তথ্য জ্যামিতিতে স্পষ্টতা

এই প্রশ্নটি ইমারি দ্বারা বক্রযুক্ত তাত্পর্যপূর্ণ পরিবার-কারভ্যাচার এবং তথ্য ক্ষতির পেপার ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত ।

পাঠ্যটি নীচে যায়।

আসুন একটি সমন্বিত সিস্টেম সহ সম্ভাব্যতা বিতরণের একটি মাত্রিক বহুগুণে , যেখানে ধরে নেওয়া হয় ... $S^n=\{p_{\theta}\}$ $n$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ $p_{\theta}(x)>0$

আমরা প্রতি বিন্দু বিবেচনা করতে পারে এর একটি ফাংশন বহন যেমন এর ... $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$

যাক হতে ট্যানজেন্ট স্থান এ , যা মোটামুটিভাবে ভাষী, একটি ছোট আশপাশ একটি একরৈখিক সংস্করণের সাথে পরিচয় মধ্যে । যাক প্রাকৃতিক ভিত্তি হতে সমন্বিত সিস্টেমের সাথে যুক্ত ... $T_{\theta}$ $S^n$ $\theta$ $\theta$ $S^n$ $e_i(\theta), i=1,\dots,n$ $T_{\theta}$

প্রতিটি বিন্দুতে যেহেতু এর একটি ফাংশন বহন করে এর , এটা বিবেচনা স্বাভাবিক এ ফাংশন প্রতিনিধিত্ব $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$ $e_i(\theta)$ $\theta$

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) .

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x).$

আমি শেষ বক্তব্য বুঝতে পারি না। এটি উল্লিখিত কাগজের 2 বিভাগে প্রদর্শিত হবে appears উপরের সমীকরণের মাধ্যমে স্পর্শকাতর স্থানটির ভিত্তি কীভাবে দেওয়া হয়? এই উপকরণের সাথে পরিচিত এই সম্প্রদায়ের কেউ যদি আমাকে এটি বুঝতে সহায়তা করে তবে এটি সহায়ক হবে। ধন্যবাদ।

আপডেট 1:

যদিও আমি সম্মত হই (@aginensky থেকে) যদি tial রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র থাকে তবে এছাড়াও রৈখিক স্বতন্ত্র, কীভাবে এগুলি প্রথম স্থানে স্পর্শকৃত স্থানের সদস্য তা খুব স্পষ্ট নয়। সুতরাং কীভাবে স্পর্শকাতর স্থানের ভিত্তি হিসাবে বিবেচিত হবে। কোন সাহায্য প্রশংসা করা হয়। $\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$

আপডেট 2:

@aginensky: তার বইতে আমারি নিম্নলিখিত লিখেছেন:

আসুন আমরা বিবেচনা করি যেখানে , ( সমস্ত (কঠোরভাবে) ইতিবাচক সম্ভাবনা ব্যবস্থাগুলির সেট , যেখানে আমরা কে । বস্তুত, অ্যাফিন স্থান একটি খোলা উপসেট । $S^n=\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathcal{X}=\{x_0,\dots,x_n\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}=\{X\big|X:\mathcal{X}\to \mathbb{R}\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\{X\big |\sum_x X(x)=1\}$

তারপর স্পর্শক স্থান এর প্রতি সময়ে স্বাভাবিকভাবেই সঙ্গে চিহ্নিত করা যায় রৈখিক subspace । একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার প্রাকৃতিক ভিত্তিতে , আমাদের । $T_p(S^n)$ $S^n$ $\mathcal{A}_0=\{X\big |\sum_x X(x)=0\}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$

এর পরে, আমরা আরেকটি এম্বেডিং , এবং এর সাবসেট। একটি স্পর্শক ভেক্টর তারপর অপারেটিং ফল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় থেকে , যা আমরা দ্বারা বোঝাতে । বিশেষ করে আমরা আছে । এটি স্পষ্ট যে এবং যে $p\mapsto \log p$ $S^n$ $\log S^n:=\{\log p\big |p\in S^n\}$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}$ $X\in T_p(S^n)$ $X$ $p\mapsto \log p$ $X^{(e)}$ $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}^{(e)}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ $X^{(e)}=X(x)/p(x)$

T_{p}^{(e)} (S^{n}) = {X^{(e)} | X \in T_{p} (S^{n})} = {A \in R^{X} | \sum_{x} A (x) p (x) = 0} .

$T_p^{(e)}(S^n)=\{X^{(e)}\big |X\in T_p(S^n)\}=\{A\in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}\big |\sum_x A(x)p(x)=0\}.$

আমার প্রশ্ন: যদি উভয় এবং স্পর্শকাতর স্থানের ভিত্তি হয় তবে এটি কি এই দ্বন্দ্বের না? সত্য যে এবং হয় স্বতন্ত্র এবং ? $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})^{(e)}$ $T_p$ $T_p^{(e)}$ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}^{(e)}\in T_p^{(e)}$

আমার ধারণা ( ) এবং মধ্যে কোনও সম্পর্ক রয়েছে বলে মনে হয় । আপনি যদি এটি স্পষ্ট করতে পারেন তবে এটি খুব সহায়ক হবে। আপনি উত্তর হিসাবে দিতে পারেন। $S^n,T_p$ $(\log S^n,T_p^{(e)})$

— অশোক
সূত্র

ব্যক্তিগতভাবে, আমি আপনার বিভ্রান্তি বুঝতে পারি। স্পর্শকাতর স্থানের জন্য " " স্থানাঙ্কগুলি ব্যবহার করা স্বাভাবিক নয় বলে মনে হয়। আপনার প্রশ্ন স্থানীয়, সুতরাং আমরা ক্যাবকে স্থানীয় স্থানাঙ্ক হিসাবে । স্পর্শক স্থান জন্য স্বাভাবিক স্থানাঙ্ক হয় । মসৃণতার যথাযথ শর্তাবলী দেওয়া , অদৃশ্য ডেরিভেটিভ ইত্যাদি then ।

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x)

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)$

θ_{i}

$\theta_{i}$

\frac{\partial}{\partial θ_{i}}

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}$

p_{θ}

$p_{\theta}$

— meh

আমি স্পষ্টতার জন্য আমার মন্তব্য সম্পাদনা করার চেষ্টা করেছি এবং এতে অনুমতি দেওয়া হয়নি। আপনি আরও বিশদ জানতে চাইলে আমাকে জানান।

— মেহ

আপনাকে ধন্যবাদ @aginensky: আপনার অর্থ, কারণ , এটিও স্পর্শকাতর স্থানের ভিত্তি, তাই না?

\frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) = 1 / p_{θ} (x) \frac{\partial}{\partial θ_{i}} p_{θ} (x)

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)=1/p_{\theta}(x)\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}(x)$

— অশোক

চূড়ান্ত বিবৃতি হ'ল স্পর্শকাতর স্থানের একটি সংজ্ঞা একটি (দূষিত) সংস্করণ । কড়া কথায় বলতে গেলে, পার্থক্যের বহুগুণের এক বিন্দুতে স্পর্শক স্পেস হ'ল (ভেক্টর স্পেস) সেই বিন্দুর আশেপাশের পার্শ্ববর্তী অঞ্চলে পৃথক ফাংশনগুলির জীবাণুগুলির আক্রমণের স্থানের দ্বৈত। জন্য একটি ভিত্তি হ'ল এবং সংজ্ঞা অনুসারে এর দ্বৈত ভিত্তি। এই উপাদানটির একটি মানক রেফারেন্স হ'ল মাইকেল স্পিভাকের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির ১ ম ভলিউম ১ , অ্যামাজন . com/… ।

