পার্টিশন সংখ্যা বনাম নির্ধারণমূলক জটিলতা

পটভূমি:

যোগাযোগ জটিলতার স্বাভাবিক দ্বি-পক্ষীয় মডেলটি বিবেচনা করুন যেখানে অ্যালিস এবং ববকে বিট স্ট্রিং এবং এবং কিছু বুলিয়ান ফাংশন গণনা করতে হবে , যেখানে । $n$ $x$ $y$ $f(x,y)$ $f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

আমরা নিম্নলিখিত পরিমাণগুলি সংজ্ঞায়িত করি:

$D(f)$ (এর নির্ণায়ক যোগাযোগ জটিলতা ): বিট যে এলিস এবং বব প্রয়োজন গনা যোগাযোগ করতে নূন্যতম কত deterministically। $f$ $f(x,y)$

$Pn(f)$ (বিভাগের সংখ্যা ): লগারিদম একটি পার্টিশনে একরঙা আয়তক্ষেত্র ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (বেস 2) (বা একটি অসংলগ্ন করা কভার) এর । $f$ $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

একটি একরঙা আয়তক্ষেত্র একটি উপসেট যেমন যে একই মান লাগে (অর্থাত, একরঙা হয়) সব উপাদানে । $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ $R \times C$ $f$ $R \times C$

এছাড়াও নোট করুন যে পার্টিশন নম্বরটি "প্রোটোকল পার্টিশন নম্বর" থেকে পৃথক, যা এই প্রশ্নের বিষয় ছিল ।

আরও তথ্যের জন্য কুশিলিভিটস এবং নিসানের লেখাটি দেখুন। তাদের স্বরলিপিতে, আমি যা সংজ্ঞা দিয়েছি তা । $Pn(f)$ $\log_2 C^D(f)$

নোট : এই সংজ্ঞা সহজে অ বুলিয়ান ফাংশন সাধারণ করছে , যেখানে আউটপুট কিছু বড় সেট। $f$ $f$

জ্ঞাত ফলাফল:

এটি জানা যায় যে হ'ল উপর নীচে আবদ্ধ , অর্থাৎ সকলের জন্য (বুলিয়ান বা নন-বুলিয়ান) , । প্রকৃতপক্ষে, জন্য নিচের দিকে আবদ্ধ কৌশলগুলি (বা সম্ভবত সমস্ত? প্রকৃতপক্ষে নীচের দিকে আবদ্ধ । (কেউ কি নিশ্চিত করতে পারেন যে এটি নিম্ন স্তরের সমস্ত কৌশলগুলির ক্ষেত্রে সত্য?) $Pn(f)$ $D(f)$ $f$ $Pn(f) \leq D(f)$ $D(f)$ $Pn(f)$

এটি আরও জানা যায় যে এই সীমাটি প্রায় চতুর্থাংশ আলগা (বুলিয়ান বা নন-বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য), অর্থাৎ, । সংক্ষেপে বলতে গেলে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি জানি: $D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

এটি অনুমান করা হয় যে । (এটি কুশিলিভিৎস এবং নিসানের পাঠ্য দ্বারা টেক্সটটিতে 2.10 খোলার সমস্যা)) তবে আমার জ্ঞানের সর্বোপরি, বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য এই দুটিয়ের মধ্যে সর্বাধিক পরিচিত বিচ্ছেদটি কেবল 2 এর গুণক গুণক দ্বারা রয়েছে, যেমন "দ্য যোগাযোগের জটিলতায় লিনিয়ার-অ্যারে কনজেকচার ইজ মিথ্যা "ইয়াল কুশিলিভিৎস, নাথান লিনিয়াল, এবং রাফায়েল অস্ট্রভস্কির রচনা। $Pn(f) = \Theta(D(f))$

আরো সঠিকভাবে, তারা বুলিয়ান ফাংশন অসীম পরিবার প্রদর্শন , যেমন যে । $f$ $D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

প্রশ্ন:

নন-বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য এবং মধ্যে সর্বাধিক পরিচিত বিচ্ছেদ কোনটি ? এটি এখনও উপরে বর্ণিত ফ্যাক্টর -2 বিচ্ছেদ? $Pn(f)$ $D(f)$

