কীভাবে প্রমাণ করতে হয় যে কোনও ভাষা নিয়মিত নয়?

Question

আমরা নিয়মিত ভাষার ক্লাস সম্পর্কে শিখেছি $\mathrm{REG}$ । এটি নিয়মিত প্রকাশ, সসীম অটোমেটা এবং বাম-লিনিয়ার ব্যাকরণগুলির মধ্যে যে কোনও একটি ধারণার দ্বারা চিহ্নিত, তাই প্রদত্ত ভাষাটি নিয়মিত কিনা তা দেখানো সহজ।

আমি বিপরীতটি কীভাবে দেখাব? আমার টিএ অবিচল ছিল যে এটি করার জন্য, আমাদের নিয়মিত সমস্ত এক্সপ্রেশন (বা সমস্ত সসীম অটোমেটা বা সমস্ত বাম-লিনিয়ার ব্যাকরণগুলির জন্য) প্রদর্শন করতে হবে যে তারা হাতের ভাষাটি বর্ণনা করতে পারে না। এটিকে বড় কাজ বলে মনে হচ্ছে!

আমি কিছু পাম্পিং লেমামা সম্পর্কে পড়েছি তবে এটি দেখতে সত্যিই জটিল।

^{এটি নিয়মিত প্রমাণ পদ্ধতি এবং অ্যাপ্লিকেশন উদাহরণ সংগ্রহের জন্য একটি রেফারেন্স প্রশ্ন হওয়ার উদ্দেশ্য। প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষায় একই প্রশ্নের জন্য এখানে দেখুন ।}

Answer 1

দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণগুলি প্রায়শই দেখাতে ব্যবহৃত হয় যে কোনও ভাষা নিয়মিত নয়: সমস্ত নিয়মিত ভাষার জন্য সত্য করতে দিন , যদি আপনার নির্দিষ্ট ভাষা পি যাচাই করে না , তবে এটি নিয়মিত নয়। নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা যেতে পারে:$P$$P$

1. পাম্পিং লেমা, ডেভের উত্তরে উদাহরণ হিসাবে বলা হয়েছে ;
2. নিয়মিত ভাষাগুলির সমাপ্তি বৈশিষ্ট্য (সেট অপারেশন, কনটেনটেশন, ক্লেইন তারা, আয়না, সমকামী);
3. একটি নিয়মিত ভাষার উপসর্গ সমতা শ্রেণীর একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা রয়েছে, মাইহিল er নেরোড উপপাদ্য ।

কোনও ভাষা বন্ধকরণের বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়মিত ব্যবহার করে না তা প্রমাণ করার জন্য, কৌশলটি হ'ল নিয়মিত নয় বলে পরিচিত একটি ভাষা প্রাপ্ত করার জন্য নিয়মিততা সংরক্ষণ করে এমন ক্রিয়াকলাপগুলির দ্বারা নিয়মিত ভাষার সাথে এলকে সংযুক্ত করা , উদাহরণস্বরূপ, প্রত্নতাত্ত্বিক ভাষা I = { a n b এন | এন ∈ এন } । উদাহরণস্বরূপ, এল = { একটি পি বি কিউ | p ≠ q } । ধরুন এল নিয়মিত, নিয়মিত ভাষা যেমন পরিপূরক হিসাবে বন্ধ থাকে তেমনি এল এর পরিপূরক এলও is$L$$L$$I= \{ a^n b^n | n \in \mathbb{N} \}$$L= \{a^p b^q | p \neq q \}$$L$$L$ । এখন ছেদ নিতে এল গ এবং একটি ⋆ খ ⋆ যা নিয়মিত করা হয়, আমরা প্রাপ্ত আমি যা নিয়মিত নয়।$L^c$$L^c$$a^\star b^\star$$I$

নিয়মিত নই তা প্রমাণ করতে মাইহিল – নেরোড উপপাদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে । জন্য পি ≥ 0 , আমি / একটি পি = { একটি দ খ দ খ পি | r ∈ N } = আমি । { বি পি } । সমস্ত ক্লাস আলাদা এবং এই জাতীয় ক্লাসগুলির একটি গণনাযোগ্য অনন্ত রয়েছে। একটি নিয়মিত ভাষার অবশ্যই সীমাবদ্ধ ক্লাস থাকতে হবে আমি নিয়মিত নই।$I$$p \geq 0$$I/a^p= \{ a^{r}b^rb^p| r \in \mathbb{N} \}=I.\{b^p\}$$I$

Comments

মাইহিল-নেরোড উপপাদ্য সম্পর্কে জানেন না, দুর্দান্ত!

— ড্যানিল

উইকিপিডিয়ায় একটি নিয়মিত ভাষার শব্দের সংখ্যা সম্পর্কে একটি বিভাগ রয়েছে: আপনি যদি প্রমাণ করতে পারেন যে আপনার ভাষা চরিত্রায়নের সাথে মেলে না, তবে আপনার ভাষাটি নিয়মিত নয়: en.wikedia.org/wiki/…

— অ্যালেক্স টেন ব্রিঙ্ক

@ দানিইল, নিয়মিত প্রকাশগুলি আমার কাছে মাইহিল-নেরোড উপপাদ্যের একটি জনপ্রিয় অনানুষ্ঠানিক সূচনা বলে মনে হয় না।

— এপ্রোগ্রামার

@ অ্যালেক্সটেনব্রিংক: এটি ঝরঝরে। আমার অনুমান যে বিবৃতিতে ধ্রুবকগুলি অটোমেটনের ল্যাপলাসিয়ানের ইগেনভ্যালু? এটি এখানে উত্তরগুলিতে একটি দুর্দান্ত সংযোজন করবে।

— লুই

@ লুইস: আসলে, আমরা এই উপপাদ্যের জন্য মোটেও কোনও রেফারেন্স পাইনি, সুতরাং আপনি যদি এ সম্পর্কে আরও জানেন তবে ... আরও দেখুন: cs.stackexchange.com/questions/1045/…

— অ্যালেক্স টেন ব্রিং

Answer 2

ডেভের উত্তরের ভিত্তিতে, পাম্পিং লেমা ব্যবহারের জন্য এখানে একটি ধাপে ধাপে "ম্যানুয়াল" রয়েছে।

পাম্পিং লেমাকে স্মরণ করুন (ডেভের উত্তর থেকে নেওয়া, ফর্ম উইকিপিডিয়ায় নেওয়া):

$L$ নিয়মিত ভাষা হতে দিন । এরপর একটি পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান $n\ge 1$ (শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে $L$ ) যেমন যে প্রতি স্ট্রিং $w$ মধ্যে $L$ দৈর্ঘ্য অন্তত এর $n$ ( $n$ "পাম্পিং দৈর্ঘ্য" বলা হয়) হিসেবে লেখা যেতে পারে $w = xyz$ (অর্থাত, $w$ করতে পারেন নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে, তিনটি সাবস্ট্রিংয়ে বিভক্ত করুন:

1. $|y| \ge 1$
2. $|xy| \le n$ এবং
3. একটি "pumped" $w$ এখনও $L$ সব জন্য $i \ge 0$ , $xy^iz \in L$ ।

ধরে নিন যে আপনাকে কিছু ভাষা $L$ দেওয়া হয়েছে এবং আপনি দেখাতে চান যে এটি পাম্পিং লেমার মাধ্যমে নিয়মিত নয়। প্রমাণটি দেখতে এই রকম:

1. অনুমান $L$ হয় নিয়মিত।
2. যদি নিয়মিত হয়, তাহলে পাম্পিং থিম বলেছেন অস্তিত্ব আছে যে কিছু সংখ্যা $n$ যা পাম্পিং দৈর্ঘ্য হল।
3. একটি চয়ন করুন নির্দিষ্ট শব্দ $w\in L$ দৈর্ঘ্যের তুলনায় বড় $n$ । কোন অংশটি গ্রহণ করা উচিত তা জানা অংশ।
4. বিবেচনা করুন সব উপায়ে পার্টিশন করার $w$ 3 অংশে, $w=xyz$ সঙ্গে, $|xy|\le n$ এবং $y$ খালি নেই। এই প্রতিটি উপায়ে এটি দেখান যে এটি পাম্প করা যায় না: সর্বদা কিছু $i\ge 0$ যেমন $xy^iz \notin L$ ।
5. উপসংহার: শব্দ $w$ "pumped" করা যাবে না (কোন ব্যাপার কিভাবে আমরা এটি বিভক্ত $xyz$ ) অসঙ্গতি মধ্যে পাম্পিং থিম, অর্থাত্, আমাদের ধৃষ্টতা (ধাপ 1) ভুল: $L$ নিয়মিত নয়।

আমরা উদাহরণে যাওয়ার আগে, আমি পদক্ষেপ 3 এবং চতুর্থ ধাপটি পুনরায় বলি (বেশিরভাগ লোকেরা ভুল হয়ে যায়)। পদক্ষেপ 3 এ আপনার একটি নির্দিষ্ট শব্দ $L$ বাছাই করতে হবে । এটি "00001111" বা " $a^nb^n$ " এর মতো স্পষ্ট করে লিখুন । নির্দিষ্ট শব্দ নয় এমন জিনিসগুলির উদাহরণ : " $w$ " বা "এমন একটি শব্দ যা উপসর্গ হিসাবে 000 আছে"।

অন্যদিকে, চতুর্থ ধাপে আপনার একাধিক কেস বিবেচনা করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার $w=000111$ এটা বলতে যথেষ্ট নয় $x=00, y=01, z=00$ , এবং তারপর একটি অসঙ্গতি থাকে। আপনাকে $x=0, y=0, z=0111$ এবং $x=\epsilon, y=000, z=111$ এবং অন্যান্য সমস্ত সম্ভাব্য বিকল্পগুলিও পরীক্ষা করে দেখতে হবে।

---

এখন পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন এবং যে প্রমাণ দিন $L= \{ 0^k1^{2k} \mid k>0 \}$ নিয়মিত হয়।

1. ধরে নিন $L$ নিয়মিত।
2. যাক $n$ পাম্পিং পাম্পিং থিম কর্তৃক প্রদত্ত দৈর্ঘ্য হবে।
3. চলুন $w = 0^n 1^{2n}$ ।
   (স্যানিটি চেক: $|w|\gt n$ প্রয়োজনীয় হিসাবে। এই শব্দটি কেন? অন্য শব্দগুলি পাশাপাশি কাজ করতে পারে .. ডান $w$ সঙ্গে আসতে কিছু অভিজ্ঞতা লাগে )। আবার, লক্ষ করুন যে, $w$ একটি নির্দিষ্ট শব্দ: $\underbrace{000\ldots0}_{n \text{ times}}\underbrace{111\ldots1}_{2n \text{ times}}$ ।
4. এখন বিভক্ত করতে বিভিন্ন ঘটনা বিবেচনা শুরু করি $w$ মধ্যে $xyz$ সঙ্গে $|xy|\le n$ এবং $|y|>0$ । যেহেতু $|xy|<n$ আমরা কীভাবে $w$ বিভক্ত করব তা নির্বিশেষে , $x$ কেবল 0 এর এবং এর মধ্যে $y$ । ধরে নেওয়া যাক $|x|=s$ এবং $|y|=k$ । আমরা যে সব সম্ভব, সব অপশন বিবেচনা করতে হবে $s,k$ যেমন$s\ge 0, k\ge 1$ এবং$s+k \le n$ । এই$L$ এর পক্ষে এই সমস্ত মামলার প্রমাণ একই, তবে সাধারণভাবে এটি আলাদা হতে পারে।
   নিতে$i=0$ এবং বিবেচনা$xy^iz = xz$ । এই কথার ব্যাপার নয়$L$ যেহেতু এটি ফর্ম হল$0^{n-k}1^{2n}$ (কোন ব্যাপার কি$s$ এবং$k$ছিল), এবং $k \ge 1$ সাল থেকে এই শব্দটি $L$ এবং আমরা একটি বিপরীতে পৌঁছেছি।
5. সুতরাং, আমাদের অনুমানটি ভুল এবং $L$ নিয়মিত নয়।

---

একটি ইউটিউব ক্লিপ যা একই লাইনের সাথে পাম্পিং লেমাকে কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা এখানে পাওয়া যাবে

Comments

এটি এই যে এই সংজ্ঞা পাম্পিং দৈর্ঘ্য!

— সাদাতাম

Answer 3

উইকিপিডিয়া থেকে নিয়মিত ভাষার পাম্পিং ভাষা নিম্নলিখিত:

নিয়মিত ভাষা হতে দিন । এরপর একটি পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান পি ≥ 1 (শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে এল ) যেমন যে প্রতি স্ট্রিং W মধ্যে এল দৈর্ঘ্য অন্তত এর পি ( P "পাম্পিং দৈর্ঘ্য" বলা হয়) হিসেবে লেখা যেতে পারে W = এক্স Y z- র , (অর্থাত W করতে পারেন নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে, তিনটি সাবস্ট্রিংয়ে বিভক্ত করা হবে:$L$$p\ge 1$$L$$w$$L$$p$$p$$w = xyz$$w$

1. $|y| \ge 1$
2. এবং $|xy| \le p$
3. সবার জন্য , এক্স Y আমি z- র ∈ এল । y হল এমন স্ট্রিং যা পাম্প করা যায় (মুছে ফেলা বা যেকোন সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা যায় এবং ফলস্বরূপ স্ট্রিং সর্বদা এল থাকে )। $i \ge 0$$xy^iz \in L$
   $y$$L$

(1) অর্থ পাম্প করা লুপ y এর দৈর্ঘ্য কমপক্ষে এক হতে হবে; (২) এর অর্থ লুপটি অবশ্যই প্রথম পি অক্ষরের মধ্যে আবশ্যক। X এবং z এর উপর কোনও বাধা নেই।

সহজ কথায়, যে কোনও নিয়মিত ভাষার জন্য L, যে কোনও পর্যাপ্ত দীর্ঘ শব্দ কে 3 ভাগে ভাগ করা যায়। যেমন ডাব্লু = x y z , যেমন K ≥ 0 এর জন্য সমস্ত স্ট্রিং x y k z এছাড়াও এল এ ।$w\in L$$w = xyz$$xy^kz$$k\ge 0$$L$

এখন একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক । যাক ।$L=\{(01)^n2^n\mid n\ge0\}$

যে এই নিয়মিত নয় দেখাতে, আপনি বিবেচনা করতে হবে তা সব decompositions প্রয়োজন চেহারা চান, তাই কি হয় সব সম্ভব জিনিষ X, Y এবং Z দেওয়া যেতে পারে যে এক্স Y z- র = ( 01 ) পি 2 পি (আমরা 3 p দৈর্ঘ্যের এই নির্দিষ্ট শব্দটি দেখতে বেছে নিই , যেখানে পি পাম্পিং দৈর্ঘ্য)। স্ট্রিংয়ের y অংশটি কোথায় ঘটে তা আমাদের বিবেচনা করা উচিত । এটি প্রথম অংশের সাথে ওভারল্যাপ হতে পারে এবং সুতরাং ( 01 ) কে + 1 , ( 10 ) এর সমান হবে$w=xyz$$xyz=(01)^p2^p$$3p$$p$$y$$(01)^{k+1}$ ,1(01 ) কে বা0(10 ) কে , কিছুকে≥0 এর জন্য(এটি ভুলে যাবেন না | y | ≥1)। এটি দ্বিতীয় অংশের সাথে ওভারল্যাপ করতে পারে যার অর্থy= 2 কে , কিছুকে>0 এর জন্য। অথবা এটি শব্দের দুটি অংশ জুড়ে ওভারল্যাপ হতে পারে এবং ফর্মটি(01 ) কে + 1 2 এল ,(10 ) $(10)^{k+1}$$1(01)^k$$0(10)^k$$k\ge 0$$|y|\ge 1$$y=2^k$$k>0$$(01)^{k+1} 2^l$ ,1(01 ) কে 2 এল বা0(10 ) কে 2 এল ,কে≥0এবংএল≥1 এর জন্য।$(10)^{k+1} 2^l$$1(01)^k 2^l$$0(10)^k 2^l$$k\ge0$$l\ge1$

একটি বৈপরীত্য পেতে এখন প্রত্যেককে পাম্প করুন, যা আপনার ভাষায় নয় এমন একটি শব্দ হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা নিতে , পাম্পিং থিম, বলছেন উদাহরণস্বরূপ, যে এক্স Y 2 z- র = এক্স 0 ( 10 ) ট 2 ঠ 0 ( 10 ) ট 2 ঠ z- র মধ্যে থাকা আবশ্যক ভাষা, x এবং z এর উপযুক্ত পছন্দের জন্য । এই শব্দটি ভাষায় থাকতে পারে না কারণ 1 এর আগে 2 উপস্থিত হয় ।$y=0(10)^k2^l$$xy^2z=x0(10)^k2^l0(10)^k2^lz$$x$$z$$2$$1$

অন্যান্য ক্ষেত্রে ফলাফল এর সংখ্যার তুলনায় 2 এর সংখ্যার চেয়ে বেশি বা বিপরীত হয়, বা এর ফলে শব্দটির ফলাফল হবে যা কাঠামো ( 01 ) n 2 n দ্বারা নেই, উদাহরণস্বরূপ, একটি সারিতে দুটি $(01)$$2$$(01)^n2^n$$0$

ভুলে যাবেন না । এখানে, প্রমাণটি সংক্ষিপ্তকরণে দরকারী: উপরের অনেকগুলি পচা অসম্ভব কারণ তারা z অংশটি দীর্ঘ করবে।$|xy| \le p$$z$

উপরের প্রতিটি ক্ষেত্রে এ জাতীয় বৈপরীত্যের দিকে পরিচালিত করা দরকার, যা পাম্পিং লেমারের বিপরীত হতে পারে। ভাল খবর! ভাষা নিয়মিত হবে না।

Comments

একটি উদাহরণ যেখানে হাইপোথিসিস প্রয়োজন হয় সুন্দর হবে। $|xy|\le p$

— গিলস

@ গিলস: আপনি যুক্ত বাক্যটির অর্থ কী তা আমি নিশ্চিত নই।

— ডেভ ক্লার্ক

@ গিলস: আমি মনে করি যে সমস্ত পচন সম্ভব, কেবল সেই আবদ্ধ হবে। Z এর দৈর্ঘ্যের সাথে এটির কী আছে তা আমি নিশ্চিত নই । $k$$z$

— ডেভ ক্লার্ক

Duh! এখন বুঝতে পারছি. ধন্যবাদ। এটি অবশ্য উত্তরে বর্ণিত পচনের যে কোনও রূপকে অস্বীকার করে না; এটি কেবলমাত্র এবং এল এর মান গ্রহণ করতে পারে তা সীমাবদ্ধ করে । $k$$l$

— ডেভ ক্লার্ক

এত সহজ প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য যে পরিমাণ সম্পাদনা করা হয়েছে তা আমাকে অবাক করে দেয় কেন সবাই পাম্পিং লেমাকে অ-নিয়মিততা প্রমাণ করার উপায় হিসাবে "" "শেখায়? কৌতূহলের বাইরে, কেন কেবল আপনার স্ট্রিংকে মতো কিছু হিসাবে গ্রহণ করবেন না ? পাম্পিং থিম জানায় যে Y কোন হয়েছে 2 এতে এস, যা থেকে একটি অসঙ্গতি আরো সহজবোধ্য। $(01)^{2p}2^{2p}$$y$$2$

— লুই

Answer 4

প্রদত্ত ভাষার জন্য , আসুন$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle S_L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L \cap \Sigma^n|\cdot z^n$

(সাধারণ) ফাংশন উৎপাদিত এর , দৈর্ঘ্য প্রতি শব্দ গন্য তার ক্রম অর্থাৎ।$L$

নিম্নলিখিত বিবৃতি হ'ল [ FlSe09 , p52]:

$\qquad \displaystyle L \in \mathrm{REG} \quad \Longrightarrow \quad S_L \text{ rational}$

এটি, পি,কিউবহুপদীসাথে Q ( z ) ।$S_L(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$$P,Q$

সুতরাং কোনো ভাষা যার উৎপাদিত ফাংশন না মূলদ নিয়মিত নয়। দুর্ভাগ্যক্রমে, সমস্ত রৈখিক ভাষাতেও যৌক্তিক উত্পন্ন ফাংশন রয়েছে - তাই এই পদ্ধতিটি সহজ অ-নিয়মিত ভাষার জন্য কাজ করবে না। আর একটি অসুবিধা হ'ল (এবং এটি যুক্তিযুক্ত নয় তা দেখানো) কঠিন হতে পারে।$S_L$

উদাহরণ: সঠিকভাবে নেস্টেড প্রথম বন্ধনী শব্দের ভাষা , যেমন ডাইক ভাষা বিবেচনা করুন । এটি দ্ব্যর্থহীন ব্যাকরণ দ্বারা উত্পাদিত হয়

$\qquad \displaystyle S \to [S]S \mid \varepsilon$

যা সমীকরণে অনুবাদ করা যায়

$\qquad \displaystyle S(z) = z^2S^2(z) + 1$

একটি সমাধান (সমস্ত ধনাত্মক সহগ সহ এক) যা

।$\qquad \displaystyle \mathcal{S}(z) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4z^2}}{2z^2}$

