2 ডি স্বাভাবিক বিতরণের ব্যাসার্ধের নমুনা বিতরণ

গড় এবং কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সহ বিভাজনীয় সাধারণ বিতরণটি ব্যাসার্ধ এবং কোণ- সহ মেরু স্থানাঙ্কে পুনরায় লেখা যেতে পারে । আমার প্রশ্ন: নমুনা কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স প্রদত্ত এর নমুনা বিতরণ কী, যেটি অনুমানক কেন্দ্র a থেকে বিন্দু থেকে দূরত্বে ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

পটভূমি: সত্য দূরত্ব থেকে একটি বিন্দু গড় থেকে একটি অনুসরণ Hoyt বন্টন । Eigenvalues সঙ্গে এর , এবং , তার আকৃতি প্যারামিটার , এবং তার স্কেল প্যারামিটার । ক্রম বিতরণ ফাংশন দুটি মারকুম কিউ-ফাংশনের মধ্যে প্রতিসাম্যগত পার্থক্য হিসাবে পরিচিত। $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

সিমুলেশন দাড়ায় যে অনুমান প্লাগিং এবং জন্য এবং সত্য সিডিএফ মধ্যে বৃহৎ নমুনার জন্য কাজ করে, কিন্তু ছোট নমুনার জন্য নয়। নিম্নলিখিত চিত্রটি 200 বার থেকে ফলাফলগুলি দেখায় $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

প্রদত্ত ( -axis), (সারি) এবং কোয়ান্টাইল (কলাম) এর প্রতিটি সংমিশ্রণের জন্য 20 2 ডি সাধারণ ভেক্টরগুলি অনুকরণ করে $q$ $x$ $\omega$
প্রতিটি নমুনার জন্য, পর্যবেক্ষণ ব্যাসার্ধের থেকে প্রদত্ত পরিমাণের গণনা করা হচ্ছে $\hat{r}$ $\bar{x}$
প্রতিটি নমুনার জন্য, তাত্ত্বিক হোয়েট (2 ডি সাধারন) সিডিএফ থেকে কোয়ান্টাইল গণনা করে, এবং নমুনা অনুমান। এবং প্লাগ করার পরে তাত্ত্বিক রায়লে সিডিএফ থেকে । $\bar{x}$ $S$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

যেমন 1 এ পৌঁছেছে (বিতরণটি বিজ্ঞপ্তি আকারে পরিণত হয়), অনুমান করা হোয়েট কোয়ান্টাইলগুলি অনুমানযুক্ত রায়লেগ কোয়ান্টাইলগুলির কাছে পৌঁছায় যা দ্বারা প্রভাবিত হয় না । হিসাবে বৃদ্ধি গবেষণামূলক quantiles এবং এটি আনুমানিক বেশী বৃদ্ধি মধ্যে, পার্থক্য, বিশেষত বিতরণের লেজ হবে। $q$ $q$ $\omega$

— বন্য বিড়ালবিশেষ
সূত্র

প্রশ্নটি কি?

— জন

@John আমি প্রশ্ন হাইলাইট: "[ব্যাসার্ধ] এর স্যাম্পলিং বন্টন কী , যা থেকে একটি বিন্দু দূরত্ব হয়, আনুমানিক কেন্দ্রে নমুনা convariance ম্যাট্রিক্স দেওয়া ?"

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— কারাকাল

কেন যেমন উল্টোদিকে ?

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— সামিই

@MathEE কারণ সাহিত্য আমি এর (সত্য) বন্টন সাথে সংশ্লিষ্ট হয় জানেন , না (সত্য) । দ্রষ্টব্য যে এই প্রশ্নটিতে আলোচিত মহালানোবিস দূরত্বের সাথে পরিস্থিতি অসদৃশ । অবশ্যই, of বিতরণের ফলাফলগুলি খুব স্বাগত জানাবে।

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— কারাকাল

আপনি আপনার পোস্টে উল্লেখ করা হয়েছে আমরা অনুমান বিতরণের জানেন আমরাও তা প্রদত্ত হই যদি তাই আমরা অনুমান বিতরণের জানেন সত্য । । $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

আমরা যেখানে কলাম ভেক্টর হিসাবে প্রকাশ করা হয়।

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

আমরা এখন স্ট্যান্ডার্ড ট্রিক করি

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$ যেখানে সমীকরণ থেকে উত্পন্ন হয়েছে এবং এর ট্রান্সপোজ।

(1)

$(1)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

লক্ষ্য করুন যে হ'ল নমুনা কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং কেবলমাত্র নমুনা গড়ের উপর নির্ভর করে । সুতরাং আমরা দু'জনের যোগফল হিসাবে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। আমরা এবং জানি এবং তাই আমরা এটি ব্যবহার করে স্ট্যান্ডার্ড ট্রিকের মাধ্যমে সম্পন্ন করেছি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলি গুণক হয়। $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

যুক্ত করতে সম্পাদিত:

$||x_i-\mu||$ হোয়েট তাই এটি পিডিএফ যেখানে হয় পরিবর্তিত বেসেল প্রথম ধরনের ফাংশন ।

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

এর অর্থ এই যে এর পিডিএফ হয় $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

স্বরলিপি স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য , এবং । $a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন হয় $||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

সুতরাং মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন হয় এবং এর $\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

এর অর্থ মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন যা হয় $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর প্রয়োগ করে যে gives পিডিএফ $\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
সূত্র

ধন্যবাদ! গ্রহণের আগে আমাকে বিশদটি নিয়ে কাজ করতে হবে।

— কারাকাল

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$ , এবং ? তারপর চারিত্রিক ফাংশন দুই চরিত্রগত ফাংশন পণ্য হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় এখানে । এটা সত্যিই আমার প্রশ্নের উত্তর। আপনি কি জানেন যে কীভাবে আমরা যথাযথভাবে রূপান্তর করতে পারি যে এর বিতরণটি অ্যাক্সেস ছাড়াই জানা যায় ? মহালানোবিসের দূরত্বের মতো, না অবিচ্ছিন্ন স্ট্যাটিস্টিক?

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

— ক্যারাকাল

আমি আমার উত্তরটি সম্পূর্ণ উত্তরে সম্পাদনা করেছি। আপনি যদি রাজি হন তবে আমাকে জানান let

— সামিই

আমি অজানা সম্পর্কে নিশ্চিত নই । স্পষ্টত করণীয় "বিভক্ত" the দ্বারা নমুনা covariance যা মহালানোবিস দূরত্বের যোগফল হিসাবে দেখায়, অর্থাত । দুর্ভাগ্যক্রমে এই যোগফল সর্বদা ।

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

— সামিই

উত্তরে কাজ চালিয়ে যাওয়ার জন্য ধন্যবাদ! আমি নিশ্চিত বিতরণের সম্পর্কে নই । আমি বিশ্লেষণাত্মকভাবে এটির সাথে চুক্তি করতে সক্ষম নই, তবে of এর একটি দ্রুত সিমুলেশন : আর সিমুলেশন কোডের চেয়ে আলাদা বিতরণ দেয় । যদিও এটি ভাল হতে পারে যে আমি প্যারামাইট্রাইজেশন সঠিকভাবে বুঝতে পারি না ।

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$

— কারাকাল