নির্ভরশীল চি-স্কোয়ার এলোমেলো ভেরিয়েবলের অনুপাতের বিতরণ

ধরে নিন যে যেখানে স্বতন্ত্র। $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

আমার প্রশ্ন, বিতরণ কি করে

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

অনুসরণ করে? আমি এখান থেকে জানি যে দুটি চি-স্কোয়ার্ড এলোমেলো ভেরিয়েবলের অনুপাতটি as হিসাবে প্রকাশিত একটি বিটা বিতরণ অনুসরণ করে। আমি মনে করি যে এটি এবং মধ্যে স্বাধীনতা অর্জন করে । আমার ক্ষেত্রে যদিও, এর ডিনোমিনেটরে স্কোয়ারের উপাদান রয়েছে । $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

আমি মনে করি অবশ্যই বিটা বিতরণের বিভিন্নতা অনুসরণ করতে হবে তবে আমি নিশ্চিত নই। এবং যদি এই অনুমানটি সঠিক হয় তবে কীভাবে এটি প্রমাণ করতে হয় তা আমি জানি না। $Z$

— x0dros
সূত্র

যেহেতু ডিনোমিনেটরের বিতরণ আবর্তনের অধীনে অবিচ্ছিন্ন, আপনি কে equal সমান করে ঘোরান , যা আপনার প্রশ্নকে কিছু পরিচিত :-) হ্রাস করে।

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

আমি নিশ্চিত যে @ হুবারের অর্থ হ'ল সেখানে কি টাইপ করা হয়েছিল exactly আপনি যখন 'নমিনিটার' বলছেন তখন আপনার অর্থ 'সংখ্যক'?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আপনি যখন কোনও কিছু ঘোরান তখন আপনি (সংজ্ঞা অনুসারে) এর দৈর্ঘ্য সংরক্ষণ করেন। অতএব কোন আবর্তিত সংস্করণ ভ্যারিয়েন্স ভ্যারিয়েন্স সমান নয় , যা : যে যেখানে এর শব্দটি থেকে আসে।

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@ হুবুহু আপনার উত্তরটি সত্যই আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে তবে এটি সম্পর্কে আমার কিছু সন্দেহ রয়েছে। আপনি যখন বলেন যে আমি কে সমতুল্য হয়ে উঠতে , এর মূলত অর্থ এই যে আমি হিসাবে লিখতে পারি এবং ফলস্বরূপ, নিজেই পরিবর্তিত হয়। এখন, আমি যদি এবং ধরে নিই এবং যেহেতু এবং স্বতন্ত্র, আমি ধরে নিতে পারি যে a এর একটি

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$ বিতরণ এবং তাই ঘোষণা। আমি কি এখন পর্যন্ত আপনার বক্তব্য পাচ্ছি? সুতরাং, এখানে আমার বিভ্রান্তি আছে। ঘূর্ণন বিমূর্তি এবং পরিবর্তিত ধারণা ব্যবহার করার আগে

— ssah

@ এসএসএ আপনি আমার যুক্তির প্রয়োগে ভুল করেছেন: ডোনামিনেটরে এর বিতরণ আর এর নির্বিচারে আবর্তনের পক্ষে এবং সুতরাং সিদ্ধান্তগুলি আর ধরে না।

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

এই পোস্টে প্রশ্নের মন্তব্যে উত্তরগুলি বিস্তারিতভাবে জানিয়েছে।

আসুন । ইউনিটের দৈর্ঘ্যের কোনও Fix ঠিক করুন । এই ধরণের ভেক্টর সর্বদা একটি orthonormal ভিত্তিতে সম্পন্ন করা যেতে পারে ( উদাহরণস্বরূপ, গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া মাধ্যমে )। এই পরিবর্তনের ভিত্তিতে (সাধারণটি থেকে) অরথোগোনাল: এটি দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে না। এইভাবে বিতরণ $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

উপর নির্ভর করে না । টেকিং শো এই একই বন্টন যেমন হয়েছে $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

যেহেতু সাধারণ হয়, সেগুলি বার স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভেরিয়েবল এবং তাদের স্কোয়ারগুলি বার বিতরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে । যেহেতু এর সমষ্টি স্বাধীন ডিস্ট্রিবিউশন হয় , আমরা স্থির করেছি বিতরণের যে এর যে $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

যেখানে এবং স্বতন্ত্র। এটি সুপরিচিত যে এই অনুপাতের একটি বিটা বিতরণ রয়েছে। (এছাড়াও ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত থ্রেড দেখুন বিতরণ যদি বিটা এবং চি-ছক সঙ্গে ডিগ্রী ।) $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

যেহেতু

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

ইউনিট ভেক্টরের জন্য , আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে হল বার বিটা 1/1 ভেরিয়েট। জন্য তাই ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

বিরতিতে (এবং অন্যথায় শূন্য হয়) $(0,n)$

একটি চেক হিসাবে, আমি , এবং জন্য স্বতন্ত্র উপলব্ধিগুলি সিমুলেটেড , তাদের হিস্টোগ্রামের প্লট করেছি এবং সম্পর্কিত বিটা ঘনত্বের (রেড) গ্রাফটি । চুক্তিগুলি দুর্দান্ত। $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Rকোডটি এখানে । এটিsum(x)^2 / sum(x^2) জন্য সূত্রের মাধ্যমে সিমুলেশন বহন করে , যেখানে দৈর্ঘ্যের একটি ভেক্টর তৈরি করে । বাকিটি কেবল লুপিং ( , ) এবং প্লটিং ( , )। $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
সূত্র