হ্যামিলটোনিয়ান সাইকেল কেন পারমেন্টের থেকে আলাদা?

একটি বহুপদী একটি হল একঘেয়েমি অভিক্ষেপ একটি বহুপদী এর যদি = বহু , এবং একটি কাজ হয় যেমন । অর্থাত্, প্রতিটি ভেরিয়েবল এর একটি ভেরিয়েবল বা ধ্রুবক বা দ্বারা প্রতিস্থাপন করা সম্ভব হবে যাতে ফলস্বরূপ বহুবর্ষটি সাথে মিলে যায় । $f(x_1,\ldots,x_n)$ $g(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $(n)$ $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$ $y_j$ $g$ $x_i$ $0$ $1$ $f$

আমি স্থায়ী বহুপদী PER এবং হ্যামিলটোনিয়ান চক্র এইচএএম: মধ্যে পার্থক্যের (কারণগুলির জন্য) আগ্রহী am যেখানে প্রথম সার্বিকেশন সমস্ত অনুক্রমের উপরে , এবং দ্বিতীয়টি কেবলমাত্র সমস্ত চক্রীয় ক্রমের উপর রয়েছে ।

PER n (x) = \sum h \prod i = 1 n x i, h (i) and HAM n (x) = \sum h \prod i = 1 n x i, h (i)

$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$

h:[n]→[n] $h:[n]\to[n]$

প্রশ্ন: কেন হ্যাম হয় না একটি একঘেয়েমি অভিক্ষেপ প্রতি? নাকি এখনও আছে?

আমি প্রমাণ জিজ্ঞাসা করছি না , কেবল স্বজ্ঞাত কারণে।

প্রেরণা: বৃহত্তম পরিচিত একঘেয়েমি বর্তনী প্রতি জন্য আবদ্ধ LOWER (Razborov দ্বারা প্রমাণিত) "কেবল" অবশেষ । অন্যদিকে, ভ্যালেন্টের ফলাফলগুলি বোঝায় যে যেখানে সঙ্কলন সঙ্গে সব সাব-সেট নির্বাচন শেষ হয়ে গেছে আকারের । আমি নিজেই এই সাধারণ ফলাফলগুলিতে একটি "সাধারণ, প্রত্যক্ষ" হ্রাস ফর্মটি পেতে পারি না, তবে অ্যালন এবং বোপ্পানা দাবি (বিভাগে 5) ইতিমধ্যে এই হ্রাসের জন্য যথেষ্ট। $n^{\Omega(\log n)}$

CLIQUE n is a monotone projection of HAM m

$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$

CLIQUE n (x) = \sum S \prod i < j \in S x i, j

$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$

S⊆[n] $S\subseteq [n]$

|S|=n−−√ $|S|=\sqrt{n}$

m=25n2 $m=25n^2$

তবে অপেক্ষা করুন: এটি ভালভাবেই জানা যায় যে ক্লিইউইউইউ মাপের একঘেয়ে সার্কিটের প্রয়োজন। (প্রথম রজনবোরের পদ্ধতি ব্যবহার করে অ্যালন এবং বোপ্পানা দ্বারা প্রমাণিত)। $2^{n^{\Omega(1)}}$

সুতরাং, যদি হ্যামের পারের একঘেয়ে প্রজেকশন হয়, আমরা পারের জন্য নীচেও আবদ্ধ থাকতাম। $2^{n^{\Omega(1)}}$

আসলে, কেন এইচএএম এমনকি পারের একটি অ-একঘেয়ে প্রজেকশন নয়? বুলিয়ান সেমিরিংয়ের পরে, প্রাক্তনটি এনপি- কমপ্লিট, এবং শেষেরটি পি তে থাকে । কিন্তু কেন? যেখানে এমন জায়গা যেখানে ক্রমচক্রের জন্য চক্রযুক্ত হওয়া এটিকে এত বিশেষ করে তোলে?

PS একটি সুস্পষ্ট পার্থক্য হতে পারে: এইচএএম কেবলমাত্র একটি (দীর্ঘ) চক্র দ্বারা কভার করে [এন], যেখানে পিইআর ব্যবহার করতে পারে এটি এর জন্য চক্রকে বিচ্ছিন্ন করতে পারে। সুতরাং, হ্যাম প্রতি প্রকল্প কঠিন দিক বলে মনে হয় হতে: নিশ্চিত করুন যে অনুপস্থিতি একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্রের নতুন গ্রাফে গ্রন্থিচ্যুত চক্র যে কোনো আচ্ছাদন অভাবে বোঝা। এইচএএম-এর পারের প্রজেকশন না হওয়ার কারণ কি?

পিপিএস প্রকৃতপক্ষে, সাহসী আরও বেশি চিত্তাকর্ষক ফলাফল প্রমাণ করেছে: প্রতিটি বহুপদী সাথে , কোফিসিয়েন্টস P-সময় গণনীয়, একটি অভিক্ষেপ (অগত্যা একঘেয়েমি না হলে algo অ একঘেয়েমি হয়) হ্যাম হয় জন্য = বহু । PER এরও এই সম্পত্তি রয়েছে তবে কেবলমাত্র বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রগুলি । সুতরাং, এই অর্থে, হ্যাম এবং প্রতি হয় প্রকৃতপক্ষে "অনুরূপ", যদি না আমরা জিএফ (2) যেখানে, যেমন ব্রুনো স্মরণ প্রতি নির্ধারক দিকে ফেরে এবং সহজ হয় না। $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$ $c_u\in\{0,1\}$ $c_u$ $_m$ $m$ $(n)$ $\neq 2$

— Stasys
সূত্র

বিষয়টি থেকে আমার একটু প্রশ্ন আছে। আমি জিজ্ঞাসা করতে পারি কেন বুলিয়ান সেমিরিংয়ের উপর পার্মানেন্ট P তে আছে? আমি এ জাতীয় অ্যালগরিদম সম্পর্কে সচেতন নই।

— caozhu

@ কেওঝু: এটি কেবলমাত্র যেহেতু বুলিয়ান সেমিরিংয়ের তুলনায় পার্মানেন্টটি DETERMINANT এর সমান। অ্যালগরিদম এরপরে যে কোনও ডিটার্মিন্ট অ্যালগরিদম হয়।

— ব্রুনো

@ ব্রুনো: বেশ নয় not আপনি ঠিক আছেন যদি আমরা মাঠে জিএফ (2) থাকি; তবে আমরা ব্যবহার করতে পারি, বলুন, গাউস। এখনও, বুলিয়ান

সম্পর্কে আকার প্রতি জন্য বর্তনী

ব্যবহার করা যাবে Hopcroft-Karp অ্যালগরিদম সর্বাধিক ম্যাচিং, বা শুধু ফ্লয়েড-Fulkerson সর্বাধিক ত্রুটি অ্যালগরিদম জন্য। {∨,∧,¬} $\{\lor,\land,\neg\}$

n5/2 $n^{5/2}$

— স্ট্যাসিস

নীচে বৈশিষ্ট্যযুক্ত শূন্যের যে কোনও রিং সম্পর্কে প্রমাণ রয়েছে যে হ্যামিলটোনিয়ান চক্র বহুবর্ষটি স্থায়ীটির বহুবর্ষীয় আকারের একঘেয়ে প্রজেকশন নয়। মূল ধারণাটি হ'ল নোনজেটিভ সহগের সাথে বহুবর্ষের একঘেয়ে অনুমানগুলি একজনের নিউটন পলিটোপকে অন্যটির নিউটন পলিটোপের প্রসারিত সূচনা করে এবং তারপরে প্রসারিত সূত্রগুলির উপর সাম্প্রতিক নিম্ন সীমানা প্রয়োগ করে।

যাক এবং নন-নেগেটিভ কোফিসিয়েন্টস সঙ্গে polynomials হতে (কেস এখানে হিসাবে)। ধরুন যে , অ্যাসাইনমেন্টের অধীনে একঘেয়ে প্রজেকশন (প্রশ্নের স্বরলিপি অনুসরণ করে)। অধীনে , প্রতিটি monomial 0 পারেন ম্যাপ পরার বা একটি monomial করার জন্য (iff তার ভেরিয়েবল এক 0 ম্যাপ পরার) আছে: অ নেতিবাচকতার কারণ কোন বাতিলকরণ হতে পারে না। $f(x_1,\dotsc,x_n)$ $g(y_1,\dotsc,y_m)$ $f$ $g$ $\pi$ $\pi$ $g$ $f$

যাক বোঝাতে এর নিউটন polytope , এবং একইভাবে জন্য । $New(f)$ $f$ $New(g)$

দাবি আছে: একটি বর্ধিত জন্য তৈয়ার হয় মধ্যে ব্যবহার ভেরিয়েবল, এবং সীমাবদ্ধতার একটি সংখ্যা সর্বাধিক যে প্লাস সংজ্ঞা সীমাবদ্ধতার সংখ্যা । $New(f)$ $\mathbb{R}^m$ $\leq n+m$ $n+m$ $New(g)$

