কাচি বিতরণে অবস্থানের প্যারামিটারের এমএলই

কেন্দ্রের পরে, এক্স এবং twox দুটি পরিমাপ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি কাচী বিতরণ থেকে স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণ বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

প্রমাণ করে যে যদি এর MLE 0, কিন্তু যদি দুটি MLE এর দ্বারা , সমান ± $x^2≤ 1$ $\theta$ $x^2>1$ $\theta$ $\sqrt {x^2-1}$

আমি মনে করি এমএলই খুঁজে পেতে আমাকে লগের সম্ভাবনাটি আলাদা করতে হবে:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

সুতরাং,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

যা আমি তারপর সরানো

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

এখন আমি একটি প্রাচীর আঘাত করেছি। আমি সম্ভবত এক পর্যায়ে ভুল হয়ে গিয়েছি, তবে উভয় উপায়েই আমি প্রশ্নের উত্তর কীভাবে দিতে হবে তা নিশ্চিত নই। কেউ সাহায্য করতে পারেন?

— user123965
সূত্র

দয়া করে ব্যাখ্যা করুন আপনি কেন x -x এবং + x বিভক্ত করলেন? এটি আমার গৃহকর্ম এবং আমি সেই পদক্ষেপে আটকে যাচ্ছি। আমার ধারণা আপনি এটিতে নিউটনের রাফসন পদ্ধতি প্রয়োগ করেছেন। তবে আমি কীভাবে এটি প্রয়োগ করব তা পাচ্ছি না। আমাকে বলবেন?

— ব্যবহারকারী 89929

আপনার গণনায় একটি গণিত টাইপ আছে is সর্বাধিকের জন্য প্রথম অর্ডার শর্তটি:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

যদি তবে প্রথম শব্দটি শূন্য হতে পারে না (অবশ্যই আসল সমাধানের জন্য), সুতরাং আপনি কেবল সমাধান রেখে গেছেন । $x^2\leq 1$ $\hat \theta =0$

যদি আপনার সুতরাং প্রার্থী বিন্দু from বাদে পান $x^2 >1$ $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ $\theta =0$

\frac{\partial L}{\partial θ} = 0, for \hat{θ} = \pm \sqrt{x^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

আপনাকে এও প্রমাণ করতে হবে যে এই ক্ষেত্রে কেন আর এমএলই নয়। $\hat \theta =0$

অভিযোজ্য বস্তু

জন্য লগ-সম্ভাবনা নিয়ে গ্রাফ হয় $x =\pm 0.5$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

যখন লগ-সম্ভাবনার গ্রাফ হয়, $x =\pm 1.5$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

এখন আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল এটি বীজগণিতভাবে প্রমাণ করুন এবং তারপরে "চমকপ্রদ - তবে আমি দুজনের মধ্যে কোনটি বেছে নেব?"

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

ধন্যবাদ! আমি দেখতে পাচ্ছি না কেন আর এমএলই হবে না

θ = 0

$\theta=0$

— ব্যবহারকারী 123965

সর্বাধিক জন্য ২ য় অর্ডার শর্তটি কাজ করুন, বা প্রার্থীর সমাধানগুলিতে সম্ভাবনাটি মূল্যায়ন করুন

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

+1 দুর্দান্ত উত্তর। এছাড়াও, এটি আকর্ষণীয় হতে পারে: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…

— এলোমেলো_ ব্যবহারকারী

@ ইরানডম_উজার ধন্যবাদ! - আমি উত্তরে প্লটটি সংযুক্ত করার জন্য স্বাধীনতা নিয়েছি।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

২ য় ডেরিভেটিভ পজিটিভ তাই প্রকৃতপক্ষে একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস