লেবেলযুক্ত ডিএজি-র অভিধানের নূন্যতম টপোলজিক্যাল সাজ

Question

সমস্যা যেখানে আমরা ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয় বিবেচনা করুন একটি acyclic নির্দেশ গ্রাফ , একটি লেবেল ফাংশন λ থেকে ভী কিছু সেটে এল মোট অর্ডার দিয়ে < এল (যেমন, ইন্টিজার), এবং যেখানে আমরা করতে বলা হয় গনা lexicographically ক্ষুদ্রতম এর টপোলজিকাল সাজানোর জি পরিপ্রেক্ষিতে λ । আরো সঠিকভাবে, একটি টপোলজিকাল সাজানোর এর জি একজন শুমার হয় ভী হিসাবে বনাম = V 1 , ... , বনাম $G = (V, E)$$\lambda$$V$$L$$<_L$$G$$\lambda$$G$$V$$\mathbf{v} = v_1, \ldots, v_n$, এই ধরনের যে সব জন্য , যখনই সেখান থেকে একটি পথ বনাম আমি করতে বনাম ঞ মধ্যে জি , তাহলে আমরা থাকতে হবে আমি < ঞ । এই জাতীয় টপোলজিকাল সাজানোর লেবেল হল l = λ ( v 1 ) , … , λ ( v n ) হিসাবে প্রাপ্ত এস এর উপাদানগুলির ক্রম । এই জাতীয় ক্রমগুলিতে (যেগুলির দৈর্ঘ্য | V | থাকে ) লিক্সোগ্রাফিক ক্রমটি l < LEX হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়$i \neq j$$v_i$$v_j$$G$$i < j$$S$$\mathbf{l} = \lambda(v_1), \ldots, \lambda(v_n)$$|V|$$\mathbf{l} <_{\text{LEX}} \mathbf{l'}$ কিছু অবস্থান গ্রহন করতে পারছে iff$i$যেমন যে$l_i <_L l_i'$ এবং$l_j = l'_j$ সবার জন্য$j < i$। প্রতিটি$S$লেবেলকেতে একাধিক শীর্ষকে বরাদ্দ করা যেতে পারেসেদিকে মনোযোগ দিন$V$(অন্যথায় সমস্যাটি তুচ্ছ)।

এই সমস্যাটি হয় একটি গণনা বৈকল্পিক ("অভিধান হিসাবে ন্যূনতম টপোলজিকাল সাজান") বা সিদ্ধান্ত বৈকল্পিক ("এই ইনপুট শব্দটি কি সর্বনিম্ন টপোলজিকাল সাজান?") বর্ণিত হতে পারে। আমার প্রশ্ন, এই সমস্যার জটিলতা কী ? এটি পিটিটাইমে (বা এফপিতে, গণনার বৈকল্পের জন্য) বা এটি এনপি-হার্ড? যদি সাধারণ সমস্যাটি এনপি-হার্ড হয় তবে আমি সেই সংস্করণটি সম্পর্কেও আগ্রহী যেখানে সম্ভাব্য লেবেলের সেট $S$ আগে থেকেই ঠিক করা হয়েছে (যেমন, কেবলমাত্র সম্ভাব্য লেবেলগুলির ধ্রুব সংখ্যা রয়েছে)।

মন্তব্য:

সমস্যাটি উদ্বুদ্ধ করার জন্য এখানে একটি ছোট্ট বাস্তব-বিশ্বের উদাহরণ। আমরা কোনও প্রকল্পের (তাদের মধ্যে নির্ভরতার সম্পর্কের সাথে) প্রতিনিধিত্বমূলক কাজ হিসাবে ডিএজি দেখতে পাচ্ছি এবং লেবেলগুলি প্রতিটি টাস্কের যে দিন সময় নেয় তার প্রতিনিধিত্ব করে পূর্ণসংখ্যা। প্রকল্পটি শেষ করতে, আমি কাজগুলির জন্য আমি যে অর্ডার পছন্দ করি তা বিবেচনা না করে আমার একই মোট পরিমাণ সময় লাগবে। যাইহোক, আমি আমার বসকে মুগ্ধ করতে চাই এবং এটি করতে আমি যত তাড়াতাড়ি সম্ভব অনেকগুলি কাজ শেষ করতে চাই (একটি লোভী পদ্ধতিতে, এমনকি যদি এর অর্থ শেষে খুব ধীর হয়ে যায় কারণ শক্ত কাজগুলি থাকে)। Lexicographically ন্যূনতম আদেশ নির্বাচন অনুকূল নিম্নলিখিত নির্ণায়ক: আমি একটা অর্ডার চয়ন করতে চান যেমন অন্য কোন অর্ডার নেই ণ ' এবং দিনের একটি নম্বর এন যেখানে পরে$o$$o'$$n$ দিন আমি সঙ্গে আরো কর্ম সমাপ্ত হতো ণ ' অর্ডার দিয়ে চেয়ে ণ (অর্থাত, আমার বস সৌন্দর্য সময়ে যদি এন , আমি সঙ্গে একটি উন্নততর ছাপ দিতে ণ ' ), কিন্তু সবার জন্য মি < এন আমি কম কাজ শেষ করেছি অর্ডার ণ ' অর্ডার দিয়ে চেয়ে ণ ।$n$$o'$$o$$n$$o'$$m < n$$o'$$o$

সমস্যাটি সম্পর্কে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দেওয়ার জন্য: আমি পূর্ববর্তী উত্তরগুলি থেকে ইতিমধ্যে জানি যে নিম্নলিখিত সম্পর্কিত সমস্যাটি কঠিন: "এমন কোনও টপোলজিক্যাল সাজ রয়েছে যা নিম্নলিখিত ক্রমটি অর্জন করে"? যাইহোক, এখানে সত্য যে আমি একটি ক্রম চাই যা এই অভিধান সংক্রান্ত আদেশের জন্য ন্যূনতম এটি সম্ভাব্য টপোলজিকাল আদেশগুলি অর্জন করতে পারে এমন অনেক কিছুই সীমাবদ্ধ করে বলে মনে হয় (বিশেষত সেই উত্তরগুলিতে হ্রাস আর কার্যকর হবে বলে মনে হয় না)। স্বজ্ঞাতভাবে, এমন অনেকগুলি পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে আমাদের পছন্দ করার পছন্দ আছে।

মনে রাখবেন যে সেট কভারের ক্ষেত্রে সমস্যাগুলির আকর্ষণীয় পুনর্বিবেচনা রয়েছে (যখন দ্বিপাক্ষিক ডিএজিগুলিতে, অর্থাৎ উচ্চতা দুইটি রয়েছে যখন সীমাবদ্ধ করার সময়): সেটগুলির সেট দেওয়া হয়েছে, তাদের একটি ক্রম হিসাবে গণনা করুন যে ছোট lexicographically ক্রম | এস 1 | , | এস 2 ∖ এস 1 | , | এস 3 ∖ ( এস 1 ∪ এস 2 ) | , … , | এস এন ∖ $S_1, \ldots, S_n$$|S_1|$$|S_2 \backslash S_1|$$|S_3 \backslash (S_1 \cup S_2)|$$\ldots$। সমস্যাটি পুনঃনির্দেশিত গ্রাফগুলিতেও পুনরায় সমাধান করা যেতে পারে (ক্রমানুসারে গ্রাফের একটি সংযুক্ত ক্ষেত্রটি ক্রম অনুসারে ক্রম সংযুক্ত ক্ষেত্রটি প্রসারিত করুন যা অনাবৃত লেবেলের লেক্সিকোগ্রাফিক ক্রমকে হ্রাস করে)। যাইহোক, কারণ এটা সত্য যে ক্রমহয়েছেlexicographic আদেশের সংজ্ঞা দ্বারা সব সময়ে লোভী হতে, আমি কমানোর (যেমন, স্টেনার গাছের) কাজ পেতে পারেন।$|S_n \backslash (S_1 \cup \cdots \cup S_{n-1})|$

আপনার ধারণার জন্য অগ্রিম ধন্যবাদ!

Answer 1

$G$$k$$G$$G$$xy$$x$$G$$y$$G$$1$$G$$0$

$k$$G$$k$ $1$$\tbinom{k}{2}$ আই - 1 0 আই 1 110100100010000100000 1 0 $0$$i-1$ $0$$i$$1$$110100100010000100000$$1$$0$এর চেয়ে অনেকগুলি প্রান্তের সাথে একটি ক্রম দেবে যেগুলি অনেকগুলি শীর্ষে একটি সাধারণ গ্রাফের সাথে পাওয়া যায়) এবং এটি কেবলমাত্র টপোলজিকাল ক্রমের সূচনা হতে পারে যখন পছন্দসই চক্র থাকে।$G$

Comments

ওহ, আমি চক্র সম্পর্কে চিন্তা করিনি। এটি একটি দুর্দান্ত হ্রাস, অনেক অনেক ধন্যবাদ! সুতরাং এটি দেখায় যে গণনার সমস্যাটি এনপি-হার্ড, এমনকি স্থির লেবেল বর্ণমালা ) এর সাথেও রয়েছে । এটি এও বোঝায় যে সিদ্ধান্তের সমস্যাটি হল "ডিকোসোগ্রাফিকভাবে সবচেয়ে ক্ষুদ্রতর ক্রম এটির চেয়ে কম" এনপি-হার্ডও (আপনি বাইনারি অনুসন্ধানের সাথে সর্বনিম্ন গণনা করতে এটি ব্যবহার করতে পারেন)। কেবলমাত্র অতিরিক্ত প্রশ্ন আমি দেখতে পাচ্ছি যে সমস্যাটি হ'ল "এই সঠিক ইনপুট ক্রমটি ন্যূনতম এক" এনপি-হার্ডও। (এটি দিয়ে, আপনি যদি সর্বনিম্ন শব্দটি একটি উপসর্গ দিয়ে শুরু করেন তবে আপনি সহজেই পরীক্ষা করতে পারবেন না)) এটির জন্য আপনার কোনও ধারণা আছে? $\{0, 1\}$

