ব্যাক-প্রসারণ ব্যবহার করে নিউরাল নেটওয়ার্ক প্রশিক্ষণের জন্য সময় জটিলতা কী?

17

মনে করুন যে কোনও এনএন-তে প্রতিটি স্তরে লুকানো স্তর, প্রশিক্ষণের উদাহরণ, বৈশিষ্ট্য এবং নোড রয়েছে। ব্যাক-প্রসারণ ব্যবহার করে এই এনএনকে প্রশিক্ষণের সময় জটিলতা কী? $n$ $m$ $x$ $n_i$

তারা কীভাবে অ্যালগরিদমের সময় জটিলতা সন্ধান করে সে সম্পর্কে আমার একটি প্রাথমিক ধারণা আছে তবে এখানে এখানে বিবেচনা করার জন্য 4 টি বিভিন্ন কারণ রয়েছে যা প্রতিটি স্তরের পুনরাবৃত্তি, স্তর, নোড, প্রশিক্ষণের উদাহরণ এবং সম্ভবত আরও বেশি কারণ রয়েছে। আমি একটি উত্তর এখানে কিন্তু এটা যথেষ্ট পরিষ্কার ছিল না।

উপরে বর্ণিত বিষয়গুলি বাদ দিয়ে কি অন্যান্য কারণ রয়েছে, যা কোনও এনএন এর প্রশিক্ষণ অ্যালগরিদমের সময় জটিলতায় প্রভাব ফেলে?

— DuttaA
সূত্র

Https://qr.ae/TWttzq এও দেখুন ।

— nbro

11

আমি কোনও বিশ্বস্ত উত্স থেকে উত্তর দেখিনি, তবে আমি নিজেই এর উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব, একটি সাধারণ উদাহরণ দিয়ে (আমার বর্তমান জ্ঞান দিয়ে)।

সাধারণভাবে, লক্ষ্য করুন যে ব্যাক-প্রসারণ ব্যবহার করে একটি এমএলপি প্রশিক্ষণ সাধারণত ম্যাট্রিক্স দিয়ে প্রয়োগ করা হয়।

ম্যাট্রিক্সের গুণনের সময় জটিলতা

জন্য ম্যাট্রিক্স গুণনের সময় জটিলতা কেবল । $M_{ij} * M_{jk}$ $\mathcal{O}(i*j*k)$

লক্ষ্য করুন যে আমরা এখানে সর্বাধিক গুনীকরণ অ্যালগরিদম ধরে নিচ্ছি: কিছুটা ভাল সময় জটিলতার সাথে আরও কিছু অ্যালগরিদম রয়েছে।

ফিডফোর্ড পাসের অ্যালগরিদম

ফিডফোর্ড প্রচারের অ্যালগরিদম নিম্নরূপ।

প্রথমত, স্তর থেকে যেতে করতে , আপনি কি $i$ $j$

S_{j} = W_{j i} * Z_{i}

$S_j = W_{ji}*Z_i$

তারপরে আপনি অ্যাক্টিভেশন ফাংশনটি প্রয়োগ করেন

Z_{j} = f (S_{j})

$Z_j = f(S_j)$

আমাদের যদি স্তর থাকে (ইনপুট এবং আউটপুট স্তর সহ), এটি বার চলবে । $N$ $N-1$

উদাহরণ

উদাহরণস্বরূপ, চলুন একটি এমএলপি জন্য স্তর সহ ফরওয়ার্ড পাস অ্যালগরিদমের সময় জটিলতা গণনা করা যাক , যেখানে ইনপুট স্তরটির নোডের সংখ্যা বোঝায়, দ্বিতীয় স্তরের নোডের সংখ্যা , এর নোডের সংখ্যা তৃতীয় স্তর এবং আউটপুট স্তরে নোড সংখ্যা। $4$ $i$ $j$ $k$ $l$

যেহেতু স্তর রয়েছে তাই এই স্তরগুলির মধ্যে ওজন উপস্থাপন করার জন্য আপনার ম্যাট্রিকের প্রয়োজন । আসুন সেগুলিকে , এবং by দ্বারা বোঝান , যেখানে সারি এবং কলামগুলির একটি ম্যাট্রিক্স ( এভাবে স্তর থেকে স্তর ওজন ধারণ করে ) । $4$ $3$ $W_{ji}$ $W_{kj}$ $W_{lk}$ $W_{ji}$ $j$ $i$ $W_{ji}$ $i$ $j$

