নির্ধারক এবং স্থায়ী জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধ

Question

গভীরতা -3 ফলাফলের সাম্প্রতিক কাস্মের আলোকে (যা অন্যান্য জিনিসের মধ্যে একটি গভীরতা -3 গাণিতিক সার্কিটের জন্য নির্ণায়ক over ), আমি নিচের প্রশ্নগুলোর আছে: Grigoriev এবং Karpinski প্রমাণিত একটি কোনো গভীরতা -3 গাণিতিক বর্তনী কম্পিউটিং এর নির্ণায়কের জন্য আবদ্ধ নিম্ন সসীম ক্ষেত্র ওভার ম্যাট্রিক্স (যা আমি অনুমান, এছাড়াও স্থায়ী জন্য ধারনা করে)। স্থায়ী গণনার জন্য রাইসারের সূত্রটি আকার a এর গভীরতার -3 পাটিগণিত সার্কিট দেয়n×nসি2Ω(এন)n×nও(এন22এন)=2ও(এন$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$। এটি দেখায় যে চূড়ান্ত ক্ষেত্রের ওপরে স্থায়ীদের জন্য গভীরতা -3 সার্কিটের জন্য ফলাফলটি মূলত শক্ত tight আমার দুটি প্রশ্ন আছে:

1) স্থায়ীত্বের জন্য রাইজারের সূত্র অনুসারে নির্ধারক অনুসারে কি কোনও গভীরতা -৩ সূত্র রয়েছে?

2) ডিটারমিন্যান্ট বহুবর্ষীয় \ টেক্সটাইট {সবসময় গণনা করে গাণিতিক সার্কিটের আকারের উপর একটি নিম্ন সীমানা স্থায়ী বহুপদী জন্য নিম্ন সীমানা প্রদান করে? ( একই পলিনোমিয়াল হয়)।$\mathbb{F}_2$

যদিও আমার প্রশ্নটি কৌতূহলীভাবে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে এই বহুবচন সম্পর্কিত, তবে আমি স্বেচ্ছাসেবী ক্ষেত্রে এই প্রশ্নগুলির স্থিতিও জানতে চাই।

Comments

এটি আকর্ষণীয় .... সম্প্রতি ( eccc.hpi-web.de/report/2013/026 ) একটি উপরের আবদ্ধ জটিল সংখ্যার উপর প্রমাণিত হয়েছে। তাই বৈশিষ্ট্যযুক্ত শূন্য এবং সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে একরকম বিশাল পার্থক্য রয়েছে ...$2^{O(n^{1/2}\log n})$

— রায়ান উইলিয়ামস

আমার নতুন ফলাফলটি উল্লেখ করা উচিত ছিল। আমি কাগজটি পড়ছিলাম এবং আমি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে পরিচিত ফলাফল থেকে অনুমান করা যেতে পারে তা জানতে চেয়েছিলাম। কাগজ অন্তর্ভুক্ত করতে প্রশ্ন আপডেট করবেন।

— নিখিল

চরিত্রগত শূন্যের ক্ষেত্রগুলিতে গভীরতা 3 সার্কিটের ক্ষেত্রে নির্ধারক / স্থায়ী হিসাবে পরিচিত / নীচের কোন সীমানা রয়েছে?

— গোরভ জিন্দাল

চরিত্রগত শূন্য ধরে, আমি যতদূর জানি, সেরা নিম্ন মুখী হয় প্রাথমিক প্রতিসম ফাংশন (এবং নির্ধারক বহুপদী) জন্য Shpilka এবং Wigderson কারণে। চেক cs.technion.ac.il/~shpilka/publications/...$\Omega(n^2)$

— নিখিল

Answer 1

চরিত্রগত নয় এমন কোনও ক্ষেত্রের পি-অনুমানের আওতায় স্থায়ী VNP এর জন্য সম্পূর্ণ This এটি আপনার দ্বিতীয় প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর সরবরাহ করে। যদি এই হ্রাসটি লিনিয়ার হয়, তবে এটি আপনার প্রথম প্রশ্নের সদর্থক উত্তর দেবে, তবে আমি বিশ্বাস করি যে এটি উন্মুক্ত রয়েছে।

আরও বিশদে: কিছু পলিনোমিয়াল যেমন হল এর একটি প্রক্ষেপণ , অর্থাত প্রতিটি ভেরিয়েবল হয় একটি ভেরিয়েবলের প্রেরণে একটি নির্দিষ্ট বিকল্প রয়েছে বা একটি ধ্রুবক যেমন এই প্রতিস্থাপনের পরে স্থায়ী নির্ধারক গণনা করছে ।d e t n ( X ) p e r m q ( n ) ( Y ) y i j x k ℓ q ( n ) × q ( n ) n × $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$$n \times n$

1) সুতরাং রাইজারের সূত্রটি গভীরতা 3 সূত্র দেয় (অনুমানের অধীনে গভীরতা বৃদ্ধি পায় না কারণ নির্ধারক জন্য size আকারের বিকল্পগুলি ইনপুট গেটগুলিতে করা যেতে পারে । আপডেট : @ রামপ্রসাদ মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করেছেন যে, কেবলমাত্র অযৌক্তিক কিছু দেয় , যেহেতু একটি আকারের তুচ্ছ গভীরতা 2 size । ডিট জন্য। আমি রামপ্রসাদের সাথে আছি যে আমি সবচেয়ে ভাল জানি যা হ'ল এবিপিগুলির মাধ্যমে হ্রাস, যা । কিউ ( এন ) = ও ( এন লগ এন ) এন ⋅ n ! = 2 ও ( এন লগ এন ) কিউ ( এন ) = ও ( এন 3$2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$$q(n)=O(n^3)$

