কোনও ড্যাজের সমস্ত দীর্ঘ পথকে ধ্বংস করা কত ব্যয়বহুল হতে পারে?

আমরা সঙ্গে এক উৎস নোড DAGs (নির্দেশ acyclic গ্রাফ) বিবেচনা এবং এক লক্ষ্য নোড ; সমান্তরাল প্রান্তগুলি একই জোড়ের কোণে যোগদানের অনুমতি রয়েছে। একজন - কাটা প্রান্ত যার অপসারণের একটি সেট সব ধ্বংস করে - পাথ চেয়ে দীর্ঘতর ; খাটো - পাথ সেইসাথে দীর্ঘ "ভেতরের" পাথ (যাদের মধ্যে নয় এবং ) টেকা পারে! $s$ $t$ $k$ $s$ $t$ $k$ $s$ $t$ $s$ $t$

প্রশ্ন: এটা যথেষ্ট একটি সম্পর্কে সর্বাধিক অপসারণ করা হয় যাতে একটি DAG থেকে প্রান্ত এর অংশ সব ধ্বংস করার - চেয়ে পাথ আর ? $1/k$ $s$ $t$ $k$

অর্থাৎ যদি মধ্যে প্রান্ত মোট সংখ্যা উল্লেখ করে , তারপর প্রতি DAG করে আছে একটি -cut সম্পর্কে সর্বাধিক সঙ্গে প্রান্ত? দুটি উদাহরণ: $e(G)$ $G$ $G$ $k$ $e(G)/k$

যদি সমস্ত - পাথের দৈর্ঘ্য , তবে প্রান্ত সহ একটি কাট উপস্থিত রয়েছে। এই ঝুলিতে কারণ তারপর হতে হবে গ্রন্থিচ্যুত -cuts: শুধু নোড স্তর উৎস নোড থেকে তাদের দূরত্ব অনুযায়ী । $s$ $t$ $> k$ $k$ $\leq e(G)/k$ $k$ $k$ $G$ $s$
যদি একটি ট্রানজিটিভ টুর্নামেন্ট (সম্পূর্ণ ডিএজি) হয়, তবে সহ কেট $G=T_n$ $k$ প্রান্ত বিদ্যমান: ফিক্স একটি টপোলজিকাল ক্রমনোড, মধ্যে নোড বিভক্ত দৈর্ঘ্যের পরপর অন্তর, এবং একই বিরতি নোড যোগদান সব প্রান্ত অপসারণ; এই সব ধ্বংস করবে-পাথ বেশি। $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$ $k$ $n/k$ $s$ $t$ $k$

মন্তব্য 1: একটি সরল একটি ইতিবাচক উত্তর (যা আমি দিতে চেষ্টা চেষ্টা প্রথম হিসাবে) দেখাতে হবে যে প্রত্যেক DAG সম্পর্কে থাকতে হবে চেষ্টা করতে হবে গ্রন্থিচ্যুত -cuts। দুর্ভাগ্যক্রমে, উদাহরণ 2 দেখায় যে এই প্রয়াসটি খারাপভাবে ব্যর্থ হতে পারে: একটি দুর্দান্ত যুক্তির মাধ্যমে ডেভিড এপ্পস্টেইন দেখিয়েছেন , প্রায় $k$ $k$ $k$ , গ্রাফচার-এর বেশিবিচ্ছিন্নকাটথাকতে পারে না! $\sqrt{n}$ $T_n$ $k$

মন্তব্য 2: এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে একটি -cut শুধুমাত্র প্রয়োজন সব দীর্ঘ ধ্বংস করতে - অগত্যা সব দীর্ঘ পাথ পাথ, এবং না। যথা, এখানে ^{1 টি} ডিএজি রয়েছে যার মধ্যে প্রতিটি "খাঁটি" -কুট ( বা তে প্রান্তের ঘটনা এড়ানো ) অবশ্যই প্রায় সমস্ত প্রান্ত ধারণ করে। সুতরাং, আমার প্রশ্নটি আসলে: বা দিয়ে প্রান্তের ঘটনাগুলি সরানোর সম্ভাবনা কি সিটের আকারকে যথেষ্ট পরিমাণে হ্রাস করতে পারে ? সম্ভবত, উত্তরটি নেতিবাচক, তবে আমি এখনও একটি পাল্টা নমুনা খুঁজে পাইনি। $k$ $s$ $t$ $k$ $s$ $t$ $s$ $t$ $k$

অনুপ্রেরণা: আমার প্রশ্নটি মনোোটোন স্যুইচিং-এবং-রেক্টিফায়ার নেটওয়ার্কগুলির জন্য নিম্ন সীমা প্রমাণ করে প্রেরণাপ্রাপ্ত। এই জাতীয় নেটওয়ার্কটি কেবল একটি ডিএজি, যার প্রান্তগুলির কয়েকটি পরীক্ষার দ্বারা লেবেলযুক্ত "এটি কি ?" (কোনও পরীক্ষা নেই )। আকার নেটওয়ার্কের লেবেল প্রান্ত সংখ্যা। একটি ইনপুট ভেক্টর গৃহীত হয়, যদি কোনও - পাথ থাকে যার সমস্ত পরীক্ষাগুলি এই ভেক্টরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। মার্কভ হয়েছে প্রমাণিত যে, যদি একটি একঘেয়েমি বুলিয়ান ফাংশন কোন minterms চেয়ে খাটো হয়েছে এবং কোন maxterms চেয়ে খাটো , তারপর আকার $x_i=1$ $x_i=0$ $s$ $t$ $f$ $l$ $w$ প্রয়োজন। আমার প্রশ্নের পজেটিভ উত্তর সম্পর্কে আকারের যে নেটওয়ার্ক সূচিত করা হবে প্রয়োজনীয়, অন্তত যদি ভেরিয়েবল সেট থাকা উচিত অর্ডার চেয়ে দীর্ঘতর সব minterms ধ্বংস করার জন্য । $l\cdot w$ $k\cdot w_k$ $w_k$ $0$ $k$

