নির্ভরশীল তত্ত্বের ইউনিভার্সগুলি

11

আমি হোমোপি টাইপ থিওরি অনলাইন বইতে নির্ভরশীল প্রকারের তত্ত্বের বিষয়ে পড়ছি ।

টাইপ থিওরি অধ্যায়ের ১.৩ বিভাগে , এটি ইউনিভার্সেসের হায়ারার্কির ধারণাটি উপস্থাপন করেছে : , যেখানে $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$

প্রত্যেক মহাবিশ্ব পরবর্তী মহাবিশ্বের একটি উপাদান । তদুপরি, আমরা ধরে নিই যে আমাদের মহাবিশ্বগুলি সংশ্লেষিত, এটি হ'ল মহাবিশ্বের সমস্ত উপাদানগুলিও মহাবিশ্বের উপাদান । $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_{i+1}$ $i^{\mathrm{th}}$ $(i+1)^{\mathrm{th}}$

তবুও, যখন আমি পরিশিষ্ট এ বিভিন্ন ধরণের গঠনের নিয়মগুলি দেখি, প্রথম নজরে, যদি কোনও মহাবিশ্ব একটি ভিত্তি হিসাবে বারের উপরে উপস্থিত হয়, তবে একই মহাবিশ্ব নীচে প্রদর্শিত হবে। উদাহরণস্বরূপ, সহজাত প্রকার গঠনের নিয়ম:

\frac{Γ ⊢ A : U_{i} Γ ⊢ B : U i}{Γ ⊢ A + B : U_{i}} (+ - F O R M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

সুতরাং আমার প্রশ্ন হ'ল একটি শ্রেণিবিন্যাস কেন প্রয়োজনীয়? কোন পরিস্থিতিতে আপনাকে একটি মহাবিশ্ব থেকে শ্রেণিবিন্যাসের এক উচ্চে উঠতে হবে? এটা সত্যিই আমার কাছে সুস্পষ্ট নয় কিভাবে কোনো সমন্বয় দেওয়া , আপনি একটি টাইপ আপ শেষ করতে পারেন যে না এ । আরও বিশদে: পরিশিষ্ট A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2 এর বিভাগগুলিতে গঠনের বিধিগুলি হয় either উল্লেখ করুন এবং রায়, বা ঠিক রায়। $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

বইটিতে ইঙ্গিতও দেওয়া হয়েছে যে মহাবিশ্ব নির্ধারণের আনুষ্ঠানিক উপায় রয়েছে:

যদি কোনও যুক্তি সঠিক হয় কিনা তা নিয়ে যদি সন্দেহ থাকে তবে এটি যাচাই করার উপায় হ'ল এটিতে উপস্থিত সমস্ত মহাবিশ্বের সাথে ধারাবাহিকভাবে স্তর নির্ধারণ করার চেষ্টা করা।

ধারাবাহিকভাবে স্তর নির্ধারণের প্রক্রিয়াটি কী?

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ the রাসেল প্যারাডক্সে নিয়ে যায় । রাসেল প্যারাডক্স এড়িয়ে চলা স্পষ্টভাবে বইটিতে উল্লেখ করা হয়েছে (পৃষ্ঠা 24)। এটি আরও বিশদে পৃষ্ঠা 54, 55 এ যায় যা "রাসেল স্টাইলের ইউনিভার্স" ব্যবহার করে "তারস্কি স্টাইলের ইউনিভার্স" ব্যবহার করে। সুতরাং খুব উচ্চ স্তরে, আমি সম্মত হই যে তত্ত্বটি প্যারাডক্সটিকে এড়াতে চায়। দুর্ভাগ্যক্রমে আমার কাছে সরাসরি তা অনুধাবনের পটভূমি নেই। কি আমি এই প্রশ্নের পর am, সত্যিই শুধু কিছু কিছু উদাহরণ বুঝিয়ে পৃষ্ঠ প্রারম্ভিক হয় এবং নেই জন্য এবং অন্য কিছু আমাকে একটা অনুভূতি দিতে হতে পারে কিভাবে শ্রেণিবিন্যাস কাজ করে $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— huynhjl
সূত্র