ভি 2-এ যুক্ত হয়েছে : যেহেতু আমি এক সপ্তাহের মধ্যে উত্তর পাইনি, তাই আমি আংশিক উত্তর, অনুমান, শ্রবণশক্তি, উপাখ্যানাদি প্রমাণ ইত্যাদি শুনে খুশি

lower-bounds communication-complexity

— রবিন কোঠারি
সূত্র

আপনি কি সম্পর্কে নিশ্চিত ? জুকনার বইয়ের লেমা 3.8 কেবলমাত্র এবং কেএন কেবলমাত্র ।

D (f) \leq (P n (f))^{2}

$D(f) \le (Pn(f))^2$

D (f) \leq 2 (P n (f))^{2}

$D(f) \le 2(Pn(f))^2$

D (f) = O ((P n (f))^{2})

$D(f) = O((Pn(f))^2)$

— আন্দ্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেসালামন: আমি উপরের সীমানা সম্পর্কে বলার চেয়ে খুব বেশি যত্নবান ছিলাম না যেহেতু আমি নীচের সীমানার কাছাকাছি ফাংশনগুলি খুঁজছি, তবে আমি মনে করি অর্জনযোগ্য। ট্রয় লি এবং আদি শ্রাইবমান রচিত "যোগাযোগের জটিলতায় লোয়ার বাউন্ডস" এর উপপাদ্য 2.2 দেখুন।

(P n (f) + 1)^{2}

$(Pn(f)+1)^2$

— রবিন কোঠারি

যেহেতু , যেখানে জন্য একটি যোগাযোগ প্রোটোকল গাছে পাতার ক্ষুদ্রতম সংখ্যা , এটি একটি লোয়ার বাউন্ড নিয়ে আসা সম্ভব হতে পারে জন্য যে জন্য আবদ্ধ একটি নিম্ন টেকনিক্যালি নয় । যাইহোক, , যেহেতু এই ধরণের নিম্ন সীমাটি মূলত যথাযথ মানটির নিকটতম সান্নিধ্য স্থাপন করবে ।

P n (f) \leq \log L (f) \leq D (f)

$Pn(f) \le \log L(f) \le D(f)$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

\log L (f)

$\log L(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

D (f) \leq 3.4 \log L (f)

$D(f) \le 3.4\,\log L(f)$

D (f)

$D(f)$

— আন্দ্রেস সালামন

সম্পর্কিত উত্তরটিও

— আন্দ্রে সালামন

উত্তর:

এই প্রশ্নটি সবে সমাধান হয়েছে! যেমনটি আমি উল্লেখ করেছি, এটি জানা ছিল

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$ ,

তবে এটি দেখাতে একটি বড় উন্মুক্ত সমস্যা ছিল যে হয় হয় বা সেখানে কোনও ফাংশন রয়েছে যার জন্য । $Pn(f) = \Theta(D(f))$ $Pn(f) = o(D(f))$

কিছু দিন আগে এটি মিকা গস, টোনিন পিটাসি, টমাস ওয়াটসন ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ) সমাধান করেছিলেন। তারা দেন অস্তিত্ব আছে যে একটা ফাংশন যা সন্তুষ্ট $f$

$Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$ । ।

তারা এর একতরফা সংস্করণের জন্য একটি অনুকূল ফলাফল দেখাও , যা আমি দ্বারা বোঝাতে করব , যেখানে আপনি শুধুমাত্র আয়তক্ষেত্র সঙ্গে 1-ইনপুট আবরণ প্রয়োজন। এছাড়াও সন্তুষ্ট $Pn(f)$ $Pn_1(f)$ $Pn_1(f)$

$Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$ ,

এবং তারা দেখায় যে এই দুই ব্যবস্থা মধ্যে সম্ভাব্য সর্বোত্তম সম্পর্ক নেই যেহেতু তারা একটি ফাংশন প্রদর্শন যা সন্তুষ্ট $f$

$Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$ ।

— রবিন কোঠারি
সূত্র

এই সুন্দরভাবে প্রশ্ন জড়িয়ে!

— আন্দ্রেস সালামন

আপনি মন্তব্য করেছেন যে এর নিম্ন সীমাগুলি বিদ্যমান বিদ্যমান নিম্নতম বাউন্ড কৌশলগুলির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য লগ-র‌্যাঙ্কের অনুমানটি যতক্ষণ সত্য ততক্ষণ এটি সত্য বলে মনে হয়। তবে, বোকা সেট বাঁধার চেয়ে দ্রুততর বড় হতে পারে। $Pn(f)$ $Pn(f)$

নন-বুলিয়ান ক্ষেত্রে এবং কত পার্থক্য করতে পারে তা আমার কাছে পরিষ্কার নয় । $Pn(f)$ $D(f)$

বাকীগুলিতে আমি এই মন্তব্যগুলি আরও সুনির্দিষ্ট করি।

কেএন (তাদের 1997 এর পাঠ্যপুস্তকে কুশিলিভিটস এবং নিসান) বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য তিনটি মূল কৌশলটির রূপরেখা দিয়েছেন: একটি বোকা সেট আকার, একরঙা আয়তক্ষেত্রের আকার এবং যোগাযোগ ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক।

প্রথমে, বোকা সেট। একটি বোকা সেট একরঙা: some এর এমন কিছু রয়েছে যা এস every এর জন্য প্রতিটি । কিছু চূড়ান্ত প্যাচিংয়ের পরে অন্য রঙটি বিবেচনায় নেওয়া দরকার। এই অতিরিক্ত পদক্ষেপ এড়ানো যায়। যাক একটি ফাংশন হবে। স্বতন্ত্র উপাদান এক জোড়া হয় স্বাস্থ্যহীন বকা বানাতে জন্য যদি যে বোঝা পারেন বা । একটি সেট হ'ল $S$ $z \in \{0,1\}$ $f(x,y) = z$ $(x,y)\in S$ $f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$ $f$ $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$ $f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ $f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$ $S \subseteq X \times Y$ এর প্রতিটি স্বতন্ত্র জোড় দুর্বল বোকা বানানো হয় তবে জন্য দুর্বল বোকা সেট । কে.এন. ১.২০ এর প্রমাণের পরে স্পষ্টতই বলেছেন যে একটি দুর্বল বোকা সেটটির লগ-সাইজ যোগাযোগ জটিলতার জন্য একটি নিম্ন সীমাবদ্ধ। $f$ $S$

একটি বৃহত্তম দুর্বল বোকা সেট প্রতিটি একরঙা আয়তক্ষেত্র থেকে একটি ক্ষুদ্রতম বিভাজন সেট কভারে একটি প্রতিনিধি উপাদান বেছে নেয়। একটি বৃহত্তম দুর্বল বোকা সেট আকার তাই পার্টিশন সংখ্যা হিসাবে সর্বাধিক বৃহত্তর (এর সূচক)। দুর্ভাগ্যক্রমে সেট বোকা সেট দ্বারা সরবরাহ করা বাঁধন প্রায়শই দুর্বল। কে এন 1.20 শো প্রমাণ যে কোনো ফাংশন ম্যাপিং প্রতিটি উপাদান একটি দুর্বল বকা বানাতে সেটের একটি একরঙা আয়তক্ষেত্র থেকে যে উপাদান ধারণকারী injective হয়। যাইহোক, হতে পারে অনেক একরঙা আয়তক্ষেত্র একটি ক্ষুদ্রতম টুকরো করা কভার যে ভাবমূর্তি উপস্থিত হয় না এ প্রতিটি উপাদান সঙ্গে, কিছু স্বাস্থ্যহীন বকা বানাতে কিন্তু সব না উপাদানের $s$ $S$ $R_s$ $R$ $S$ $R$ $S$ , এবং তাই সহজভাবে যোগ করা যাবে না । বস্তুত Dietzfelbinger, Hromkovič এবং Schnitger দেখিয়েছেন (ডোই: 10,1016 / S0304-3975 (96) 00062-এক্স ) সমস্ত যথেষ্ট বড় যে , অন্তত সমস্ত বুলিয়ান ফাংশন ভেরিয়েবল আছে এখনো লগ-আকারের (দুর্বল) বোকা সেটগুলি । সুতরাং বৃহত্তম জটিল (দুর্বল) বোকা সেট আকারের লগ যোগাযোগ জটিলতার চেয়ে তাত্পর্যপূর্ণভাবে ছোট হতে পারে। $S$ $n$ $1/4$ $n$ $Pn(f) = n$ $O(\log n)$

