কোন বহুপদী যা গণনা করা শক্ত তবে সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ?

Question

প্রতিটি একঘেয়েমি গাণিতিক বর্তনী , অর্থাত্ একটি -circuit, কিছু বহুচলকীয় বহুপদী নির্ণয় এফ ( এক্স 1 , ... , x এর এন ) নন-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যা কোফিসিয়েন্টস সঙ্গে। একটি বহুপদী এফ ( এক্স 1 , … , এক্স এন ) , সার্কিট দেওয়া হয়েছে$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• নির্ণয় যদি এফ ( একটি ) = চ ( একটি ) সব জন্য ঝুলিতে একটি ∈ এন এন ; $f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• গন্য যদি এফ ( একটি ) = চ ( একটি ) সব জন্য ঝুলিতে একটি ∈ { 0 , 1 } এন ; $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• সিদ্ধান্ত নেয় যদি এফ ( একটি ) > 0 ঠিক যখন চ ( একটি ) > 0 সবার জন্য ঝুলিতে একটি ∈ { 0 , 1 } এন । $f$$F(a)>0$$f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

আমি জানি স্পষ্টত বহুভুজ (এমনকি বহুজাতিক ) এটি দেখায় যে সার্কিট-আকারের ফাঁক "গণনা / গণনা" তাত্পর্যপূর্ণ হতে পারে। আমার প্রশ্নটি "গণনা / সিদ্ধান্ত" ব্যবধানটি নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে।$f$

প্রশ্ন 1: কোন বহুপদী এর নেই কেহ জানে যা ব্যাখ্যা মূলকভাবে কঠিন দ্বারা সিদ্ধান্ত নিতে চেয়ে গণনা { + + , × } -circuits? $f$$\{+,\times\}$

একটি সম্ভাব্য প্রার্থী হিসেবে এক পাথ বহুপদী যার ভেরিয়েবল সম্পূর্ণ গ্রাফ কোণগুলি মিলা গ্রহণ করতে পারে উপর { 1 , ... , এন } , এবং নোড থেকে একটি সহজ পথ প্রতিটি monomial অনুরূপ 1 নোডের এন মধ্যে কে এন । এই বহুপদী যাবে সিদ্ধান্ত নিয়েছে আকারের একটি বর্তনী দ্বারা হে ( ঢ 3 ) , বাস্তবায়ন বলুন, বেলম্যান-ফোর্ড গতিশীল প্রোগ্রামিং আলগোরিদিম, এবং এটি দেখানোর জন্য অপেক্ষাকৃত সহজ যে প্রতি { + + , × } -circuit কম্পিউটিং$K_n$$\{1,\ldots,n\}$$1$$n$$K_n$$O(n^3)$$\{+,\times\}$PATH এর আকার । $2^{\Omega(n)}$

অন্যদিকে, প্রতিটি সার্কিট PATH গণনা করে PATH সমস্যা সমাধান করে , অর্থাত কে এন এর সাথে সম্পর্কিত 0 - 1 ইনপুট সাবগ্রাফ দ্বারা নির্দিষ্ট 1- to- n পাথের সংখ্যা গণনা করে । এটি একটি তথাকথিত # পি- কমপ্লিট সমস্যা । সুতরাং, আমরা সমস্ত "বিশ্বাস" সেই পথ কোন কাউন্টিং থাকতে পারে না { + + , × } বহুপদী আকারের -circuits। "শুধুমাত্র" সমস্যাটি এটি প্রমাণ করা ... $\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

আমি দেখাতে পারেন যে প্রতি -circuit বেড়ে চলেছে একটি সম্পর্কিত হ্যামিল্টনিয়ান পথ বহুপদী এইচপি সূচকীয় আকার প্রয়োজন। এই বহুবর্ষের মোমোমিয়ালগুলি সমস্ত নোডযুক্ত কে এন এর 1- to- n পাথের সাথে সামঞ্জস্য । দুর্ভাগ্যবশত, হ্রাস এর # এইচপি # বীর দ্বারা পাথ Vandermonde ম্যাট্রিক্সের বিপরীত গনা প্রয়োজন আছে এবং অত: পর একটি দ্বারা বাস্তবায়িত করা যাবে না { + + , × } -circuit।$\{+,\times\}$$1$$n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

প্রশ্ন ২: কেউ কি # এইচপি থেকে # পাথের একঘেয়েমি হ্রাস দেখেছেন ? $\#$$\#$

এবং পরিশেষে:

