ইউনিফর্ম এবং সাধারণ বিতরণের অনুপাত কত?

যাক একটি অভিন্ন বন্টন অনুসরণ কর এবং একটি স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করুন। সম্পর্কে কী বলা যায় $X$ $Y$ ? এটির জন্য কোনও বিতরণ আছে? $\frac X Y$

আমি শূন্যের সাথে দুটি স্বাভাবিকের অনুপাত পেয়েছি কচী।

— rrpp
সূত্র

এটির জন্য মূল্যবান,

বিতরণকে স্ল্যাশ বিতরণ বলা হয় । পারিশ্রমিকের কোনও নাম বা বন্ধ ফর্ম রয়েছে কিনা তা আমি জানি না।

Y / X

$Y/X$

— ডেভিড জে হ্যারিস

এবং বৃহত্তর শ্রেণি যার সাথে উভয়ই অনুপাতের বিতরণ বলে মনে হচ্ছে !

— নিক স্টাওনার

@ ডেভিডজে.হরিস বেশ তাই; +1 টি। দৃ rob়তা অধ্যয়নের জন্য আমি কয়েকবার স্ল্যাশ ব্যবহার করেছি। সম্ভবত

- একটি উল্টানো স্ল্যাশ হিসাবে - " ব্যাকস্ল্যাশ বিতরণ " বলা উচিত ।

X / Y

$X/Y$

— গ্লেন_বি

@rrpp আপনি কি কোনও স্ট্যান্ডার্ড

, বা একটি সাধারণ

? আধুনিক, তাহলে আমরা জানতে যদি প্রয়োজন

ইত্যাদি

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

— wolfies

আপনার উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। @wolfies

হয়

এবং

ইতিবাচক গড় রয়েছে

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— rrpp

উত্তর:

যাক দৈব চলক পিডিএফ সঙ্গে : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

যেখানে আমি (এটি আদর্শ কেস) ধরে নিয়েছি । [ভিন্ন ফলাফল প্রাপ্ত করা হবে যদি বলে পরামিতি কিন্তু কার্যপ্রণালী ঠিক একই। ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

উপরন্তু, দিন , এবং দিন পিডিএফ সঙ্গে : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

তারপরে, আমরা পণ্যটির পিডিএফ সন্ধান করি , বলুন যা দেওয়া হয়েছে: $V = X*W$ $h(v)$

যেখানে আমি ম্যাটিস্ট্যাটিকারTransformProduct ফাংশনটি নিতি - গ্রিটসকে স্বয়ংক্রিয় করতে ব্যবহার করছি এবং যেখানে Erfত্রুটি ফাংশনটি বোঝায়: http://references.wolfram.com/language/ref/Erf.html

সব শেষ.

প্লট

এখানে পিডিএফ-এর দুটি প্লট রয়েছে:

প্লট 1: , , ... এবং ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

প্লট 2: $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

মন্টি কার্লো চেক

$\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

$h(v)$

— wolfies
সূত্র

এর বিতরণ সন্ধান করা সম্ভব $Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

$Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

$-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

$z>0$ $(X,Y)$

ইন্টিগ্রেশন অঞ্চল

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

$Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} \exp (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

উপরের অবিচ্ছেদ্য নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলির ক্রম ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে:

$u=\frac{x}{z}$
$v=u-\mu$
$v$ $v$

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [\exp (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - \exp (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

$\Phi(x)$ $z<0$

এই উত্তরটি সিমুলেশন দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে। আর-এর নিম্নলিখিত স্ক্রিপ্টটি এই কাজটি সম্পাদন করে।

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

যাচাইকরণের জন্য এখানে কয়েকটি গ্রাফ রয়েছে:

$Y\sim N(0,1)$
$Y\sim N(1,1)$
$y\sim N(1,2)$

$z=0$

— Comp_Warrior
সূত্র

+1 খুব সুন্দর! মৌলিক নীতিগুলি থেকে প্রাপ্ত একটি উদ্ভাবন সর্বদা সন্তোষজনক এবং গ্রাফিকগুলি পাঠককে আপনি যা করছেন তা তাত্ক্ষণিকভাবে ধরতে সহায়তা করে।

— হোবার

$Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— নিক স্টাওনার
সূত্র

চূড়ান্ত লেজগুলি ঘনত্ব আপ করা হয়। বিতরণ বরং কচির মতো। (কৌতূহলের বাইরে, কেন ব্যবহার runifকরবেন না ? এটি আরও

— মূio়

কারণ আমি এখনও আর আর তেমন কিছুই জানি না, স্পষ্টতই! :) বখশিশের জন্য ধন্যবাদ!

— নিক স্টাওনার

কোন চিন্তা করো না. গতির পার্থক্য এত বড় নয়, তবে 10 ^ 7 টি উপাদান সহ লক্ষ্য করা যায়। আপনি দেখতে একটি হিস্টোগ্রাম পেতে পারেন ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (বিতরণের প্রায় 96% মনে হয় এই সীমাগুলির মধ্যে রয়েছে)

— Glen_b -Rininstate মনিকা ২

কি দারুন! পুরু নিশ্চিত. এই ঘনত্ব প্লটগুলি বেশ বিভ্রান্তিকর করে তোলে আমি ভয় করি! আমি সেই হিস্টোগ্রামে সম্পাদনা করব ...

— নিক স্টাওনার

ওহ ঠিক আছে. কোন চিন্তা করো না. সেক্ষেত্রে আপনি এনসি ক্লাসকে একটি ভাল ডিল তৈরি করতে চাইতে পারেন। আমি মনে করি আদর্শভাবে বারগুলি খুব সরু হওয়া উচিত তবে কেবল কালো রেখা নয়।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা