এফপিটিএএস-এ সব সমস্যা কেন এফপিটিতে?

বহু-সময় আনুমানিক প্রকল্পগুলির উইকিপিডিয়া নিবন্ধ অনুসারে :

এফপিটিএএস-এ সমস্ত সমস্যা স্থির-পরামিতি ট্র্যাকটেবল।

এই ফলাফলটি আমাকে অবাক করে - এই ক্লাসগুলি একে অপরের থেকে সম্পূর্ণ পৃথক বলে মনে হয়। এফপিটিএএস সমস্যাগুলি প্রায় অনুধাবন করার জন্য কতটা সহজ তার দ্বারা চিহ্নিত করে, যখন এফপিটি কিছু প্যারামিটারের তুলনায় তাদের সমস্যা দ্বারা সমস্যাগুলি চিহ্নিত করে। দুর্ভাগ্যক্রমে, উইকিপিডিয়া (যতক্ষণ না আমি এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করছি) এর জন্য উদ্ধৃতি সরবরাহ করে না।

এই ফলাফলের একটি মান প্রমাণ আছে? বা এই সংযোগটি সম্পর্কে আরও জানার জন্য আমি পরামর্শ করতে পারি এমন কোনও উত্স আছে?

— templatetypedef
সূত্র

এটি ক্যা এবং চেনের একটি উপপাদ্য (জেসিএসএস ৯7), উল্লেখ করে " যদি কোনও এনপি অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটিতে সম্পূর্ণ বহুপদী-সময় আনুমানিক স্কিম থাকে তবে তা স্থির-পরামিতি ট্র্যাকটেবল হয় " " এনপি অপটিমাইজেশনের স্থির-পরামিতি ট্র্যাকটেবিলিটি এবং আনুমানিকতা সম্পর্কিত কাগজটি দেখুন সমস্যা ।

— পল জিডি

এবং, অবশ্যই, একটি তাত্পর্য হিসাবে আপনি পাবেন " এনপি অপ্টিমাইজেশান সমস্যাগুলি যা ইউনিফর্ম হ্রাসের অধীনে সম্পূর্ণরূপে বহুবর্ষ-সময়ের আনুমানিক পরিকল্পনা নেই $W[1]$ $W[1] = FPT$ ।"

— পল জিডি

@ পেলজিডি- যদিও মনে হচ্ছে প্যারামিটারাইজেশন পছন্দটি কিছুটা স্বেচ্ছাসেবী; তারা সমস্যা ইনপুট জন্য অনুকূল সমাধান মান হিসাবে পরামিতি চয়ন। আমি মনে করি যে প্রযুক্তিগতভাবে এটি কাজ করে, যদিও এটি বৌদ্ধিকভাবে খুব পরিপূর্ণ হয় না।

— টেমপ্লেটটিফাইফ

লুক ম্যাথিসন নীচে একটি খুব সুন্দর উত্তর দিয়েছেন, এবং আমি মনে করি যে আপনার প্রশ্নের উত্তর যথেষ্ট।

— পল জিডি

এর আরও শক্তিশালী ফলাফল রয়েছে; একটি সমস্যা বর্গ হয় যদি এটি একটি হয়েছে fptas ¹ : একটি -approximation দ্বারা বেষ্টিত সময় চলমান $\mathrm{FPTAS}$ $\varepsilon$ (অর্থাত্ আকার এবং আনুমানিক ফ্যাক্টর উভয় ক্ষেত্রে বহুপদী)। এখানে আরও একটি সাধারণ শ্রেণীরযাআবদ্ধ সময়টি শিথিল করে $(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{EPTAS}$ -আনুমানিক ফ্যাক্টরটির সাথে সম্পর্কিতএকটিলাইক চলমান সময়। $f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{FPT}$

স্পষ্টতই হ'ল এর একটি উপসেট , এবং দেখা গেছে যে নিম্নলিখিত অর্থে এর একটি উপসেট : $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

