সম্ভবত দ্রুততর এলোমেলোড আলগোরিদিমগুলির সাথে পি সমস্যা

Question

in এ এমন কোনও সমস্যা আছে যা ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদমগুলিতে নিম্ন অ্যালগরিদমগুলি দিয়েছে? আরও , আমরা কি এমন কোনও জানি যার জন্য ? এখানে ths গণিত {পিটিটাইম} (চ (এন)) এর অর্থ এফ (এন) পদক্ষেপগুলিতে ধ্রুবক-বাঁধা (এক বা দ্বি-পার্শ্ব) ত্রুটিযুক্ত একটি এলোমেলো টিএম দ্বারা ভাষা নির্ধারণযোগ্য ।$\mathsf{P}$$k$$\mathsf{DTIME}(n^k) \subsetneq \mathsf{PTIME}(n^k)$$\mathsf{PTIME}(f(n))$$f(n)$

এলোমেলোভাবে কি আমাদের কোনও \ mathsf {P inside এর ভিতরে কিনে দেয় $\mathsf{P}$?

স্পষ্টতই, আমি এমন কিছু সন্ধান করছি যেখানে পার্থক্যটি অ্যাসিম্পোটিক (সর্বাধিক বহুপদী, তবে আমি পলিওগ্রাথমিকের জন্য মীমাংসা করব), কেবল একটি ধ্রুবক নয়।

আমি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে asyptotically আরও ভাল অ্যালগরিদম খুঁজছি। উন্নত প্রত্যাশিত জটিলতার সাথে অ্যালগরিদমগুলি আমি যা খুঁজছি তা নয়। আমি বলতে চাইছি আরপি বা বিপিপি-তে জেডপিপি নয় র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম।

Comments

সম্ভবত "ইয়াও এর কৌশল" আপনি যা খুঁজছেন তা। একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ পাওয়া যাবে cs.pitt.edu/~kirk/cs2150/yao/yao.html

— উ ইয়িন

@ ওয়াইয়িন যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি যে ডিটারনিস্টিক অ্যালগরিদমের গড় ক্ষেত্রে আচরণের সাথে নিম্ন-গন্ডির এলোমেলোম অ্যালগরিদমের দিকে চলে যায় .. তবে আমি এটি আরও দেখব, তবে যেভাবে আমি এটি দেখছি, এটি কেবল এলোমেলোতার প্রমাণ দিতে পারে নেই না ভিতরে আমাদের কিছু কিনতে .. আমি কি সঠিক? $P$

— aelguindy

[ finding , ] র‌্যাঙ্কের সাথে দৈর্ঘ্যের অনুসারে যে কোনও উপাদান সন্ধান করার জন্য আমরা যে কোনও এলোমেলো উপাদান সহজেই ফিরিয়ে দিতে পারি এবং এটি দিয়ে সঠিক হবে সম্ভাবনা তাই এর হে (1)! যদিও একটি নির্ধারক অ্যালগরিদম অন্তত ইনপুটটির কিছু ভগ্নাংশ পরীক্ষা করে hence । $n$$\frac{n}{4}$$\frac{3*n}{4}$$\frac{1}{2}$$\Omega(n)$

— রিজওয়ানহদ্দা

@ রিজওয়ানহুদা এর সাথে কিছু সমস্যা হতে পারে। প্রথমত, আমি কোনও সিদ্ধান্ত সমস্যার সন্ধান করছি। দ্বিতীয়ত, টুরিং মডেলে, কোনও এলোমেলো অ্যাক্সেস না থাকায় একটি এলোমেলো উপাদান ফিরে আসা । হতে পারে, মেশিন সবসময় প্রথম উপাদান আউটপুট? তবুও, প্রথম সমস্যাটি আরও বড়। $\Omega (n)$

— aelguindy

শেষ অনুচ্ছেদে কোনও অর্থ হয় না কারণ প্রতিটি লাস ভেগাস অ্যালগরিদমকে মন্টি কার্লো অ্যালগরিদমে রূপান্তর করা যায়।

— সোসোশি ইতো

Answer 1

বহুপদী পরিচয় পরীক্ষাটি একটি এলোমেলোভাবে বহু বহু সময়ের অ্যালগরিদমকে স্বীকার করে ( শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমা দেখুন ) এবং বর্তমানে আমাদের পক্ষে একটি নির্বাহী বহুবর্ষের সময় বা এমনকি একটি উপ-এক্সপোশনিয়াল সময় অ্যালগরিদম নেই।

গেম ট্রি মূল্যায়ন প্রতিটি 0/1 মান সংরক্ষণ করে লিফ নোডসহ একটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছ বিবেচনা করুন। অভ্যন্তরীণ নোডগুলিতে বিকল্প স্তরে OR / AND গেট থাকে। এটা তোলে প্রতিদ্বন্দ্বী যুক্তি ব্যবহার যে প্রতি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম পরীক্ষা করতে হবে প্রমানিত হতে পারে Ω ( ঢ ) সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে গাছের পাতা নোড। তবে একটি সাধারণ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম রয়েছে যা হে ( এন 0.793 ) চলমান সময় প্রত্যাশিত গ্রহণকরে আলোচনার 14-27 স্লাইডগুলি দেখুন।$n$$\Omega{(n)}$$O(n^{0.793})$

হাইপারকিউবে আপত্তিজনক রাউটিং এন = 2 এন শীর্ষকোষযুক্ত মাত্রায় একটি ঘনক্ষেত্র বিবেচনা করুন। প্রতিটি প্রান্তে ডেটার একটি প্যাকেট এবং একটি গন্তব্য থাকে যা এটি শেষ পর্যন্ত প্যাকেটটি সরবরাহ করতে চায়। সমস্ত প্যাকেটের গন্তব্য আলাদা। এমনকি এটির জন্যও, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে কোনও নির্বিচারবাদী রাউটিং কৌশল Ω ( √) নেবে$n$$N=2^n$পদক্ষেপ। তবে, একটি সাধারণ এলোমেলো কৌশল রয়েছে যাউচ্চ সম্ভাবনার সাথেপ্রত্যাশিতও(এন)পদক্ষেপেশেষ করবে।$\Omega{\big(\sqrt{\frac{N}{n}}\big)}$ $O(n)$

লক্ষ্য করুন এলোমেলোভাবে আলগোরিদিম, প্রত্যাশিত খরচ উচ্চ সম্ভাবনা সঙ্গে (যেমন জন্য যেমন। পি দ [ এফ ( এন ) > 10 ⋅ ই ( এফ ( এন ) ) ] < $E(F(n))$ ) বাস্তবে সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সমতুল্য।$Pr[F(n) > 10 \cdot E(F(n))] < \frac{1}{n^2}$

Comments

এছাড়াও, , B এবং C ম্যাট্রিকের জন্য পরীক্ষা করা বিবেচনা করুন যদি A B = C হয় । আমরা বর্তমানে কোনও ও ( 2 2.3 ) অ্যালগরিদম জানি না, আমরা একটি এলোমেলোভাবে ও ( এন 2 ) অ্যালগরিদম জানি। মুল বক্তব্যটি হ'ল এমন কোনও সমস্যা আছে যার জন্য আমরা প্রমাণ করতে পারি যে এলোমেলোড অ্যালগরিদমগুলি আরও ভাল? $A$$B$$C$$A B = C$$o(2^{2.3})$$O(n^2)$

— aelguindy

@Aelguindy আমি আপনার বক্তব্য পেয়েছি তবে, পিআইটি-র জন্য সর্বাধিক পরিচিত নির্ধারক অ্যালগরিদম হ'ল घाताষ্টীয়। এবং, তাত্ত্বিক সিএসে ডিআরেন্ডমাইজিং পিআইটি একটি গুরুত্বপূর্ণ উন্মুক্ত সমস্যা।

— রিজওয়ানহদ্দা

আমি পোস্টে গেম ট্রি মূল্যায়ন এবং হাইপারকিউব রাউটিং যুক্ত করেছি, যার জন্য এলোমেলোনাযুক্ত অ্যালগরিদমগুলি নির্ধারক অংশগুলির তুলনায় সম্ভবত আরও ভাল করে।

— রিজওয়ানহদ্দা

ঠিক আছে, গেম ট্রি মূল্যায়নের জন্য, যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে এটি প্রত্যাশিত , তাই না? আমি বলতে চাইছি এমন কেস রয়েছে যেখানে এটি Ω ( n ) এ চলবে । তৃতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রেও কি এটি ঘটে? আমি উন্নত প্রত্যাশিত সময়ের জন্য অনুমতি দিচ্ছি না, আমি আরও ভাল খারাপ জটিলতা খুঁজছি, আউটপুটটিতে অনুমোদিত ত্রুটি। $O(n^{0.793})$$\Omega(n)$

— aelguindy

সুতরাং তারা সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ভাল হয় না। উদাহরণগুলির যতটুকু প্রশংসা করি, আমি ভয় করি যে এটি আমি যা খুঁজছি ঠিক তা নয়। উদাহরণগুলি যদিও খুব জ্ঞানী ছিল!

— aelguindy

Answer 2

সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তদন্ত করা এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদমের জন্য অর্থহীন। সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে রানটাইমটি প্রায়শই অসীম হতে পারে তা নয় তবে তারা সেই মেট্রিকের ডিটারিনিস্টিক অ্যালগরিদমকেও ছাড়িয়ে যেতে পারে না ।

যেকোন র্যান্ডমাইজড আলগোরিদিম বিবেচনা করুন । একটি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম প্রাপ্ত বি জন্য র্যান্ডম টেপ ফিক্সিং দ্বারা একটি থেকে 0 ∞ । তারপর, টি বি ( এন ) ≤ টি একটি ( এন ) সবার জন্য এন ।$A$$B$$A$$0^\infty$$T_B(n) \leq T_A(n)$$n$

Answer 3

অনেকগুলি সমস্যা আছে যেখানে আমরা একটি দক্ষ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম জানি এবং আমরা কার্যকর প্রমাণ করতে পারি এমন কোনও ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদম জানি না। যাইহোক, এটি কোনও মৌলিক পার্থক্যের চেয়ে জটিলতা সম্পর্কে জিনিস প্রমাণ করার আমাদের ক্ষমতাকে দুর্বল করে reflect

আপনার মন্তব্যের উপর ভিত্তি করে , এটি প্রদর্শিত হয়েছে যেখানে আপনি জিজ্ঞাসা করতে চেয়েছিলেন যেখানে কোনও দক্ষ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম রয়েছে সেখানে কোনও সমস্যা আছে কিনা এবং আমরা প্রমাণ করতে পারি যে তুলনীয় দক্ষতার কোনও নির্ধারক অ্যালগরিদম নেই। আমি এ জাতীয় কোনও সমস্যা জানি না।

প্রকৃতপক্ষে, সন্দেহ করার যুক্তিসঙ্গত কারণ রয়েছে যে এই জাতীয় সমস্যাগুলির সম্ভাবনা কমই থাকতে পারে। তাত্পর্যপূর্ণভাবে, এই জাতীয় সমস্যার অস্তিত্ব সম্ভবত সম্ভবত নিরাপদ ক্রিপ্টোগ্রাফি অসম্ভব বলে মনে করবে। এটি একটি বরং দুর্নীতির পরিণতির মতো বলে মনে হচ্ছে।

কি সংযোগ, আপনি জিজ্ঞাসা? ওয়েল, কোন এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদম বিবেচনা যে সমাধান কিছু সমস্যা দক্ষতার। এটি এলোমেলো মুদ্রার উপর নির্ভর করে: একটি সত্য-এলোমেলো উত্স থেকে প্রাপ্ত এলোমেলো বিট। এখন ধরা যাক আমরা একটি ক্রিপ্টোগ্রাফিক মানের সিউডোর্যান্ডম জেনারেটর নিই এবং সিউডোর্যান্ডম জেনারেটরের আউটপুট দিয়ে সত্য-র্যান্ডম উত্সটি প্রতিস্থাপন করি। ফলে অ্যালগরিদম কল একটি ' । লক্ষ্য করুন একটি ' একটি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম এবং তার চলমান সময় প্রায় হিসাবে একই একজন ।$A$$A'$$A'$$A$

এছাড়াও, যদি ক্রিপ্টোগ্রাফিক PRNG নিরাপদ, heuristically আমরা আশা করতে একটি ভাল অ্যালগরিদম হতে যদি একটি হল:$A'$$A$

• উদাহরণস্বরূপ, যদি লাস ভেগাস অ্যালগরিদম হয় (এটি সর্বদা সঠিক উত্তর দেয় এবং উচ্চ সম্ভাবনার সাথে দ্রুত সমাপ্ত হয়), তবে এ ′ একটি দুর্দান্ত উত্তম ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম হবে (সর্বদা সঠিক উত্তরকে আউটপুট দেয় এবং বেশিরভাগ ইনপুটগুলির জন্য দ্রুত সমাপ্ত হয়) ।$A$$A'$

