প্রেসবার্গের পাটিগণিতের দ্বিগুণ ঘনঘন জটিলতার প্রমাণ হিসাবে ব্যবহৃত কৌশল trick

Question

আমি এটি ম্যাথউন্ডারফ্লোতে পোস্ট করেছি তবে কোনও উত্তর পাইনি, তাই ভেবেছিলাম আমি এটি এখানে চেষ্টা করব,

আমি রবিন এবং ফিশারের পুরাতন কাগজটি পড়ছি [যখন সম্ভব হবে তখন একটি লিঙ্ক পোস্ট করব] যেখানে অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যেও, প্রেসবার্গের গাণিতিকগুলির দ্বিগুণ ঘনঘন জটিলতা প্রমাণিত।

প্রমাণটি একটি সূত্রের অস্তিত্বের উপর নির্ভর করে $I_{n}(x)$ অনানুষ্ঠানিকভাবে জোর দেওয়া "$x < 2^{2^{kx+1}}$" সঙ্গে $|I_{n}| \in O(n)$। যদিও এই সূত্রটি নির্মাণের কাগজটিতে দেওয়া হয়নি, যা আমার পক্ষে অবাক করে দিয়েছিল যে এটি সম্ভবত অত্যন্ত অনানুষ্ঠানিকভাবে বিবেচনা করা হয়েছিল, সেই সীমাবদ্ধ এবং আমাদের কেবলমাত্র আমাদের নিষ্পত্তি যোগ করার পরেও! ¹

পরে আমি শিখেছি যে এই সূত্রটি নির্মাণ "ট্রিক" উপর নির্ভর করে যা পূর্বে ফিশার আবিষ্কার করেছিলেন, এবং স্বতন্ত্রভাবে ভলকার স্ট্র্যাসেন দ্বারা আবিষ্কার করেছিলেন, তবে আমি এই কৌশলটি বিশদ বর্ণনা করে কোনও কাগজ সন্ধান করতে সক্ষম হইনি!

সুতরাং যদি আমি যে কাগজটির বিষয়ে কথা বলছি সে সম্পর্কে যদি কেউ জানে এবং হয় আমাকে এটির দিকে নির্দেশ করে বা এমনকি আমার কাছে কৌশলটি বর্ণনা করতে পারে ...

লিপটনের ব্লগের এই পোস্টে কাগজের একটি লিঙ্ক রয়েছে এবং সেই সাথে উল্লেখ করা হয়েছে [এবং মোটামুটি, দুর্ভাগ্যক্রমে আমার পক্ষে অপর্যাপ্ত প্রদান করে,] এর কৌশলটি লিখেছেন, বিটিডব্লিউ।

¹ আমি জানি যে এটি একটি অস্পষ্ট বর্ণনা। যদিও, একটি এসএক্স পোস্টের জন্য যথেষ্ট বিশদ বিবরণ অনেক দীর্ঘ হবে, সুতরাং আমি কেবল আশা করি যে ইতিমধ্যে প্রশ্নে থাকা কাগজ সম্পর্কে জানে এমন কেউ - এবং এইভাবে এই সংক্ষিপ্ত স্কেচটি করতে পারে - এটির মধ্যে বাধা দেয় এবং আমাকে সহায়তা করতে সক্ষম ।

Comments

এর মধ্যে সম্পর্ক কী $n$ এবং $k$? বা এটি হওয়া উচিত$2^{2^{nx+1}}$?

— শাল

আপনি ফিশার এবং রবিন কাগজটি এখানে ডাউনলোড করতে পারেন ।

— মার্টিন বার্গার

কাগজটিতে নির্মাণের ব্যবস্থা দেওয়া হয়েছে: 14-15 পৃষ্ঠায় উপপাদ্য 8 (আসল বিবৃতি পৃষ্ঠায় 16 টি 9) ol

— যুবাল ফিল্মাস

Answer 1

মার্টিনের মন্তব্য (এবং ইউভালের ফলোআপ) রেফারেন্স দেয় যা নির্মাণ সম্পর্কে কিছু বিশদে ব্যাখ্যা করে।

আমি কিছুটা বিশদভাবে বর্ণনা করব কারণ আমি মনে করি এটি একটি দৃষ্টিনন্দন প্রমাণ: মূলত এটি পিএর অনিবার্যতার ("সংযোজন এবং গুণন সহ পাটিগণিত)" স্বাভাবিক "প্রমাণ সম্পাদন করে তবে এর সাথে সম্পর্কিত$2^{2^{c\cdot n}}$! এটি হ'ল একটি (সংক্ষিপ্ত) সূত্র রয়েছে যা সেই সংখ্যা পর্যন্ত গুণকে প্রকাশ করে, অর্থাৎ একটি সূত্র$M_n(x,y,z)$ যেমন যে

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

এখন আপনি নির্মাণ $M_n$ প্রবর্তন দ্বারা $n$, একটি গুরুত্বপূর্ণ কৌশল যা মেট্রিক্স গুণনের জন্য বাইনারি সংখ্যা বা নির্দিষ্ট কৌশলগুলি গুণনের জন্য করাতসুবা অ্যালগরিদমকে স্মরণ করিয়ে দেয় :

সংজ্ঞা জন্য $M_{n+1}(x,y,z)$ আপনি ফর্ম একত্রিত করে শেষ

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

তবে আপনি এটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

এই কৌশলটি ক্ষতিকারকটির পরিবর্তে আকারের রৈখিক বৃদ্ধির অনুমতি দেয় (এর ফাংশন হিসাবে) $n$)।

এতে আরও কয়েকটি কৌশল জড়িত রয়েছে, তবে এটিই মূল। পুনরাবৃত্তির অভ্যন্তরীণগুলি অবশ্যই গুরুত্বপূর্ণ, তবে করাতসুবা ট্রিকের সাথে মিলটি সত্যিই বেশ আকর্ষণীয়।

Comments

কিছু প্রমাণ থেকে কোয়ান্টিফায়ার ট্রিক চিনতে পারে $PSPACE=NPSPACE$।

— অ্যারিয়েল