1

@huynhjl প্যারাডক্সগুলি এড়াতে মহাবিশ্বগুলি ব্যবহার করা প্রয়োজন নয়, উদাহরণস্বরূপ জেডএফ সেট তত্ত্ব বা কুইনের এনএফ নয়, দুটি বিকল্প গাণিতিক ভিত্তি এগুলি ব্যবহার করে। মহাবিশ্বগুলি প্যারাডক্সগুলি এড়ানোর একটি সুবিধাজনক উপায় (বা তাই আমরা আশা করি) একই সময়ে খুব অভিব্যক্তিপূর্ণ ধরণের নির্মাণের ক্ষমতা রাখে।

— মার্টিন বার্গার

14

কোন পরিস্থিতিতে একটি শ্রেণিবিন্যাসের জন্য একটি মহাবিশ্ব থেকে উচ্চতর একটিতে ঝাঁপিয়ে পড়া আমাদের প্রয়োজন সেই প্রশ্নটি উত্তম। শ্রেণিবিন্যাস এবং এটি আরোহণের ক্ষমতা থাকা গুরুত্বপূর্ণ। আপনি যখন মহাবিশ্বকে কোনও ধরণের বা কোনও ধরণের অংশ হিসাবে আচরণ করতে চান তখন আপনাকে স্তরগুলি লাফিয়ে উঠতে হবে। উদাহরণস্বরূপ (অ-নির্ভরশীল) টাইপ ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে আপনাকে অবশ্যই দেখাতে হবে যে একটি মহাবিশ্বে রয়েছে। তবে এটি বা কিছু ছোট মহাবিশ্ব হতে পারে না । তাই আমরা কি কাজ করতে পারি? সমস্যাটি মোকাবেলার জন্য (আনসাউন্ড ব্যবহার না করে ), আমাদের একটি মহাবিশ্বকে ঝাঁপিয়ে পড়া দরকার। যে নিয়মটি আমাদের এই লাফ তৈরি করতে সক্ষম করে তা হ'ল th ম্যাথক্যাল -ইন্ট্রো

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$

\frac{⊢ Γ : গ টি এক্স}{Γ ⊢ {ইউ}_{আমি} : {ইউ}_{আমি + + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$ th পরিশিষ্ট A.2.3 এ দেওয়া হয়েছে। মহাবিশ্বের শ্রেণিবিন্যাসের মূল বিষয়টি আমরা এটি করতে পারি। এটিকে মহাবিশ্বগুলি ধারণ করে রাখার নিরাপদ অনুমান হিসাবে দেখা যেতে পারে।

— মার্টিন বার্গার
সূত্র

12

ক্রমশক্তি কোথায় আসে তা ব্যাখ্যা করার জন্য আমি মার্টিনের উত্তরে কিছুটা সংশোধন করব (যে বিধিটি এবং এন্টেল )। মনে করুন আমাদের কাছে এবং আমরা তে একটি টাইপ দিতে চাই । জন্য গঠন নিয়ম : এই হল $X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$ (যদিজন্য একটি সাঁটে লেখার হয়তারপর উপরে শাসন গঠন শাসন থেকে আহরিত হতে পারেকিন্তু আমাদের এটি সম্পর্কে চিন্তা করবেন না।) জন্য এই নিয়মটি ব্যবহার করুন, ফাংশন ধরণের গঠনে জড়িত উভয় প্রকারেরই একই মহাবিশ্বের মধ্যে থাকতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে আমরা আছেমধ্যেএবংমধ্যে। সুতরাং আমরা প্রথমে সেইকমিয়ে আনার জন্য কমুলিটিভিটি ব্যবহার করি

\frac{Γ ⊢ এক্স : {ইউ}_{আমি} Γ ⊢ ওয়াই : {ইউ}_{আমি}}{Γ ⊢ (এক্স \to ওয়াই) : {ইউ}_{আমি}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$ পাশাপাশি, এবং তারপরে দেখান যে

এর টাইপ

।

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

$\to$

\frac{Γ ⊢ এক্স : {ইউ}_{আমি} Γ ⊢ ওয়াই : {ইউ}_{ঞ}}{Γ ⊢ (এক্স \to ওয়াই) : {ইউ}_{সর্বোচ্চ (আমি, ঞ)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ এক্স : {ইউ}_{আমি} Γ ⊢ ওয়াই : {ইউ}_{ঞ} আমি \leq ট ঞ \leq ট}{Γ ⊢ (এক্স \to ওয়াই) : {ইউ}_{ট}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র