হিসাবে [ Kuic70 ] এবং এস মূলদ নয়, Dyck ভাষা নয় নিয়মিত হয়।$S_L = \mathcal{S}$$\mathcal{S}$

---

1. নিয়মিত ভাষার জন্য বিবৃতিটির প্রমাণ ব্যাকরণের মাধ্যমে কাজ করে এবং তাত্ক্ষণিক রৈখিক ব্যাকরণে স্থানান্তরিত হয় (গুণটির পরিবহন)।

---

$\ \ $[ফ্ল্যাসে ৯৯] পি। ফ্লাজোলেট এবং আর সেডজউইক (২০০৯) দ্বারা বিশ্লেষণাত্মক সংমিশ্রক [কুইক ]০] ডব্লু। কুইচের (১৯ 1970০) প্রবন্ধবিহীন ভাষাগুলির এন্ট্রপিতে
$\ \ $

Answer 5

এই এখান থেকে আমার উত্তর একটি প্রসারিত সংস্করণ পাম্পিং থিম ব্যবহার প্রমাণ করার ভাষা নিয়মিত হয়$L = \{(01)^m 2^m \mid m \ge0\}$ যেহেতু এই একটি রেফারেন্স প্রশ্ন হতে অনুমিত হয়।

সুতরাং, আপনি কি মনে করছেন পাম্পিং লেমাকে জটিল দেখাচ্ছে? চিন্তা করবেন না। এখানে কিছুটা আলাদা টেক অ্যাপ্রোচ দেওয়া হয়েছে যা @ রোমাল্ডের উত্তরেও লুকিয়ে রয়েছে। (কুইজ: কোথায়?)

আসুন এটি মনে রেখে শুরু করুন যে প্রতিটি নিয়মিত ভাষা একটি নির্ধারিত সসীম রাষ্ট্র অটোমেটন (ডিএফএ) দ্বারা গৃহীত হয়। একটি ডিএফএ হ'ল একটি সীমাবদ্ধ নির্দেশিত গ্রাফ যেখানে প্রতিটি শিখর বর্ণমালার প্রতিটি বর্ণের জন্য ঠিক এক বাহুতে থাকে। স্ট্রিংস আপনাকে সূচনা লেবেলযুক্ত "সূচনা" লেবেল ভিত্তিতে একটি গ্রাফের মধ্যে হাঁটা দেয় এবং ডিএফএ গ্রহণ করে যদি "পদক্ষেপ গ্রহণ করুন" লেবেলের একটি শীর্ষবিন্দুতে এই পদক্ষেপটি শেষ হয়। (শিখরগুলি "রাজ্য" বলা হয় কারণ গণিতের বিভিন্ন অঞ্চল একই জিনিসটির জন্য নিজস্ব পরিভাষা তৈরি করতে পছন্দ করে))

$a$$b$$c$$ac$$bc$

$L$$a$$b$$c$$ac$$bc$$L$

$a$$b$$c$$ac$$bc$$m$$\{(01)^i : 0\le i\le m+1\}$$a=(01)^p$$b=(01)^q$$p\neq q$$a2^p$$b2^p$

সুন্দর জিনিসটি হ'ল উদাহরণটি সত্য যে ভাষা নিয়মিত নয় তা প্রমাণ করার জন্য একটি টেম্পলেট:

• $\{a_i :i\in\mathbb{N}\}$$t_i$$a_it_i$$a_it_j$$i\neq j$
• $a_i$

অন্যান্য কৌশল আছে, তবে এটি আপনার বেশিরভাগ হোম ওয়ার্ক সমস্যার ক্ষেত্রে সহজেই কাজ করবে।

সম্পাদনা: এই ধারণাটি পাম্পিং লেমার সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তার পূর্ববর্তী সংস্করণে কিছু আলোচনা হয়েছিল।

Comments

আমি মনে করি না যে পাম্পিং লেমার প্রমাণ পুনরুত্পাদন সাধারণভাবে দরকারী তবে ওয়াইএমএমভি। প্রমাণ বোঝা যে কোনও ক্ষেত্রে ভাল; এটি অবিলম্বে কয়েকটি বন্ধ এবং সীমাবদ্ধ স্বয়ংক্রিয়তা এবং নিয়মিত ভাষার অন্যান্য আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্যের সাথে সংযুক্ত করা হয়। আমি শেষ বাক্যটির সাথে দৃ strongly়ভাবে একমত নই, যদিও: অটোমাতা তত্ত্বটি মোটেও বিরক্তিকর নয়, এবং এটি অবশ্যই তত্ত্বের ক্লাসগুলির সবচেয়ে বিরক্তিকর অংশ নয়।

