma^2$

প্রায় আনুমানিক বড় নমুনাগুলির জন্য, তাদের যৌথ বন্টন দ্বিচারিত হয় স্বাভাবিক, তাই আমাদের তা

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

যেখানে $\rho$ হ'ল পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ।

নমুনা গড় এবং নমুনা মাঝারি (এবং মানক পরিমাণে নয়) এর আনুমানিক বৃহত-নমুনা যৌথ বন্টন হয়ে ওঠার জন্য অ্যাসিপোটোটিক বিতরণ চালিয়ে যাওয়া, আমাদের কাছে

$$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

সুতরাং

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

আমাদের কাছে স্বাভাবিক ঘনত্ব প্রতিসাম্য কারণে তাই আমরা উতরান$2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

where we have used $\mathbb v = \mu$. Now the standardized variable is a standard normal, so its absolute value is a half-normal distribution with expected value equal to $\sqrt{2/\pi}$ (since the underlying variance is unity). So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

Comments

As always, nice answer +1. However, since we have no information about the sample size, the asymptotic distribution might not hold. If there is no way to obtain the exact distribution though, I suppose I'll have to make do. Thank you very much.

— JohnK

Answer 3

The answer is $\bar{x}$.

Let $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ have a multivariate distribution $F$ for which all the marginals are symmetric about a common value $\mu$. (It does not matter whether they are independent or even are identically distributed.) Define $\bar{x}$ to be the arithmetic mean of the $x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$ and write $x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$ for the vector of residuals. The symmetry assumption on $F$ implies the distribution of $x - \bar{x}$ is symmetric about $0$; that is, when $E\subset\mathbb{R}^n$ is any event,

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

Applying the generalized result at /stats//a/83887 shows that the median of $x-\bar{x}$ has a symmetric distribution about $0$. Assuming its expectation exists (which is certainly the case when the marginal distributions of the $x_i$ are Normal), that expectation has to be $0$ (because the symmetry implies it equals its own negative).

Now since subtracting the same value $\bar{x}$ from each of a set of values does not change their order, $Y$ (the median of the $x_i$) equals $\bar{x}$ plus the median of $x-\bar{x}$. Consequently its expectation conditional on $\bar{x}$ equals the expectation of $x-\bar{x}$ conditional on $\bar{x}$, plus $E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$. The latter obviously is $\bar{x}$ whereas the former is $0$ because the unconditional expectation is $0$. Their sum is $\bar{x},$ QED.

Comments

Thank you for posting it as a full answer. I now understand the essence of your argument but I might ping you if something is still unclear.

— JohnK

JohnK, I need to alert you to be cautious. A counterexample to this argument has been brought to my attention. I have encouraged its originator to post it here for further discussion, but briefly it concerns a discrete bivariate distribution with symmetric marginals but asymmetric conditional marginals. Its existence points to a flawed deduction early in my argument. I currently hope that the argument might be rescued by imposing stronger conditions on the $x_i$, but my attention is presently focused elsewhere and I might not get to think about this for awhile.

— whuber

In the meantime I would encourage you to unaccept this answer. I would ordinarily delete any answer of mine known to be incorrect, but (as you might be able to tell) I like solutions based on first principles rather than detailed calculations, so I hope this argument can be rescued. I therefore intend to leave it open for criticism and improvement (and therefore made it CW); let the votes fall as they may.

— whuber

Of course, thanks for letting me know. We will discuss it further when you have time. In the meantime I will settle for the asymptotic argument proposed by @Alecos Papadopoulos.

— JohnK

Answer 4

This is simpler than the above answers make it. The sample mean is a complete and sufficient statistic (when the variance is known, but our results do not depend on the variance, hence will be valid also in the situation when the variance is unknown). Then the Rao-Blackwell together with the Lehmann-Scheffe theorems (see wikipedia ...) will imply that the conditional expectation of the median, given the arithmetic mean, is the unique minimum variance unbiased estimator of the expectation $\mu$. But we know that is the arithmetic mean, hence the result follows.

We did also use that the median is an unbiased estimator, which follows from symmetry.

Comments

By symmetry $E[Y]=\mu$, indeed. Then from these two theorems we know that $E[Y|\bar{X}]$ is the Unique Minimum Variance Unbiased Estimator for $\mu$ which we already know to be equal to $\bar{X}$. This is a brilliant answer, thank you very much. I would have marked it as the correct one, had I not done that already for another answer.

— JohnK