— a3nm

আমার সন্দেহ হ'ল সমস্যাটি "এই সঠিক ক্রমটি অর্জনযোগ্য" এনপি-সম্পূর্ণ, তবে আমার হাতে কোনও হ্রাস নেই। "এই সঠিক ক্রমটি কি সর্বনিম্ন এক" বহুত্ববৃত্ত স্তরক্রমের দ্বিতীয় স্তরে হওয়া উচিত, কারণ এটি অস্তিত্বের পরিমাপের সংমিশ্রণ (এটি অর্জনযোগ্য) এবং সর্বজনীন পরিমাপকরণ (কমপক্ষে বৃহত্তর সমস্ত অর্জনযোগ্য অনুক্রমগুলি) প্রয়োজন।

— ডেভিড এপস্টিন

বাস্তবে আমি ইতিমধ্যে জানি যে সঠিক ক্রমটি অর্জনযোগ্য কিনা তা পরীক্ষা করা এনজি-হার্ড (3 লেবেলযুক্ত একটি বর্ণমালায়) মারজিও ডি বিয়াসির স্ক্রিচযুক্ত আনরি 3-পার্টিশন থেকে হ্রাস করে: cstheory.stackexchange.com/a/19415 । তবে আমি মনে করি যে এটি সমস্যার স্থিতিটি বলে না "এটিই ন্যূনতম অর্জনযোগ্য অনুক্রম": যখন নির্দিষ্ট ক্রমটি অর্জনযোগ্য কিনা তা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করার সময়, সাধারণত কিছু লিক্সিকোগ্রাফিক ক্রমে এটি ন্যূনতম হওয়ার সম্ভাবনা খুব কম থাকে। যাইহোক, আপনার হ্রাস কী দেখায় তা এখনও খুব আকর্ষণীয়, আবারও ধন্যবাদ! :)

— এএনএনএম

Answer 2

মতে এই রেফারেন্স (1), lexicographically প্রথম টপোলজিকাল অর্ডার সমস্যা NLOG-সম্পূর্ণ।

তোমরা নিশ্চয়ই করছি আগ্রহী নিবন্ধ একটি আরো পুঙ্খানুপুঙ্খ দেখে নিতে তা নিশ্চিত করতে ক্ষেত্রে (গুলি) জুড়ে চাইতে পারেন। বিশেষ করে, এর উপর ভিত্তি করে প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন সংস্করণ (PDF) যে প্রবন্ধের, এটা যে তারা হচ্ছে ' আবার শর্টিকৃত শৃঙ্খলার ক্রমকে কঠোর হিসাবে বিবেচনা করছেন (যেমন: আপনার স্বীকৃতিতে, আপনার )), তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি ফলাফলের প্রয়োগকে প্রভাবিত করে কিনা ।u ≠ $\lambda(u) \neq \lambda(v)$$u \neq v$

1. শৌদাই, টাকায়োশি। " অভিধানের প্রথম টপোলজিকাল অর্ডার সমস্যা হ'ল এনএলওজি-সম্পূর্ণ " "তথ্য প্রক্রিয়াকরণের চিঠিগুলি 33.3 (1989): 121-124।

Comments

এনএলওজি-সম্পূর্ণটি বহু-কালীন সময়ের একটি উপসেট, এবং (সমস্যার প্রথম অনুচ্ছেদে "মনোযোগ দিন" বাক্য অনুসারে) অনুভূমিকগুলির লেবেলকে পৃথক করে দেওয়ার ফলে সমস্যাটি বহু-কালীন লোভী অ্যালগরিদমের দ্বারা সহজেই দ্রবণযোগ্য হয়। আসল প্রশ্ন হ'ল লেবেলগুলি স্বতন্ত্র না থাকলে কী হয়।

— ডেভিড এপস্টিন

এটি একটি ন্যায্য বিষয়। আপনার উত্তর থেকে এখন এটি স্পষ্ট হয়েছে যে লেবেলের পুনরাবৃত্তি সমস্যাটিকে অনন্য লেবেলের তুলনায় আরও কঠিন করে তুলেছে।

— মুহম