এখানে কিভাবে: আসুন উপর স্থানাঙ্ক হতে (যেখানে বসবাস; যেমন, এ একটি পূর্ণসংখ্যা বিন্দু। স্থানাঙ্ক সঙ্গে অনুরূপ মোমোনাল )। তাদের জন্য যেমন যে $e_1,\dotsc,e_m$ $\mathbb{R}^m$ $New(g)$ $\mathbb{R}^m$ $(e_1,\dotsc,e_m)$ $y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$ $i$ ছেদ সঙ্গে (শুধুমাত্র monomials যেহেতু যে জড়িত না অভিক্ষেপ অবদান রাখতে পারেন); এটি সর্বাধিক অতিরিক্ত বাধা যুক্ত করে। ফলাফলযুক্ত পলিটোপ বোঝাতেদিন। তারপরে একটি রৈখিক মানচিত্র করে , যেমন $\pi(y_i)=0$ $New(g)$ $\{e_i = 0\}$ $y_i$ $m$ $P$ $\pi$ $L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ $L_{\pi}(P) = New(f)$ । এই শেষ অংশটি বাতিলকরণের অভাব থেকে অনুসরণ করে। সুতরাং আমরা জন্য একটি বর্ধিত তৈয়ার পেতে গ্রহণ করে ভেরিয়েবল জন্য সীমাবদ্ধতার উপর ভেরিয়েবল, এবং সীমাবদ্ধতার সংজ্ঞা (যার সেখানে সর্বাধিক হয় , প্রতিটি জন্য এক ) । কিউইডি দাবি $New(f)$ $n+m$ $P$ $m$ $L_{\pi}$ $n$ $x_i$

এখন নেওয়া হতে হ্যামিলটন চক্র -th বহুপদী এবং হতে -th স্থায়ী, এবং যে অনুমান করা একটি একঘেয়েমি অভিক্ষেপ হয় । স্থায়ী (এবং ঘটনাক্রমে নির্ধারক) এর নিউটন পলিটপ হ'ল চক্র কভার পলিটপ। এই পলিটোপটি সহজেই "এজ" ভেরিয়েবল এবং সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয় যে প্রতিটা ভার্টেক্সের ডিগ্রি ঠিক 2 থাকে। $f$ $n$ $g$ $m$ $f$ $g$ $e_{ij}$ $m$

হামের নিউটন পলিটোপ। চক্র বহুপদী হ্যামিলটোনিয়ান চক্র বহুভোজ (আশ্চর্য, অবাক করা)। কিন্তু এই polytope টিএসপি polytope, যা প্রয়োজন বর্ণনা করার জন্য সমীকরণ কোন বর্ধিত তৈয়ার $2^{n^{\Omega(1)}}$ , যখন যা subexponential হয়, contradicts চক্র কভার polytope এবং প্রদত্ত ছোট বর্ধিত তৈয়ার উপরে হিসাবে। $m$ $L_{\pi}$

(দ্রষ্টব্য এই যুক্তি ব্যর্থ হলে , , বা , নেতিবাচক কোফিসিয়েন্টস, তারপর সেখানে বাতিলকরণ হতে পারে থাকতে পারে, ফলে প্রয়োজন সম্মুখের ম্যাপ না ।) $f$ $g$ $\pi$ $L_{\pi}$ $New(f)$

এটা খেয়াল করে যে এই polytopes জ্যামিতি ঘনিষ্ঠভাবে সত্য যে ম্যাচিং হয় এর সাথে সম্পর্কিত করা হয় আকর্ষণীয় যখন হ্যামিলটন চক্র -complete, কিন্তু আমি চিন্তা করি তার থেকেও যুক্তি দেখায় কিভাবে জ্যামিতিক গঠন এখানে সত্যিই যে জটিলতা শ্রেণীবিন্যাস পরলোক কিছু যোগ করতে পারেন । $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

খুব সুন্দর যুক্তি। আমি ঠিক এটিই চেয়েছিলাম! প্রকৃতপক্ষে, প্রসারিত এলপি ফর্মুলেশনগুলি ভ্যালিয়েন্টের অনুমানগুলি (কমপক্ষে একঘেয়েমি) অনুকরণ করে।

— স্টেসিস