{d θ_{i}}

$\{d\theta_i\}$

{\frac{\partial}{\partial θ_{i}}}

$\{\frac{\partial}{\partial\theta_i}\}$

— whuber

@ অশোক - হ্যাঁ আমি যা লিখলাম তা বিবেচনা করব স্পর্শকাতর স্থানের একটি সংজ্ঞা সংক্ষিপ্ত সংস্করণের উপর ভিত্তি করে। অবশ্যই কোট্যানজেন্ট স্থানটি স্পর্শকাতর স্থানের দ্বৈত, তাই সমানভাবে তর্ক করতে পারে যে ta থাইটা হ'ল দ্বৈত ভিত্তি। যে কোনও ইভেন্টে যতক্ষণ না না, আমি মনে করি আপনি ভাল আছেন।

d θ

$d\theta$

p_{θ}

$p_{\theta}$

— মেহ

আমার মন্তব্যগুলি এত দীর্ঘ, আমি এগুলি একটি উত্তর হিসাবে রাখছি।

আমি মনে করি প্রশ্নটি এই সময়ে গাণিতিকের চেয়ে বেশি দার্শনিক। যথা, কোনও স্থান বলতে কী বোঝায় এবং এই ক্ষেত্রে বহুগুণ? একটি বহুগুণের সাধারণ সংজ্ঞাটি কোনও অ্যাফাইন স্পেসে এম্বেডিং জড়িত না। এটি 'আধুনিক' (150 বছরের পুরানো?) পদ্ধতির। উদাহরণস্বরূপ, গাউসের কাছে, একটি বহুগুণ একটি নির্দিষ্ট এফিন স্পেসে ( ) নির্দিষ্ট এমবেডিং সহ বহুগুণ । যদি কোনও নির্দিষ্ট এম্বেডিং সহ বহুগুণ থাকে তবে স্পর্শক স্পেসটি (বহুগুণের যে কোনও বিন্দুতে) সেই বিন্দুতে এর স্পর্শকৃত স্পেসের একটি নির্দিষ্ট উপ-স্পেসের বিস্ময়কর । নোট করুন যে কোনও বিন্দুতে এর স্পর্শকাতর স্থানটি 'একই' সাথে চিহ্নিত । $R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$

আমি মনে করি যে বিষয়টি অমারি নিবন্ধে, তিনি space হিসাবে যে স্থানটি উল্লেখ করেছেন তা কিছুটা 'প্রাকৃতিক' যার সাথে হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এর স্পর্শকাতর স্থানে স্থানাঙ্ক হিসাবে । আমি যুক্ত করতে পারি যে এটি কেবলমাত্র স্পষ্ট হলে ফাংশনটি 'অর্থে' কিছুটা অর্থে- ডিজেনরেট জন্য এটি ব্যর্থ হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি ফাংশন সব ভেরিয়েবল জড়িত করা হয়নি । মূল বক্তব্যটি হ'ল এই বহুগুণকে একটি নির্দিষ্ট in এম্বেডিং, with দিয়ে স্পর্শক স্পেসের নির্দিষ্ট সনাক্তকরণের জন্ম দেয় $S^n$ $\theta_{i}$ $p_{\theta}$ $S^n$ $p$ $p$ $\theta_{i}$ $R^n$ $p_{\theta}$ । তার পরের বিষয়টি হ'ল এর বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে , তিনি লগ ফাংশনটি অন্য একটি অ্যাফাইন স্পেসে ম্যাপ করতে পারেন যেখানে ট্যানজেন্ট স্পেসটি নতুন স্থানাঙ্কের (লগস এবং তাদের ডেরাইভেটিভস) ক্ষেত্রে পৃথক পরিচয় রাখে। তারপরে তিনি বলেছিলেন যে তার পরিস্থিতির বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে, দুটি বহুবিধটি আইসোমর্ফিক এবং মানচিত্রটি স্পর্শকাতর স্থানগুলিতে একটি আইসোমরফিজমকে প্ররোচিত করে। এটি দুটি স্পর্শক স্পেসের একটি সনাক্তকরণের (অর্থাত্ আইসোমরফিজম) দিকে নিয়ে যায়। $p$