প্রশ্ন 3: ক্লাস পি এর "একঘেয়ে সংস্করণ" কি আদৌ বিবেচনা করা হয়েছিল? $\#$

এনবি নোট করুন যে আমি সার্কিটের একটি খুব সীমাবদ্ধ শ্রেণির কথা বলছি: একঘেয়ে পাটিগণিত সার্কিট! বর্গ ইন -circuits, প্রশ্ন 1 এ সব জিজ্ঞাসা করতে মাত্র অন্যায্য হবে: কোন নিম্ন সীমা অধিক মাপের Ω ( ঢ লগ ইন করুন এন ) যেমন সার্কিট, একটি সব বহুপদী দেওয়া গনা এমনকি যখন প্রয়োজনীয় আর এন ইনপুট , জানা হয়। এছাড়াও, এই জাতীয় সার্কিটের শ্রেণিতে, প্রশ্ন 1 এর একটি "কাঠামোগত অ্যানালগ" রয়েছে - সেখানে # পি- কমপ্লিট বহুবর্ষ রয়েছে যা বহু আকারের দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে { + , $\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$ -circuits? - এর একটি ইতিবাচক উত্তর আছে। এই ধরনের, উদাহরণস্বরূপ, স্থায়ী বহুপদী প্রতি = Σ জ ∈ এস এন Π এন আমি = 1 x এর আমি , জ ( আমি ) । $\{+,-,\times\}$$=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

যোগ করা হয়েছে: সোসোশি ইটো খুব সাধারণ কৌতুক দিয়ে প্রশ্ন 1 এর উত্তর দিয়েছেন। এখনও, প্রশ্ন 2 এবং 3 খোলা রয়ে গেছে। PATH গণনা স্থিতিটি তার নিজের উভয়ই আকর্ষণীয় কারণ এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড ডিপি সমস্যা এবং কারণ এটি # পি-সম্পূর্ণ।

Comments

প্রশ্ন 1 হিসাবে, গণনা করা শক্ত যে বহুপদীতে 1 যুক্ত করার বিষয়ে?

— Tsuyoshi Ito

আপনার তিনটি প্রশ্ন যথেষ্ট স্বতন্ত্র বলে মনে হচ্ছে যে তাদের তিনটি পৃথক প্রশ্ন হওয়া উচিত।

— ডেভিড রিচার্বি

আমি আশঙ্কা করছি যে আপনি গাণিতিক সার্কিটগুলিতে কেবল ধ্রুবকদের নিষেধ করে তুচ্ছ উদাহরণগুলি এড়াতে পারবেন না। X_ + + + x_n কে একটি শক্ত-গণনা বহুত্ববাদীতে যুক্ত করা যায় যা উৎপত্তিস্থলে 0 লাগে? (তদ্ব্যতীত, আপনি যদি ধ্রুবকগুলি নিষেধ করেন তবে আপনি এমন একটি বহুবর্ষের প্রতিনিধিত্ব করতে পারবেন না যা উত্সের ভিত্তিতে ননজারো মান গ্রহণ করে))

— সোসোশি ইতো

"" # পি তত্ত্বের মতো "" সিদ্ধান্ত "এর অধীনে আমাদের অর্থ" অন্তত একটি সমাধান আছে "। এবং ধ্রুবকগুলি সমাধান হয় না (সাধারণত) ' আপনি জানেন, আপনি এখানে পিচ্ছিল slালে রয়েছেন। প্রশ্ন 1 এর একটি # পি পাল্টা বিবেচনা করুন: সম্পর্কের একটি উদাহরণ দিন আরএফএনপি যেমন # আরআর # পি-সম্পূর্ণ তবে # আর (এক্স)> 0 কি না তা সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ। আমরা ম্যাচিং বলতে লোভিত হতে পারি, তবে এটি একটি ওভারকিল। 3SAT- তে একটি তুচ্ছ সমাধান যুক্ত করা ঠিক কাজ করে, এবং আমার আগের মন্তব্যটি এর সাথে মিলে যায়। (আরও)

— স্যুওশি ইটো

@ শুয়ুশি ইটো: ঠিক আছে, আপনার সাধারণ কৌশলটি (বহুভিত্তিক গণনা করার জন্য সমস্ত ভেরিয়েবলের যোগফলকে যুক্ত করে) আসলে প্রশ্ন 1 (উত্তরটি যে ফর্মটিতে বর্ণিত হয়েছিল) উত্তর দেয়। আপনি কি উত্তর হিসাবে রাখতে পারেন?

— স্ট্যাসিস

Answer 1

(আমি ওপির অনুরোধের জবাব হিসাবে আমার মন্তব্য পোস্ট করছি।)

প্রশ্ন 1 এর হিসাবে, আসুন f _n : {0,1} ⁿ → functions ফাংশনগুলির একটি পরিবার হয়ে উঠুন যার পাটিগণিতের সার্কিটটি ক্ষতিকারক আকারের প্রয়োজন। তারপর তাই করে চ _এন + 1, কিন্তু চ _এন + 1 একটি তুচ্ছ একঘেয়েমি গাণিতিক বর্তনী দ্বারা সিদ্ধান্ত নেন করা সহজ। আপনি যদি একরঙা গাণিতিক সার্কিটের ধ্রুবকগুলি এড়াতে পছন্দ করেন তবে f _n : {0,1} ⁿ → functions এমন একটি ফাংশনের পরিবার হোন যে f _{n এর} জন্য পাটিগণিতের সার্কিটটির জন্য ক্ষুদ্রতর আকার এবং f _{n প্রয়োজন} (0,…, 0) = 0, এবং f _n + x ₁ +… + x _{n বিবেচনা করুন} ।