র‌্যাঙ্কের জন্য, ফাংশনের ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক এবং এর পার্টিশন সংখ্যার মধ্যে একটি ঘনিষ্ঠ যোগাযোগ স্থাপন লগ-র‌্যাঙ্ক অনুমানের একটি ফর্ম স্থাপন করবে (চিঠিপত্রের দৃ tight়তার উপর নির্ভর করে)। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রতিটি বুলিয়ান ফাংশন জন্য নিয়মিত যাতে তবে , এবং এক ধরণের লগ-র‌্যাঙ্ক অনুমানটি তখন ফাংশনগুলির পরিবারগুলির জন্য ধারণ করে যার জন্য চূড়ান্তভাবে সাথে বৃদ্ধি পায় , যেকোনও যথেষ্ট পরিমাণে বড় অর্জনযোগ্য $a> 0$ $Pn(f) \le a\log rk(f)$ $f$ $D(f) \le (2a\log rk(f))^2$ $rk(f)$ $|X|+|Y|$ $2+\epsilon$ $\epsilon > 0$ $|X|+|Y|$ । (রিকল Lovász-Saks লগ-র্যাঙ্ক অনুমান বলছে যে নেই একটি ধ্রুবক যেমন যে প্রত্যেক বুলিয়ান ফাংশন জন্য ; এখানে হয় যোগাযোগ ম্যাট্রিক্স পদে reals উপর।) $c>0$ $D(f) \le (\log rk(f))^c$ $f$ $rk(f)$ $f$

একইভাবে, যদি অনেকগুলি ছোট একটির সাথে একমাত্র বৃহত একরঙা আয়তক্ষেত্র থাকে তবে পার্টিশন সংখ্যাটি বৃহত একরঙা আয়তক্ষেত্রের লগ-আকারের চেয়ে শক্তিশালী বাউন্ড দেয়। তবে লগ-র‌্যাঙ্কের অনুমানটিও বৃহত্তম একরঙা আয়তক্ষেত্রের আয়তন (নিসান এবং উইগডারসন 1995, দোই : 10.1007 / বিএফ 01192527 , তত্ত্ব 2) এর সমমানের অনুমানের সমতুল্য । সুতরাং একরঙা আয়তক্ষেত্রগুলি ব্যবহার করা বর্তমানে পার্টিশন নম্বরটি ব্যবহার করে "একই" হিসাবে পরিচিত নয়, তবে লগ-র‌্যাঙ্ক অনুমানটি ধারণ করলে এগুলি খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

সংক্ষেপে, একটি বৃহত্তম দুর্বল বোকা সেটটির লগ-আকার পার্টিশনের সংখ্যার চেয়ে তাত্পর্যপূর্ণভাবে ছোট হতে পারে। অন্যান্য নিম্ন সীমাবদ্ধ কৌশল এবং পার্টিশন সংখ্যার মধ্যে ফাঁক থাকতে পারে, তবে লগ-র‌্যাঙ্ক অনুমানটি ধরে রাখলে এই ফাঁকগুলি কম are

মাপের ধারণাগুলি ব্যবহার করে যা স্বাভাবিকের প্রসারিত হয় (কার্ডিনালটির), কোনও একরঙা আয়তক্ষেত্রের আকারটি বোকা সেটগুলিকে সাধারণীকরণ করতে এবং যোগাযোগের জটিলতা নীচের দিকে (KN 1.24 দেখুন) ব্যবহার করা যেতে পারে। আমি নিশ্চিত নই যে কোনও একরঙা আয়তক্ষেত্রের সাধারণীতম বৃহত্তম "আকার" এর যোগাযোগের জটিলতার সাথে কতটা কাছাকাছি হতে হবে।

বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য উপরের আলোচনার বিপরীতে, বুলিয়ান নন-ফাংশনগুলির জন্য এবং মধ্যে ব্যবধানটি তাত্পর্যপূর্ণ হতে পারে। কে এন 2.23 একটি উদাহরণ দেয়: দিন ফাংশন আয় সেট ছেদ আকার দুটি ইনপুট চরিত্রগত ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব যে হতে। এই ফাংশনের জন্য, লগ-র‌্যাঙ্কটি হ'ল । এখন আন্তঃ ছেদযুক্ত সেটগুলির সমস্ত জোড়াের সেটটিতে উপাদান রয়েছে। আমি যতদূর বলতে পারি, এই সেটটির চেয়ে বড় কোনও একরঙা আয়তক্ষেত্র থাকতে পারে না। যদি এটি সঠিক হয় তবে , সুতরাং এই ফাংশনের জন্য, , $D(f)$ $\log rk(f)$ $f$ $\log n$ $3^n$ $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$ $D(f)$ $Pn(f)$ , এবং একটি বৃহত একরঙা আয়তক্ষেত্রের লগ-আকার সবগুলি একে অপরের প্রায় এর একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে থাকে , যদিও লগের র‌্যাঙ্ক থেকে খুব বেশি দূরে থাকে। অতএব, এবং মধ্যে ছোট নন-বুলিয়ান ক্ষেত্রে সম্ভব হতে পারে তবে এগুলি এর ম্যাট্রিক্সের লগ-র‌্যাঙ্কের সাথে সুস্পষ্টভাবে সম্পর্কিত নয় । নন-বুলিয়ান ক্ষেত্রে এই পদক্ষেপগুলি কীভাবে সম্পর্কিত তা নিয়ে আলোচনা করা কোনও প্রকাশিত কাজ সম্পর্কে আমি অবগত নই। $2.5$ $Pn(f)$ $D(f)$ $f$

অবশেষে, ডায়েটফেল্বিংগার এট আল। জোড় ("অর্ডার 1" সাবসেট) থেকে একরঙা উপাদানগুলির বৃহত্তর সাবসেটগুলিতে বোকা শর্তকে সাধারণীকরণ করে একটি বর্ধিত বোকা সেট বাঁধাই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে; বর্ধিত বোকামির শর্তটি প্রয়োজন যে একরঙা উপাদান দ্বারা বিভক্ত সাবম্যাট্রিক্স একরঙা নয়। এটি একরঙা সাবটেটের ক্রম হিসাবে কীভাবে আচরণ করে এটি স্পষ্ট নয়, কারণ আদেশের দ্বারা নির্ধারিত বর্ধিত বোকাদের আকারকে ভাগ করতে হবে এবং সমস্ত আদেশের চেয়ে বৃহত্তম মান বিবেচনা করতে হবে। যাইহোক, এই ধারণাটি নিকটতম নীচে আবদ্ধ হয়ে শেষ হয় । $Pn(f)$

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

আপনার পর্যবেক্ষণ ভাগ করে নেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। প্রথম বিবৃতি সম্পর্কে, আমি মনে করি এটা সত্য যে জন্য সব লোয়ার বাউন্ড কৌশল সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত লগ র্যাঙ্ক অনুমান সত্য স্বাধীন। যতদূর আমি জানি, জন্য প্রতিটি নিম্ন সীমাবদ্ধ কৌশলটি জন্য লগ র‌্যাঙ্কের নিম্ন সীমানা সহ একটি নিম্ন সীমাবদ্ধ কৌশল ।

P n (f)

$Pn(f)$

D (f)

$D(f)$

D (f)

$D(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

— রবিন কোঠারি

@ রবিন: আমার স্পষ্টতার অভাবের জন্য ক্ষমা চাইছি; মূল বাক্যাংশগুলি "নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত" এবং "কতটা আলাদা হতে পারে" are আমি মতো জ্ঞাত বৈষম্য হিসাবে বিবেচনা করছি , যেখানে এর ম্যাট্রিক্সের বৃহত্তম একরঙা আয়তক্ষেত্রে প্রবেশের সংখ্যা , এবং ডোমেইনের হয় । আমার মন্তব্য এই বৈষম্যগুলি কতটা নিকটে রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ তারা ক্ষতিকারক ব্যবধানগুলি এড়ায় কিনা এবং কেন দুর্বল বোকা সেট আকারটি সাধারণ ধারণার চেয়ে বেশি কার্যকর (একরঙা সংস্করণটি র‌্যাঙ্কের গণ্ডির চেয়ে তাত্পর্যপূর্ণভাবে ছোট হতে পারে)।

D (f) \geq P n (f) \geq 2 n - \log m o n o (f)

$D(f) \ge Pn(f) \ge 2n - \log mono(f)$

m o n o (f)

$mono(f)$

f

$f$

f

$f$

2^{n} \times 2^{n}

$2^n\times 2^n$

— আন্দ্রেস সালামন