মনে করুন আপনি আছে প্রশিক্ষণ উদাহরণ। স্তর থেকে প্রচার করার জন্য আমাদের প্রথমটি রয়েছে $t$ $i$ $j$

S_{j t} = W_{j i} * Z_{i t}

$S_{jt} = W_{ji} * Z_{it}$

এবং এই ক্রিয়াকলাপের (অর্থাত্ ম্যাট্রিক্স গুণিতকরণ) complex ম্যাথ্যাকাল সময়ের জটিলতা রয়েছে। তারপরে আমরা অ্যাক্টিভেশন ফাংশনটি প্রয়োগ করি $\mathcal{O}(j*i*t)$

Z_{j t} = f (S_{j t})

$Z_{jt} = f(S_{jt})$

এবং এই আছে $\mathcal{O}(j*t)$ সময় জটিলতা, কারণ এটি একটি উপাদান-অনুযায়ী অপারেশন হয়।

সুতরাং, মোট, আমাদের আছে

O (j * i * t + j * t) = O (j * t * (t + 1)) = O (j * i * t)

$\mathcal{O}(j*i*t + j*t) = \mathcal{O}(j*t*(t + 1)) = \mathcal{O}(j*i*t)$

যাওয়ার জন্য, একই যুক্তি ব্যবহার করে $j \to k$ , আমরা $\mathcal{O}(k*j*t)$ , এবং, জন্য $k \to l$ , আমরা $\mathcal{O}(l*k*t)$ ।

মোট, ফিডফোর্ড প্রচারের জন্য সময় জটিলতা হবে

O (j * i * t + k * j * t + l * k * t) = O (t * (i j + j k + k l))

$\mathcal{O}(j*i*t + k*j*t + l*k*t) = \mathcal{O}(t*(ij + jk + kl))$

আমি আরও নিশ্চিত নই যে এটিকে আরও সরল করা যায় কিনা। সম্ভবত এটি কেবল $\mathcal{O}(t*i*j*k*l)$ , তবে আমি নিশ্চিত নই।

পিছনে প্রচারের অ্যালগরিদম

The back-propagation algorithm proceeds as follows. Starting from the output layer $l \to k$ , we compute the error signal, $E_{lt}$ , a matrix containing the error signals for nodes at layer $l$

E_{l t} = f^{'} (S_{l t}) ⊙ (Z_{l t} - O_{l t})

$E_{lt} = f'(S_{lt}) \odot {(Z_{lt} - O_{lt})}$

where $\odot$ means element-wise multiplication. Note that $E_{lt}$ has $l$ rows and $t$ columns: it simply means each column is the error signal for training example $t$ .

We then compute the "delta weights", $D_{lk} \in \mathbb{R}^{l \times k}$ (between layer $l$ and layer $k$ )

D_{l k} = E_{l t} * Z_{t k}

$D_{lk} = E_{lt} * Z_{tk}$

where $Z_{tk}$ is the transpose of $Z_{kt}$ .

We then adjust the weights

W_{l k} = W_{l k} - D_{l k}

$W_{lk} = W_{lk} - D_{lk}$

For $l \to k$ , we thus have the time complexity $\mathcal{O}(lt + lt + ltk + lk) = \mathcal{O}(l*t*k)$ .

Now, going back from $k \to j$ . We first have

E_{k t} = f^{'} (S_{k t}) ⊙ (W_{k l} * E_{l t})

$E_{kt} = f'(S_{kt}) \odot (W_{kl} * E_{lt})$

Then

D_{k j} = E_{k t} * Z_{t j}

$D_{kj} = E_{kt} * Z_{tj}$

And then

W_{k j} = W_{k j} - D_{k j}

$W_{kj} = W_{kj} - D_{kj}$

where $W_{kl}$ is the transpose of $W_{lk}$ . For $k \to j$ , we have the time complexity $\mathcal{O}(kt + klt + ktj + kj) = \mathcal{O}(k*t(l+j))$ .

And finally, for $j \to i$ , we have $\mathcal{O}(j*t(k+i))$ . In total, we have

O (l t k + t k (l + j) + t j (k + i)) = O (t * (l k + k j + j i))

$\mathcal{O}(ltk + tk(l + j) + tj (k + i)) = \mathcal{O}(t*(lk + kj + ji))$

which is same as feedforward pass algorithm. Since they are same, the total time complexity for one epoch will be

O (t * (i j + j k + k l)) .

$O(t*(ij + jk + kl)).$

This time complexity is then multiplied by number of iterations (epochs). So, we have

O (n * t * (i j + j k + k l)),

$O(n*t*(ij + jk + kl)),$ where

n

$n$ is number of iterations.

Notes

Note that these matrix operations can greatly be paralelized by GPUs.

Conclusion

We tried to find the time complexity for training a neural network that has 4 layers with respectively $i$ , $j$ , $k$ and $l$ nodes, with $t$ training examples and $n$ epochs. The result was $\mathcal{O}(nt*(ij + jk + kl))$ .

We assumed the simplest form of matrix multiplication that has cubic time complexity. We used batch gradient descent algorithm. The results for stochastic and mini-batch gradient descent should be same. (Let me know if you think the otherwise: note that batch gradient descent is the general form, with little modification, it becomes stochastic or mini-batch)

Also, if you use momentum optimization, you will have same time complexity, because the extra matrix operations required are all element-wise operations, hence they will not affect the time complexity of the algorithm.

I'm not sure what the results would be using other optimizers such as RMSprop.

Sources

The following article http://briandolhansky.com/blog/2014/10/30/artificial-neural-networks-matrix-form-part-5 describes an implementation using matrices. Although this implementation is using "row major", the time complexity is not affected by this.

If you're not familiar with back-propagation, check this article:

http://briandolhansky.com/blog/2013/9/27/artificial-neural-networks-backpropagation-part-4

— M.kazem Akhgary
সূত্র

Your answer is great..I could not find any ambiguity till now, but you forgot the no. of iterations part, just add it...and if no one answers in 5 days i'll surely accept your answer

— DuttaA

@DuttaA I tried to put every thing I knew. it may not be 100% correct so feel free to leave this unaccepted :) I'm also waiting for other answers to see what other points I missed.

— M.kazem Akhgary

4

For the evaluation of a single pattern, you need to process all weights and all neurons. Given that every neuron has at least one weight, we can ignore them, and have $\mathcal{O}(w)$ where $w$ is the number of weights, i.e., $n * n_i$ , assuming full connectivity between your layers.

The back-propagation has the same complexity as the forward evaluation (just look at the formula).

So, the complexity for learning $m$ examples, where each gets repeated $e$ times, is $\mathcal{O}(w*m*e)$ .

The bad news is that there's no formula telling you what number of epochs $e$ you need.

— maaartinus
সূত্র

From the above answer don't you think itdepends on more factors?

— DuttaA

1

@DuttaA No. There's a constant amount of work per weight, which gets repeated e times for each of m examples. I didn't bother to compute the number of weights, I guess, that's the difference.

— maaartinus

1

I think the answers are same. in my answer I can assume number of weights w = ij + jk + kl. basically sum of n * n_i between layers as you noted.

— M.kazem Akhgary

1

A potential disadvantage of gradient-based methods is that they head for the nearest minimum, which is usually not the global minimum.

This means that the only difference between these search methods is the speed with which solutions are obtained, and not the nature of those solutions.

An important consideration is time complexity, which is the rate at which the time required to find a solution increases with the number of parameters (weights). In short, the time complexities of a range of different gradient-based methods (including second-order methods) seem to be similar.

Six different error functions exhibit a median run-time order of approximately O(N to the power 4) on the N-2-N encoder in this paper:

Lister, R and Stone J "An Empirical Study of the Time Complexity of Various Error Functions with Conjugate Gradient Back Propagation" , IEEE International Conference on Artificial Neural Networks (ICNN95), Perth, Australia, Nov 27-Dec 1, 1995.

Summarised from my book: Artificial Intelligence Engines: A Tutorial Introduction to the Mathematics of Deep Learning.

— James V Stone
সূত্র

Hi J. Stone. Thanks for trying to contribute to the site. However, please, note that this is not a place for advertising yourself. Anyway, you can surely provide a link to your own books if they are useful for answering the questions and provided you're not just trying to advertise yourself.

— nbro

@nbro If James Stone can provide an insightful answer - and it seems so - then i'm fine with him also mentioning some of his work. Having experts on this network is a solid contribution to the quality and level.

— javadba

Dear nbro, That is a fair comment. I dislike adverts too. But it is possible for a book and/or paper to be relevant to a question, as I believe it is in this case. regards, Jim Stone

— James V Stone