2) যদি স্থায়ী গণনা করা যায় - আবার কিছু বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রের উপর না 2 - আকারের একটি সার্কিট দ্বারা , তবে নির্ণায়ককে আকার একটি সার্কিট দ্বারা গণনা করা যেতে পারে । সুতরাং জন্য সার্কিট-আকারের নীচের একটি সীমানা স্থায়ী (যে বিপরীত , নয়, সার্কিট-আকারের নীচে একটি নিম্ন সীমা প্রদান করে )। উপরের বর্ণিত একটি পার্ম নিম্ন খাঁটি একটি থেকে নীচের দিকে আবদ্ধ।s ( m ) n × n s ( q ( n ) ) b ( n ) d e t n b ( q - 1 ( n ) ) q 1 / q ( n ) q ( n ) = O ( n 3) ) খ ( এন 1 / 3 ) খ ( $m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Comments

কেবল এটিই উল্লেখ করতে চাই যে নির্ধারকটি বহুপদীভাবে বৃহত্তর স্থায়ীরূপে একটি প্রক্ষেপণ হওয়ায় যথেষ্ট ফলন হয় না। অবশ্যই নির্ধারক একটি তুচ্ছআকারের সার্কিট। এমনকি এমনকি দেখানো হচ্ছে যে নির্ধারক একটি স্থায়ী হিসাবে একটি প্রজেকশন রাইসার সূত্রের মাধ্যমে অ-তুচ্ছ কিছু উপস্থাপন করে না। আমার অনুমান, আপনার প্রমাণের কৌশলটির জন্য, একজনকে , তবে সাধারণ হ্রাস থেকে কীভাবে এটি পাবেন তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আফাইক, -এর চেয়ে গভীরতা -3 সার্কিট অ্যাসিপটোটিক্যালি ছোটসীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলি ওভার নির্ধারকের জন্য পরিচিত। n × n n 2 × n 2 q ( n ) = ও ( এন ) এন $n!$$n\times n$$n^2\times n^2$$q(n) = O(n)$$n!$

— রামপ্রসাদ

@ রামপ্রসাদ: স্বেচ্ছাসেবী ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে সাধারণ ক্ষেত্রে জন্য এর একটি প্রস্তাব আছে ? সুতরাং গভীরতা -3 এ হ্রাস বাস্তবায়ন বাধা - এটি কি আপনি বোঝাতে চাইছেন? পি ই আর এম ও ( এন $DET_n$$PERM_{O(n)}$

— নিখিল

@ নিখিল: এমন কোনও প্রক্ষেপণ আছে ?! যদি এটি সত্য হয় তবে অবশ্যই রাইজারের সূত্রটি ব্যবহার করে নির্ধারকটির জন্য অবশ্যই তাত্ক্ষণিকভাবে গভীরতা -3 সার্কিট থাকব (যা অগভীর-গভীরতার -3 ফলাফলের আগে জানা ছিল না) )। আমার জানা একমাত্র হ্রাস হ'ল নির্ধারক (যেটি হ'ল আকারযুক্ত) এর জন্য এবিপি নেওয়া এবং এটি কোনও আকারের স্থায়ী হিসাবে অভ্যাস হিসাবে লিখুন । আমি আকারের স্থায়ী হোল্ডগুলি হ্রাস পেয়ে খুব অবাক হব । ও ( এন 3 ) ও ( এন 3 ) ও ( এন $2^{O(n)}$$O(n^3)$$O(n^3)$$O(n)$

— রামপ্রসাদ

আমি নিখুঁতভাবে নিশ্চিত যে নিবন্ধে এটি টাইপো / ত্রুটি (তবে আমি যদিও মণিন্দ্রার সাথে পরীক্ষা করব)। ভ্যালিয়েন্টের th০ তম জন্মদিন উদযাপনের সময় আভি উইগডারসনের আলাপ (পিপিটি) এমন এক স্থান যেখানে বলা হয়েছিল যে উন্নতি হবেনির্ধারকের গভীরতা -3 জটিলতার জন্য অজানা ছিল। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির ওপরে গভীরতা -3 সার্কিটগুলি একটি কৌতূহলের উদাহরণ যেখানে স্থায়ী জন্য সর্বোত্তম উপরের বাউন্ড নির্ধারকের চেয়ে ছোট হয়! $n!$

— রামপ্রসাদ

আসুন আমরা এই আলোচনাটি এই আড্ডায় অব্যাহত

— রাখি

Answer 2

এটি খুব সম্ভব যে নির্ধারকটি এক উপায়ে স্থায়ী থেকে কঠিন। এগুলি উভয়ই বহুবচন, স্থায়ীত্বের ওয়ারিং র্যাঙ্ক (লিনিয়ার ফর্মগুলির n শক্তির সংখ্যার পরিমাণ) প্রায় 4 ^ n, চৌ চৌংক (লিনিয়ার ফর্মগুলির সংখ্যার যোগফল) প্রায় 2। N। স্পষ্টতই, ওয়ারিং র‌্যাঙ্ক \ লেক 2 {{n-1} চৌ র‌্যাঙ্ক। নির্ধারকের জন্য, এই সংখ্যাগুলি কেবলমাত্র নিম্ন সীমানা। অন্যদিকে, আমি কিছুক্ষণ আগে প্রমাণ করেছি যে নির্ধারকের ওয়ারিং র‌্যাঙ্কটি (এন + 1) দ্বারা উপরের দিকে আবদ্ধ হয়! এবং এটি সত্যের কাছাকাছি হতে পারে।

Comments

আমি বিজ্ঞাপনটি সরিয়েছি।

— জেফি

আপনি কি প্রমাণের জন্য রেফারেন্স দিতে পারেন?

— কাভেহ