¹ নির্মাণ এই কাগজে দেওয়া হয় । সম্পূর্ণ বাইনারি ট্রি নিন গভীরতা । সমস্ত প্রান্ত অপসারণ করুন। প্রত্যেক ভেতরের নোড জন্য , একটি প্রান্ত আঁকা বাম subtree প্রতিটি গাছের পাতা থেকে , এবং থেকে একটি প্রান্ত ডান সাবট্রি প্রতিটি গাছের পাতা থেকে । সুতরাং, এর প্রতিটি দুটি পাতাগুলি ডাগের দৈর্ঘ্যের একটি পথ দ্বারা সংযুক্ত থাকে । DAG নিজেই হয়েছে নোড এবং প্রান্ত কিন্তু $T$ $\log n$ $v$ $v$ $T_v$ $v$ $T_v$ $T$ $2$ $\sim n$ $\sim n\log n$ path এর চেয়ে দীর্ঘ সমস্ত পাথ ধ্বংস করতে অবশ্যই প্রান্তগুলি সরিয়ে ফেলতে হবে $\Omega(n\log n)$ । $\sqrt{n}$

— Stasys
সূত্র

দৈর্ঘ্যের সীমানা প্রবাহ এবং কাটগুলি আপনার জিজ্ঞাসা প্রশ্নগুলির সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত। আমি বাইরের থিসিসটি দেখার পরামর্শ দিই। ftp.math.tu-berlin.de/pub/Prprints/combi/…

— চন্দ্র চেকুরি

@ চন্দ্র চেকুরি: আকর্ষণীয় লিঙ্কটির জন্য ধন্যবাদ। থিসিসটি ছোট পাথ / ত্রুটিগুলির জন্য ভারিত মেনজারের উপপাদ্য সম্পর্কে আরও বেশি । দীর্ঘ পথের জন্য মেনজার সম্পর্কিত , আমি এই কাগজটি পেয়েছি : একটি কে-কাটের ন্যূনতম আকার লম্বা ডিসস্টিয়েন্ট স্ট্যান্ড পাথের সর্বাধিক সংখ্যক কে গুন। তবে এটিও সাহায্য করবে বলে মনে হয় না।

— স্ট্যাসিস

দুঃখিত, আমি প্রশ্নটি ভুল বুঝেছি। অন্যান্য রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ।

— চন্দ্র চেকুরি

[Self answer; this is a shortened version, the old one can be found here]

We realized with Georg Schnitger that the answer to my question is strongly negative: there are DAGs (even of constant degree), where every $k$ -cut must have a constant fraction of all edges, not just an about $1/k$ fraction, as in my question. (A slightly weaker result that a $1/\log k$ fraction may be necessary can be obtained by using a much simpler construction mentioned in the footnote above. A quick write-up is here)

যেমন, কাগজে "গভীরতা-কমানো এবং grates অন" , গেয়র্গ নির্মাণ নির্দেশ acyclic গ্রাফ একটি ক্রম লাগাতার সর্বাধিক ডিগ্রী উপর নিম্নলিখিত সম্পত্তি সঙ্গে নোড: $H_n$ $d$ $n=m2^m$

প্রতি ধ্রুবক জন্য একটি ধ্রুবক যা, যদি বেশিরভাগ নোডের কোনও উপসেট থেকে সরিয়ে নেওয়া হয় , তবে বাকি গ্রাফটিতে কমপক্ষে দৈর্ঘ্যের পথ থাকে । $0\leq \epsilon < 1$ $c > 0$ $cn$ $H_n$ $2^{\epsilon m}$

Take now two new nodes $s$ and $t$ , and draw an edge from $s$ to every node of $H_n$ , and an edge from every node of $H_n$ to $t$ . The resulting graph $G_n$ still has at most $2n+dn=O(n)$ edges.

For every constant $0\leq \epsilon < 1$ , there is a constant $c ' > 0$ such that, if any subset of at most $c'n$ edges is removed from $G_n$ , the remaining graph contains an $s$ - $t$ path with $2^{\epsilon m}$ or more edges.

Proof: Call the nodes of $H_n$ inner nodes of $G_n$ . Remove any subset of at most $c'n$ edges from $G_n$ , where $c'=c/2$ . After that, remove an inner node if it was incident to a removed edge. Note that at most $2c'n=cn$ inner nodes are then removed. None of the edges incident to survived nodes was removed. In particular, each survived inner node is still connected to both nodes $s$ and $t$ . By the above property of $H_n$ , there must remain a path of length $2^{\epsilon m}$ consisting entirely of survived inner nodes. Since the endpoints of each of these paths survived, each of them can be extended to an $s$ - $t$ path in $G_n$ . Q.E.D.

A consequence is sad: there does not exist any analogue of Markov's lemma for functions with many short minterms, even though the set of long minterms has some "complicated" structure: no super-linear lower bounds on the network size can be then proved using this "length times width" argument.

P.S. This "length times width" argument (when all $s$ - $t$ paths are long enough) was earlier used by Moore and Shannon (1956). The only difference is that they do not allowed rectifies (unlabeled edges). So, this is, in fact, a "Moore-Shannon-Markov argument".

— Stasys
সূত্র