দুটি বিতরণযোগ্য এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের অবদানের স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা

যদি আমি দুই স্বাভাবিকভাবে বিতরণ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে এবং উপায়ে সঙ্গে এবং এবং স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন এবং এবং আমি যে আবিষ্কার , তবে (অভিমানী আমি কোনো ত্রুটি করেননি) শর্তাধীন বিতরণ এর এবং দেওয়া স্বাভাবিক উপায়ে সঙ্গে বিতরণ করা হয় এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি $X$ $Y$ $\mu_X$ $\mu_Y$ $\sigma_X$ $\sigma_Y$ $X+Y=c$ $X$ $Y$ $c$

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

এতে অবাক হওয়ার কিছু নেই যে শর্তসাপেক্ষ মানক বিচ্যুতি একই রকম, দেওয়া , যদি একজন ওপরে উঠে যায় তবে তাকে একই পরিমাণে নামতে হবে। এটি আকর্ষণীয় যে শর্তসাপেক্ষ স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি উপর নির্ভর করে না । $c$ $c$

আমি যেটা আমার মাথা পারি না তা হ'ল শর্তসাপেক্ষ উপায়, যেখানে তারা মূল মানের পরিবর্তনের সাথে নয়, মূল পরিবর্তনের সাথে আনুপাতিক অতিরিক্ত অংশ । $(c - \mu_X - \mu_Y)$

উদাহরণস্বরূপ, যদি তাদের শূন্য অর্থ হয়, , এবং মানক বিচ্যুতি এবং তবে শর্তযুক্ত আমাদের এবং , অর্থাৎ অনুপাতের মধ্যে যদিও আমি স্বজ্ঞাতভাবে ভাবতাম যে অনুপাতটি আরও প্রাকৃতিক হবে। কেউ কি এর জন্য একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দিতে পারেন? $\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$

এটি ম্যাথ.এসই প্রশ্ন দ্বারা উস্কে দেওয়া হয়েছিল

normal-distribution conditional-probability

— হেনরি
সূত্র

প্রশ্ন নির্দ্ধিধায় ক্ষেত্রে হ্রাস $\mu_X = \mu_Y = 0$ দিকে তাকিয়ে $X-\mu_X$ এবং $Y-\mu_Y$ ।

স্পষ্টত শর্তযুক্ত বিতরণগুলি সাধারণ। সুতরাং, প্রত্যেকের গড়, মধ্যম এবং মোডটি কাকতালীয়। মোডগুলি এবং এর স্থানীয় সর্বাধিক বিভাজন পিডিএফ এর স্থানাঙ্কে ঘটবে বাঁক জন্য আবদ্ধ । এটি এই স্থানে বিভাজন পিডিএফটির কনট্যুরকে বোঝায় এবং সীমাবদ্ধ বাঁক সমান্তরাল স্পর্শকাতর রয়েছে। (এটি ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণকগুলির তত্ত্ব।) কারণ যে কোনও কনট্যুরের সমীকরণটি কিছু ধ্রুবক জন্য (যে সব contours এবং উপবৃত্ত হয়), তাদের গ্রেডিয়েন্ট সমান্তরাল, কোথা অস্তিত্ব আছে হতে হবে যেমন যে $X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে শর্তসাপেক্ষ বিতরণগুলির মোডগুলি এসডিগুলির পরিবর্তে, বৈকল্পিকের অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত হয়।

এই বিশ্লেষণটি পার্সোনাল্ড এবং জন্যও কাজ করে এবং এটি কেবল যোগফলের জন্য নয়, কোনও লিনিয়ার সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। $X$ $Y$

— whuber
সূত্র

এটি খুব চিত্তাকর্ষক, এবং আমি যা চেয়েছিলাম তার চেয়ে আরও সম্পূর্ণ। আমি ডায়াগ্রাম এবং একটি বিবৃতিতে সন্তুষ্ট হতে পারতাম যে উপবৃত্তের স্পর্শকোষটি উপবৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় না, তাই স্পর্শকাতর লাল বিন্দুটি অবশ্যই উচ্চতর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ এলোমেলোভাবে আরও বেশি গ্রহণ করতে পারে।

— হেনরি

ভাল কথা বলা হয়নি। আমি যা বোঝাতে চেয়েছি সেটি কেন্দ্র থেকে লাল পয়েন্ট পর্যন্ত লাইনটি স্পর্শকারীর জন্য লম্ব নয়।

— হেনরি