• অন্য উদাহরণ হিসাবে, যদি হ'ল মন্টি কার্লো অ্যালগরিদম (ডিটারনিস্টিক চলমান সময়, এবং কমপক্ষে 1 - ε এর সম্ভাব্যতার সাথে সঠিক উত্তরটি আউটপুট করে ), তবে এ হবে একটি খুব ভাল ডিটারমিনিটিক অ্যালগরিদম (ডিটারমিনিস্টিক চলমান সময়, এবং সঠিক উত্তরকে আউটপুট করবে) ভগ্নাংশে 1 - in সমস্ত ইনপুট)$A'$$1-\varepsilon$$A$$1-\varepsilon$

সুতরাং, যদি ক্রিপ্টোগ্রাফিক পিআরএনজি সুরক্ষিত থাকে এবং একটি দক্ষ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম থাকে তবে আপনি একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম পাবেন যা বেশ ভাল। এখন ক্রিপ্টোগ্রাফিক পিআরএনজিগুলির অনেকগুলি নির্মাণ রয়েছে যা নির্দিষ্ট ক্রিপ্টোগ্রাফিক অনুমানগুলি ধরে রাখলে সুরক্ষিত হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। বাস্তবে, এই ক্রিপ্টোগ্রাফিক অনুমানগুলি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয়: কমপক্ষে, নিরাপদ বাণিজ্য এবং লেনদেনগুলি তাদের সত্য হওয়ার উপর নির্ভর করে, তাই আমরা স্পষ্টতই বিপুল পরিমাণ অর্থ ব্যয় করতে আগ্রহী যে সুরক্ষিত ক্রিপ্টোগ্রাফি বিদ্যমান। এই রূপান্তরটি ব্যর্থ হওয়ার একমাত্র উপায় হ'ল যদি ক্রিপ্টোগ্রাফিক পিআরএনজি উপস্থিত না থাকে, যার ফলে বোঝা যায় সুরক্ষিত ক্রিপ্টোগ্রাফি অসম্ভব। যদিও আমাদের কাছে এমন কোনও প্রমাণ নেই যা এই ঘটনা নয়, এটি একটি অপ্রত্যাশিত ফলাফল বলে মনে হয়।

নির্মাণের বিশদ: এখানে দেখুন কাজ করে। ইনপুট এক্স , এটি একটি ফাংশন হিসাবে ক্রিপ্টোগ্রাফিক PRNG জন্য একটি বীজ আহরিত এক্স (যেমন, দ্বারা হ্যাশ এক্স ), এবং তারপর simulates একজন ( এক্স ) , জন্য কয়েন হিসাবে ক্রিপ্টোগ্রাফিক PRNG আউটপুট ব্যবহার একটি । উদাহরণস্বরূপ, একজন নির্দিষ্ট ইনস্ট্যান্স সেট হবে ট = ভিন্ন ধরনের SHA256 ( এক্স ) , তারপর ব্যবহার ট কাউন্টার মোডে AES256 জন্য বীজ, অথবা অন্য ক্রিপ্টোগ্রাফিক PRNG হিসাবে। আমরা উপরোক্ত বিবৃতিগুলি এলোমেলো ওরাকল মডেলের অধীনে প্রমাণ করতে পারি।$A'$$x$$x$$x$$A(x)$$A$$k=\text{SHA256}(x)$$k$