— রাফেল

@ লুইস আপনার উত্তরে আপনি কীভাবে শেষ পর্যন্ত এই বিবৃতিটি নিয়ে এসেছেন we see that a2p is in the language and b2p is not, so this language can't be regular.। দয়া করে আপনি একটি উদাহরণ দিতে পারেন

— হিমাংশু

$a$$b$$q_1$$2^p$$q_2$$a$$b$

Answer 6

এখানে উত্তর অনুসরণ করে , আমি কোলমোগর্ভ জটিলতার উপর ভিত্তি করে অ-নিয়মিততা প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি বর্ণনা করব।

এই পদ্ধতির বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছে " কোলমোগোরভ কমপ্লেক্সে ফর্মাল ল্যাঙ্গুয়েজ থিওরিতে একটি নতুন পদ্ধতির" , মিং লি এবং পল এমবি ভিটানাইয়ের (বিভাগটি 3.1 দেখুন) দ্বারা।

$K(x)$$x$$M$$M(\epsilon)=x$

$L\subseteq \Sigma^*$$c$$L$$x\in\Sigma^*$$y$$n'th$$L_x=\left\{y\in \Sigma^*|xy\in L\right\}$$K(y)\le O(\log n)+c$

$x\in\Sigma^*$$n'th$$L_x$

• অটোমেটন যা গ্রহণ করে$L$
• প্রিফিক্স প্রসেস করার পরে অটোমেটনে রাজ্য$x$
• $n$

$x$$x$$L$$n$$\log n$$y$

$L_x$$L$$x\in\Sigma^*$$L$

$L=\left\{1^p | \text{p is prime}\right\}$$L=\left\{0^n1^n| n\ge 0\right\}$

$x\in\left\{0,1\right\}^*$$y_i^x$$i'th$$L_x$$y_1^{0^i}=1^i$$x$$x=0^i$$n=1$$\forall i\ge 0 : K(y_1^{0^i})\le c$$y_1^{0^i}=1^i$$1^i$$x$$x=0^n$$n$$K(0^n)\ge \log n$$y_1^x=1^n$$K(1^n)<c$$n>2^c$

Answer 7

$\{ \sigma \}$$A \subseteq \mathbb{N}$

$$L(A) = \{ \sigma^n : n \in A \}.$$

$A \subseteq \mathbb{N}$

1. $L(A)$

2. $L(A)$

3. $n_0,m \geq 1$$n \geq n_0$$n \in A$$n+m \in A$$A$

4. $a_i = 1_{i \in A}$$0.a_0a_1a_2\ldots$

5. $\sum_{i \in A} x^i$

$\rho$$\rho$

$A \subseteq \mathbb{N}$$L(A)$

1. $\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{|A \cap \{1,\ldots,n\}|}{n}$$A$

2. $\rho = 0$$A$

3. $\rho = 1$$A$$\overline{A}$

$L(\{2^n : n \geq 0\})$

Answer 8

ইউনিয়ন, ছেদ, পরিপূরক, হোমোমর্ফিিজম, নিয়মিত প্রতিস্থাপন, বিপরীত হোমোর্ফিজম এবং আরও অনেকের মতো নিয়মিত ভাষার ক্লাস বিভিন্ন ক্লোজার অপারেশনের অধীনে বন্ধ হয়ে যায়। এটি প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে কোনও ভাষা ইতিমধ্যে অ-নিয়মিত হিসাবে পরিচিত এমন ভাষাতে হ্রাস করে নিয়মিত নয়।

$\{a^nb^n : n \geq 0\}$$\{w \in \{a,b\}^* : \#_a(w) = \#_b(w)\}$$a$$b$

$L = \{w \in \{a,b\}^* : \#_a(w) = \#_b(w)\}$$L \cap a^*b^*$$L \cap a^*b^* = \{a^n b^n : n \geq 0\}$

$L' = \{(0+1)^n2(0+1)^n : n \geq 0\}$

$h$$h(0) = 0$$h(1) = 1$$h(2) = \epsilon$$L'$$h(L' \cap 0^*21^*) = \{ 0^n 1^n : n \geq 0 \}$