মূল ধারণাটি হ'ল দুটি স্পর্শক স্পেস একই সেট নয়, তবে সঠিক সনাক্তকরণের পরে আইসোমর্ফিক (যা মূলত 'একই' জন্য গ্রীক)। উদাহরণস্বরূপ, perm 2 একই 'গ্রুপের all এর সমস্ত অনুক্রমের গ্রুপ হিসাবে সমস্ত ক্রিয়াকলাপের গ্রুপ ? একটি সাধারণ চিন্তার পরীক্ষা হিসাবে, , মানচিত্রের লগের অধীনে থাকা সমস্ত বাস্তবকে ম্যাপিং করা ধনাত্মক বাস্তবগুলি বিবেচনা করুন । আপনার পছন্দসই আসল নম্বরটি বেছে নিন টিভেন্ট স্পেসে মানচিত্রটি কী তা বিবেচনা করুন। আমি অবশেষে আপনার প্রশ্ন বুঝতে পারি? একটি সতর্কতামূলক ব্যবস্থা রয়েছে, অর্থাত্ ডিফারেনশাল জ্যামিতি আমার দক্ষতার প্রধান ক্ষেত্র নয়। আমি মনে করি আমি এটি সঠিক পেয়েছি, তবে এই উত্তরটির সমালোচনা বা প্রশ্ন করা নির্দ্বিধায়। $\{1,2,3\}$ $\{a,b,c\}$ $R^{+}$ $R$ $>0$

— Meh
সূত্র

আপনার "আইসমোর্ফিক" এর অর্থ সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার নয় তবে এটি কেবল একটি খুব দুর্বল বলে মনে হচ্ছে; অর্থাত্, একটি বিবর্তনযোগ্য পার্থক্যযোগ্য মানচিত্রের পুশফোর্ড by প্রদত্ত একটি, যা কেবল কিছু অবিচ্ছিন্ন রৈখিক রূপান্তর। জ্যামিতি করার মূল ধারণাটি হ'ল বহুগুণে সংজ্ঞায়িত একটি অর্থবহ এবং দরকারী রিমান্নিনান মেট্রিক । "আইসোমরফিজম" এর প্রাসঙ্গিক ধারণাটি আইসোমেট্রি হবে : এটি হ'ল স্পর্শকাতর স্থানগুলির মধ্যে থাকা মানচিত্রটি অবশ্যই দূরত্ব সংরক্ষণ করা উচিত।

f_{*}

$f_{*}$

— whuber

@whuber। প্রকৃতপক্ষে, আমার মন্তব্যগুলি কেবলমাত্র পরিস্থিতি এবং স্পর্শকাতর স্থানের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির বিষয়ে। মানচিত্রকে আইসোমেট্রি তৈরি করার জন্য কী কী শর্ত প্রয়োজন তা আমি মোটেই পরিষ্কার করছি না । তবে আমি যেহেতু প্রশ্নটি বুঝতে পেরেছি, এটি একটি পরিচয় ('একই') এবং একটি আইসোমরফিজমের মধ্যে পার্থক্য কী তা সত্যই পেয়েছিল।

p

$p$

— মেহ

@ শুভ: এখানে সম্পর্কিত রিমানিয়ান মেট্রিক দ্বারা দেওয়া হয়েছে , যেখানে । এটি কি suggest also কেও স্পর্শকাতর ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যায়?

G = [g_{i, j}]

$G=[g_{i,j}]$

g_{i, j} = \sum_{x} \partial_{i} p_{θ} (x) \partial_{j} \log p_{θ} (x)

$g_{i,j}=\sum_x\partial_i p_{\theta}(x)~\partial_j\log p_{\theta}(x)$

\partial_{j} \log p_{θ}

$\partial_j\log p_{\theta}$

— অশোক