আপনি যদি ধারণা যে সাথে এসেছেন অসুখী যথাসাধ্য আউটপুট ইনপুট কিছু ছোট ভগ্নাংশ ভুল ফলাফল, যে সুরাহা করা যেতে পারে। আপনি যদি A ′ একাধিকবার পুনরাবৃত্তি করেন এবং সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট গ্রহণ করেন, ত্রুটির সম্ভাবনা পুনরাবৃত্তির সংখ্যায় দ্রুত দ্রুত হ্রাস পায়। সুতরাং, সময়ের একটি ধ্রুবক সংখ্যা iterating মাধ্যমে আপনি ত্রুটি সম্ভাব্যতা পেতে পারেন ε নিচে হতে 1 / 2 256 , যা সম্ভাবনা মানে হল আপনি জুড়ে একটি ইনপুট চালানো $A'$$A'$$\varepsilon$$1/2^{256}$$x$অ্যালগোরিদম যেখানে ভুল উত্তর দেয়, তা অদৃশ্যভাবে ছোট (একটানা একাধিকবার বাজ পড়ার সম্ভাবনার চেয়ে কম)। অধিকন্তু, নির্মাণ সঙ্গে আমি উপরের, সম্ভাবনা শত্রু এমনকি করতে পারেন দিয়েছেন এটি একটি ইনপুট যেখানে একজন ' , দেয় যেমন ভিন্ন ধরনের SHA256 হ্যাশ নিরাপত্তা ভঙ্গ করতে হবে ভুল উত্তর খুব ছোট করা যেতে পারে। (প্রযুক্তিগত ভাবে, এই ন্যায্যতা র্যান্ডম ওরাকল মডেল প্রয়োজন, তাই এটি এর মানে হল যে একজন ভিন্ন ধরনের SHA256 এর "স্বাধীন" এবং এটা গণনার যে ভিন্ন ধরনের SHA256 সাথে সম্পর্কিত হয় মধ্যে হার্ডকোড, প্রায় সমস্ত বাস্তব জগতের আলগোরিদিম যা প্রয়োজনীয়তা সন্তুষ্ট হবে জন্য চয়ন করা আবশ্যক ।)$x$$A'$$A$

আপনি যদি একটি শক্তিশালী তাত্ত্বিক ভিত্তি চান, আপনি পুনরুক্তি করতে পারেন Θ ( এন ) গুণ, এবং পেতে ত্রুটি সম্ভাব্যতা নিচে হতে 1 / 2 এন , যেখানে n হল ইনপুটের দৈর্ঘ্য হল এক্স ভুল: একটি ' সমস্ত ইনপুট উপর সঠিক , এবং এটি নিঃশর্তভাবে ধরে রেখেছে। যদি $A$ $\Theta(n)$$1/2^n$$n$$x$ । এখন ভগ্নাংশ -বিট ইনপুট যেখানে একটি ' একটি ভুল উত্তর দেয় কঠোরভাবে চেয়ে কম হয় 1 / 2 এন । কিন্তু শুধুমাত্র 2 এন সম্ভব এন -বিট ইনপুট, এবং প্রতিটি এক একটি পারেন সঠিক বা ভুল, তাই এটি অনুসরণ করে কোন ইনপুট আছে যেখানে একজন $n$$A'$$1/2^n$$2^n$$n$$A$$A'$$A'$$A$ সময় সঞ্চালিত , তারপর একটি ' সময় রান Θ ( এন ⋅ টি ( এন ) ) , তাই একটি ' একটু তুলনায় ধীর হয় একটি কিন্তু অত্যধিক ধীর। এটি পি / পলিতে বিপিপি রয়েছে তা অ্যাডলম্যানের প্রমাণের বিষয়বস্তু। ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে এটি সম্ভবত ওভারকিল, তবে আপনি যদি এমন পরিষ্কার প্রমাণ পছন্দ করেন যা ক্রিপ্টোগ্রাফিক অনুমানগুলি এড়ায় বা আপনি যদি কোনও তাত্ত্বিকের দৃষ্টিকোণ থেকে এটি নিয়ে যান তবে আপনি এই সংস্করণটি আরও ভাল পছন্দ করতে পারেন।$t(n)$$A'$$\Theta(n \cdot t(n))$$A'$$A$

পরবর্তী তাত্ত্বিক বিবেচনা এবং অতিরিক্ত সমস্যার বিষয়ে আরও তথ্যের জন্য যেখানে আমরা একটি দক্ষ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম জানি কিন্তু আমরা প্রমাণ করতে পারি যে কোনও দক্ষতা সংক্রান্ত অ্যালগরিদম আমরা জানি না দক্ষ, দেখুন /cstheory//q/31195 / 5038

সংক্ষিপ্তসার: যে কোনও সমস্যার জন্য আমরা একটি দক্ষ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম জানি, সেখানে আমরা একটি নির্মাতিক অ্যালগরিদমও জানি যা অনুশীলনে দক্ষ বলে মনে হয় - তবে বর্তমানে আমরা কীভাবে এটি কার্যকর তা প্রমাণ করতে জানি না । একটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা হ'ল আমরা অ্যালগরিদমগুলি সম্পর্কে স্টাফ প্রমান করার পক্ষে খুব ভাল নই।