উপপাদ্য একটি এনপিও সমস্যা যদি একটি হয়েছে $\Pi$ eptas, তারপর সমাধান খরচ দ্বারা স্থিতিমাপ নির্দিষ্ট পরামিতি নম্র হয়। $\Pi$

উপপাদ্য এবং প্রমাণটি ফ্লুম অ্যান্ড গ্রোহে [১] তে উপপাদ্য ১.৩৩ (পৃষ্ঠা ২৩-২৪) হিসাবে দেওয়া হয়েছে এবং তারা এটিকে বাজগান [২] এর সাথে দায়ী করেছেন, যা এটিকে কে এবং চেনের দুর্বল ফলাফলের দু'বছর পূর্বে রেখেছিল (তবে ফরাসি ভাষায়) প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন).

আমি প্রুফের স্কেচ দেব, কারণ আমি মনে করি এটি প্রপঞ্চটির একটি দুর্দান্ত প্রমাণ। সরলতার জন্য আমি মিনিমাইজেশন সংস্করণ করব, কেবলমাত্র মানসিকভাবে সর্বাধিককরণের জন্য উপযুক্ত বিপরীতগুলি করব।

প্রুফ। যাক হতে eptas জন্য , তাহলে আমরা স্থিতিমাপ কর অ্যালগরিদম গঠন করা যেতে পারে জন্য সমাধান খরচ দ্বারা স্থিতিমাপ নিম্নরূপ: প্রদত্ত ইনপুট , আমরা চালানো ইনপুট যেখানে আমরা সেট $A$ $\Pi$ $A'$ $\Pi$ $k$ $(x,k)$ $A$ $x$ (যেমন আমরা আনুমানিক অনুপাতবেছে নিই $\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ )। যাকসমাধান, হতেখরচ হতেএবংপ্রকৃত পড়তা অনুপাত হতেথেকে, অর্থাত্। $1+\frac{1}{k+1}$ $y$ $\text{cost}(x,y)$ $y$ $r(x,y)$ $y$ $\text{opt}(x)$ $\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

যদি , তবে স্বীকার করুন, স্পষ্টভাবে । যদি , যেমন প্রত্যাখ্যান $\text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{cost}(x,y) > k$ যেমনএকটি হলeptasএবং $r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$ $A$

opt (x) = \frac{cost (x, y)}{r (x, y)} \geq \frac{k + 1}{1 + \frac{1}{k + 1}} > k

$\text{opt}(x) = \frac{\text{cost}(x,y)}{r(x,y)} \geq \frac{k+1}{1+\frac{1}{k+1}} > k$

অবশ্যই আপনি চলমান সময় জন্য আবদ্ধ পেতে কেবল থেকে একটি হচ্ছে eptas । $A'$ $A$ $\Box$

অবশ্যই যেমন পাল তুলে ধরে, স্থিতিমাপ কঠোরতা ফলাফল কোনো অ অস্তিত্ব পরোক্ষভাবে eptas যদি না কিছু পতন হয়, কিন্তু সমস্যা আছে সঙ্গে eptas (অথবা এমনকি পিটিএ র ), তাই একটি কঠোর (উপপাদ্যের অর্থে) এর উপসেট । $\mathrm{FPT}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

পাদটিকা:

একটি fptas (সমতুল্য eptas বা ptas ) একটি চলমান সময় উপরোক্ত বর্ণিত সীমানা সঙ্গে একটি আনুমানিক পরিকল্পনা। শ্রেণী (equiv। , ) এ সমস্যার সেট যেমন একটি প্রকল্প আছে। $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{PTAS}$ $\mathrm{NPO}$

[১]: জে ফ্লুম এবং এম। গ্রোহ, প্যারামিটারাইজড কমপ্লেক্সিটি থিওরি ,
স্প্রঞ্জার, ২০০.। [২]: সি বাজগান। শামাস ডি'প্রোকিমেশন এবং জটিলতা, প্যারাড সুড, ইউনিভার্সিটি প্যারিস সুদ, 1995 é

— লুক ম্যাথিসন
সূত্র