$L'' = \{0^n10^n : n \geq 0\}$

যাক homomorphism কর্তৃক প্রদত্ত হতে , , । যদি নিয়মিত থাকত তবে হত , তবে এটি পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে কেবল ভাষা ।$k$$k(0) = 0$$k(1) = 0$$k(2) = 1$$L''$$k^{-1}(L'')$$L'$

Answer 9

মাইহিল er নেরোড তত্ত্ব ব্যবহার করুন।

ভাষা হতে দিন । আমরা যে দুটি শব্দ হয় inequivalent মডিউল (অথবা: সম্মান সঙ্গে ) যদি সেখানে একটি শব্দ বিদ্যমান যেমন যে ঠিক এক হয় । জন্য যে কোনও ডিএফএ , (অনুশীলন)। এটি নিম্নলিখিত মানদণ্ডকে বোঝায়:$L$$x,y$$L$$L$$z$$xz,yz$$L$$L$$\delta(q_0,x) \neq \delta(q_0,y)$

ভাষা হতে দিন । মনে করুন যে জোড়াযুক্ত অসম্পূর্ণ শব্দের একটি সীমাহীন সেট রয়েছে (এটি একটি অসীম সেট মতো যে কোনও দুটি সমান মধ্যে অসম মডেলো )। তাহলে নিয়মিত নয়।$L$$S$$x,y \in S$$L$$L$

এই মানদণ্ড প্রয়োগের একটি সাধারণ উদাহরণ এখানে:

The ভাষা নিয়মিত নয়।$L = \{a^nb^n : n \geq 0\}$

প্রুফ। যাক । আমরা দাবি করি যে এর যে কোনও দুটি পৃথক শব্দ অসম মডেলো । আসলে, এস-এ let দেওয়া যাক , যেখানে । তারপরে but তবে ।$S = \{ a^n : n \geq 0 \}$$S$$L$$a^i,a^j \in S$$i \ne j$$a^ib^i \in L$$a^ib^j \notin L$

এই পদ্ধতির একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যটি এটির সাফল্যের গ্যারান্টিযুক্ত: যদি নিয়মিত না হয় তবে জোড়াওয়ালা অসম কথাটির অসীম সেট রয়েছে set এটি মাইহিল er নেরোড উপপাদ্যের একটি পরিণতি । সংক্ষেপে, সমতুল্য মডুলো ( উপরে বর্ণিত বৈষম্য মডুলো এর প্রত্যাখ্যান ) একটি সমতুল্য সম্পর্ক, এবং একটি ভাষা নিয়মিত হয় যদি সমতুল্য মডুলো এর সমতুল্য শ্রেণীর সংখ্যা সীমাবদ্ধ হয়। তাহলে নিয়মিত নয়, প্রতিটি সমানতা ক্লাস আউট এক শব্দ গ্রহণ inequivalent শব্দের অসীম সেট গঠন করবে।$L$$L$$L$$L$$L$$L$

Answer 10

প্রদত্ত একটি ভাষা যে স্ট্রিং এর জন্য, আছে স্ট্রিং একটি সেট যেমন যে । এই জাতীয় প্রতিটি সেট একটি রাষ্ট্রের মেশিনে রাজ্য হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।$L$$x$$y$$xy \in L$

আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল এই জাতীয় সেটগুলির সংখ্যা সীমাবদ্ধ নয়।

উদাহরণস্বরূপ, দিন । প্রদত্ত কিছু , শুধুমাত্র স্ট্রিং যেমন যে হয় । সুতরাং প্রতিটি আমাদের আলাদা সেট রয়েছে যার অর্থ নিয়মিত নয়।$L = {a^nb^n: n ≥ 0}$$x = a^nb$$n ≥ 1$$y$$xy \in L$$y = b^{n-1}$$n$$L$

সুতরাং সাধারণভাবে, আপনি যদি স্ট্রিং এর একটি সীমাহীন সেট খুঁজে পান যে প্রতিটি আলাদা আলাদা সেট দেয় তবে ভাষাটি একটি সীমাবদ্ধ রাষ্ট্রের মেশিন দ্বারা স্বীকৃত হতে পারে না এবং তাই নিয়মিত নয়।$x$$x$$\{y: xy \in L\}$

Comments

এটি কি শুধু মাইহিল-নেরোড নয়?

— ডেভিড রিচার্বি