নির্ণয়কারী এবং ম্যাট্রিক্সের গুণ - আলগোরিদিমিক জটিলতা এবং গাণিতিক সার্কিটের আকারের মধ্যে মিল এবং পার্থক্য

আমি অ্যালগরিদমিক জটিলতা এবং নির্ধারকগুলির সার্কিট জটিলতার এবং ম্যাট্রিক্স গুণণের মধ্যে সম্পর্ক বোঝার চেষ্টা করছি।

জানা যায় একটি এর নির্ধারক ম্যাট্রিক্স যাবে নির্ণিত মধ্যে সময়, যেখানে ন্যূনতম সময় কোন দুটি গুন করা প্রয়োজন হয় ম্যাট্রিক্স। এছাড়া জানা যায় নির্ধারণকারী শ্রেষ্ঠ বর্তনী জটিলতা হয় বহুপদী গভীরতায় এবং সূচকীয় $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$ গভীরতায় 3.. তবে ম্যাট্রিক্স গুণনের সার্কিট জটিলতা, যে কোনও ধ্রুবক গভীরতার জন্য, এটি কেবল বহুপদী।

নির্ধারক এবং ম্যাট্রিক্স গুণনের ক্ষেত্রে সার্কিট জটিলতায় কেন পার্থক্য রয়েছে যখন জানা যায় যে একটি অ্যালগরিদম দৃষ্টিকোণ থেকে নির্ধারক গণনা ম্যাট্রিক্স গুণণের অনুরূপ ? বিশেষত, কেন সার্কিট জটিলতার গভীরতা তাত্পর্যপূর্ণ ব্যবধান থাকে ? $3$

সম্ভবত, ব্যাখ্যাটি সহজ তবে আমি এটি দেখতে পাচ্ছি না। 'কঠোরতা' নিয়ে কোনও ব্যাখ্যা আছে কি?

এছাড়াও দেখুন: নির্ধারকটির জন্য ক্ষুদ্রতম পরিচিত সূত্র

— টি ....
সূত্র

উত্তর:

বিভিন্ন ছোট জটিল শ্রেণীর জন্য সার্কিট মান সমস্যা এবং বুলিয়ান সূত্র মূল্যায়ন বিবেচনা করুন। এগুলির নির্ধারিত ক্রমগত জটিলতা আমাদের জানা হিসাবে একই, তবুও তারা সার্কিট জটিলতার দৃষ্টিকোণ থেকে খুব আলাদা। একটি মডেলের এক বিশেষ ধরণের সংস্থার মধ্যে সাদৃশ্য অন্যান্য মডেলগুলির অন্যান্য সংস্থার জন্য সাদৃশ্য বোঝায় না। একটি সমস্যা এমন হতে পারে যে আমরা একটির জন্য সমান্তরাল গণনা কাজে লাগাতে পারি যখন আমরা অন্য একজনের জন্য এটি করতে পারি না, তবুও তাদের ক্রমিক সময় জটিলতা একই হতে পারে।

মডেল এবং বিভিন্ন সংস্থান জুড়ে দুটি সমস্যার জটিলতার মধ্যে আমরা কখন আরও দৃ relation় সম্পর্ক আশা করতে পারি? যখন তারা উভয় দিকের মধ্যে শক্তিশালী হ্রাস হয় যা সেই মডেলগুলির সংস্থানগুলিকে সম্মান করে।

$\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— Kaveh
সূত্র

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

আমি আপাতত কেবল ক্রমিক জটিলতার দিকে তাকিয়ে আছি।

— টি ....

আমি আপনার মন্তব্যটি অনুসরণ করি কিনা তা নিশ্চিত নই। আমি মনে করি আমার পোস্টটি বুলিয়ান সেটিংয়ে প্রশ্নের উত্তর দেয় (প্রশ্নটি গাণিতিক সার্কিটগুলি মূলত আইআইআরসি উল্লেখ করে না)। পাটিগণিত সার্কিট সেটিংয়ের জন্য আমি বেশি কিছু জানি না, আশা করি অন্যরাও প্রশ্নের উত্তর দেবেন।

— কাভেহ

আমি বলব পাটিগণিতের সেটিংসের ব্যবধানটি আমাদের বলে যে ম্যাট্রিক্সের গুণটি নির্ধারকের চেয়ে সহজাতভাবে অনেক বেশি সমান্তরাল কাজ। অন্য কথায়, উভয় সমস্যার ক্রমিক জটিলগুলি যখন নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত, তাদের সমান্তরাল জটিলতা একে অপরের থেকে খুব কাছাকাছি নয়।

$D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— ব্রুনো
সূত্র

আমি জানি না যে এটি "সার্কিট জটিলতায় গভীরতা -৩ এ তাত্পর্যপূর্ণ ফাঁক কেন আছে?" এর একটি অন্বেষণকারী কিনা তবে কমপক্ষে আপনার কাছে এই সত্যটির প্রমাণ রয়েছে সিসানকি পত্র।

— ব্রুনো

যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে আপনি বোঝাচ্ছেন: বহুপাক্ষিক সংখ্যক প্রসেসরের জন্য একজনের লগারিদমিক গভীরতা প্রয়োজন?

— টি ....

সাসঙ্কির ব্যবহৃত সঠিক মডেলটি আমার মনে নেই। প্রকৃতপক্ষে, আমরা আজকাল সীমাবদ্ধ ফ্যান-ইন সহ পাটিগণিত সার্কিটগুলি কী বলে বিবেচনা করছি । সুতরাং নিম্ন সীমাটি বেশ তুচ্ছ এবং ম্যাট্রিক্স গুণনের সাথে আমার তুলনা প্রাসঙ্গিক নয়।

— ব্রুনো