ঘৃণ্য পরিবার বিতরণের জন্য কি সর্বদা অর্থ এবং তারতম্য বিদ্যমান?

ধরুন একটি স্কেলারের এলোমেলো ভেরিয়েবল পিডিএফ সহ ভেক্টর-প্যারামিটার এক্সফেনশনাল পরিবারের সাথে সম্পর্কিত $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

যেখানে ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ হল প্যারামিটার ভেক্টর এবং $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ যৌথ পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান।

এটি দেখানো যেতে পারে যে প্রতিটি এর গড় এবং বৈকল্পিক $T_i(x)$ বিদ্যমান। তবে, $X$ (যেমন $E(X)$ এবং $Var(X)$ ) এর গড় এবং তারতম্যগুলি কি সর্বদা বিদ্যমান? যদি তা না হয় তবে এই ফর্মটির ক্ষতিকারক পারিবারিক বিতরণের কোনও উদাহরণ রয়েছে যার অর্থ এবং পরিবর্তনশীল উপস্থিত নেই?

ধন্যবাদ.

— ওয়েই
সূত্র

টেকিং , , এবং দেয় সরবরাহ করেছে। , উত্পাদন $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

ব্যক্তিত্ব

গ্রাফ জন্য প্রদর্শিত (, নীল, লাল, এবং স্বর্ণ যথাক্রমে)। $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

স্পষ্টতই ওজনের পরম মুহুর্তগুলি বা তার বেশি উপস্থিত নেই, কারণ , যা সংক্ষিপ্তভাবে to সমানুপাতিক , সীমাবদ্ধ স্থানে অভিজাত অবিচ্ছেদ্য উত্পাদন করবে যদি এবং কেবল যদি । বিশেষত, যখন এই বিতরণের কোনও গড়ও হয় না (এবং অবশ্যই কোনও বৈকল্পিক নয়)। $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
সূত্র

আমি শর্তটি বুঝতে পারি না । আপনি কি বোঝাচ্ছেন ? যখন , সংজ্ঞায়িত করা হয় না এবং নেতিবাচক হয় এবং পিডিএফ হতে পারে না দয়া করে আমাকে কী মিস করেছেন তা আমাকে জানান। ধন্যবাদ।

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— ওয়েই

আমি ক্ষমাপ্রার্থী, কারণ একটি বিয়োগ চিহ্ন হিসাব বাদ দেওয়া । আমি সূত্রগুলিতে এটি প্রতিস্থাপন করেছি। আমি আসলে বলতে চাইছি ।

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

উদাহরণের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। মুহুর্তগুলি সম্পর্কে আমি একমত । এর মুহুর্তগুলি সম্পর্কে কীভাবে ? উদাহরণস্বরূপ, উপরোক্ত উদাহরণে যখন , তখন উপস্থিত থাকে?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— ওয়েই

কারণ Lebesgue অবিচ্ছেদ্য integrand এর ইতিবাচক ও নেতিবাচক অংশের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, মুহূর্তের অস্তিত্ব যদি এবং কেবল মুহূর্তের যদিবিদ্যমান।

x

$x$

| x |

$|x|$

— হোবার

@ ওয়েই: ম্যাথর্ম কেবলমাত্র if গণিত m । এই সীমাবদ্ধতা ব্যতীত প্রত্যাশাটি কিছু সিডিএফের জন্য স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত হয় না।

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— ডেনিস