একটি অযৌক্তিক গোষ্ঠীর উপাদানগুলির অনুক্রমের মাধ্যমে কী অর্জন করা যায় তা নির্ধারণ করা

Question

একটি সীমাবদ্ধ গ্রুপ । আমি নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তের সমস্যায় আগ্রহী: ইনপুটটি জি এর কিছু উপাদান যা তাদের উপর আংশিক আদেশ রয়েছে, এবং প্রশ্নটি এমন যে উপাদানগুলি ক্রম সন্তুষ্ট করে এবং এই জাতীয় উপাদানগুলির সংমিশ্রণটি এমন যে কোনও উপাদান রয়েছে কিনা তা এই প্রশ্নটি রয়েছে whether অর্ডার গ্রুপের নিরপেক্ষ উপাদান ই ।$G$$G$$e$

সাধারণভাবে, টেস্ট সমস্যাটি নীচে$G$ রয়েছে, যেখানে গ্রুপ স্থির হয়েছে:$G$

• ইনপুট: একটি নির্দিষ্ট আংশিকভাবে আদেশ সেট একটি লেবেল ফাংশন μ থেকে পি থেকে জি ।$(P, <)$$\mu$$P$$G$
• আউটপুট: লিনিয়ার এক্সটেনশন বিদ্যমান কিনা (অর্থাত্, মোট অর্ডার ( পি , < ′ ) যেমন সমস্ত x , y ∈ P , x < y ইঙ্গিত করে x < ′ y ), যেমন পি এর উপাদানগুলি লিখে মোট অর্ডার নিম্নলিখিত < ' যেমন এক্স 1 , ... , x এন , আমরা μ ( এক্স 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ μ $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$ ।$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

যে কোনও গ্রুপ জন্য জি- টেস্ট সমস্যাটি এনপি-তে স্পষ্ট। আমার প্রশ্নটি হ'ল: কোন গ্রুপ জি এর মতো কি জি- টেস্ট সমস্যাটি এনপি-হার্ড?$G$$G$$G$$G$

সমতুল্য সমস্যার বিবৃতি সম্পর্কে কয়েকটি মন্তব্য:

• পোজ এবং লিনিয়ার এক্সটেনশনের ভাষা সমতুল্যভাবে ডিএজি এবং টপোলজিকাল অর্ডার দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। এটি, যদি আপনি পছন্দ করেন তবে আপনি ইনপুটটি ডিএজি হিসাবে গ্রুপ উপাদানগুলির সাথে লেবেলযুক্ত শীর্ষগুলি হিসাবে এবং আউটপুট হিসাবে জিজ্ঞাসা করতে পারেন যে ইনপুটটির কোনও টপোলজিকাল ধরণের ।$e$
• এর পরিবর্তে কেউ একটি কঠিন সমস্যা বিবেচনা করতে পারে যেখানে আমাদের একটি পসেট এবং জি ∈ জি দেওয়া হয় এবং জি ( ই এর পরিবর্তে ) আদায় করা যায় কিনা তা জিজ্ঞাসা করতে পারে। বস্তুত শক্তিশালী সমস্যা উপরোক্ত হ্রাস: আমরা অনুরোধ করতে পারেন কিনা ই দ্বারা উপলব্ধি করা যায় ( পি ' , < ) , যেখানে পি ' হয় পি কিন্তু একটি উপাদান লেবেল সঙ্গে ছ - 1 যা সব অন্যদের তুলনায় ছোট। উপরের সংজ্ঞাতে ই এর প্রাকৃতিক পছন্দ ।$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

এখন, সমস্যাটি সমাধান করার আমার প্রচেষ্টা সম্পর্কে:

• অবশ্যই, যদি গ্রুপ বিনিময় হয়, জি -test সমস্যা পরিষ্কারভাবে PTIME হয় হিসাবে সব রৈখিক এক্সটেনশন একই গ্রুপের উপাদান অর্জন, তাই আমরা টপোলজিকাল সাজানোর তাদের যে কোনো একটি পছন্দ করে এবং চেক কিনা এটা করতে ই বা না। তাই আকর্ষণীয় কেসটি হ'ল অচলনশীল জি । আরও সাধারণভাবে, যদি জি -এর কিছু অ-তুচ্ছ কমুটিভেটিভ গ্রুপের কাছে হোমোর্ফিজম থাকে (যেমন, স্বাক্ষর , আদেশের জন্য) তবে একটি প্রয়োজনীয় তবে অপর্যাপ্ত শর্ত হ'মোমর্ফিজমের মাধ্যমে সমস্যাটি দেখার এবং এটি পিটিটাইমে চলাচলকারী চিত্রটিতে পরীক্ষা করা । এটি সমস্ত সসীম গোষ্ঠীগুলির জন্য পচন প্রকল্পে সাধারণীকরণ করতে পারে কিনা তা দেখতে আমি ব্যর্থ।$G$$G$$e$$G$$G$
• যদি আদেশের সম্পর্কটি ফাঁকা থাকে (যেমন, আমাদেরকে এর উপাদানগুলির একটি বহুবিশেষ দেওয়া হয় এবং যে কোনও অনুচ্ছেদ ব্যবহার করতে পারে), ডায়নামিক প্রোগ্রামিং দ্বারা সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে, যেখানে রাজ্যগুলি জি এর প্রতিটি উপাদানগুলির সংখ্যার সংখ্যা যা এখনও রয়েছে ব্যবহার করা হয়নি (মনে রাখবেন জি স্থির আছে, সুতরাং ইনপুটটিতে রাষ্ট্রের সংখ্যাটি বহুবচনীয় হয়)।$G$$G$$G$
• ধ্রুব প্রস্থের পোসেটস ইনপুটগুলির জন্য, আমরা একটি চেইন পচনের পরে ডায়নামিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং যদি কঠোরতা ধরে রাখে তবে এটি অবশ্যই ইনপুট পোজ ব্যবহার করতে হবে যা নির্বিচারে প্রশস্ত। লক্ষ্য করুন ওয়াইড posets সম্ভব "যুক্তরাষ্ট্র" একটি গতিশীল প্রোগ্রামিং পদ্ধতির মধ্যে সংখ্যার সংখ্যা হবে বিব্রত করে , poset, যা সাধারণভাবে সূচকীয় এবং বহুপদী নয় তাই যে পদ্ধতির সরাসরি কাজ করে না।
• একই সমস্যাগুলি গ্রুপগুলির পরিবর্তে মনোয়েডদের জন্য অধ্যয়ন করা যেতে পারে, তবে মনোয়েডদের জন্য আমি ইতিমধ্যে জানি যে এটি মোটামুটি সংশ্লেষযুক্ত যুক্তি দ্বারা একটি অটোমেটনের রূপান্তর জড়িত জড়িত এবং এটি পূর্ববর্তী সিস্টিওরি প্রশ্নের একটি রূপকে হ্রাস করে । এর পুরো প্রমাণটি এই প্রিপ্রিন্টে রয়েছে , পরিশিষ্টগুলি D.1.3 এবং D.1.4, যদিও পরিভাষাটি খুব আলাদা। অতএব, টেস্টিং যখন পিটিটাইম হয়, তখন তাকে গ্রুপ উপাদানগুলির ইনভারটিবিলিটি ব্যবহার করতে হয়।$G$
• যদি আমরা জিজ্ঞাসা করি যে সমস্ত লিনিয়ার এক্সটেনশানগুলি অনুধাবন করে ( কিছু কিছু না করে বরং ), তবে আমি সমস্যাটি পিটিটাইমে থাকতে জানি (একই প্রিপ্রিন্টের পরিশিষ্ট D.2 দেখুন), যদিও আমি আরও জানি যে এই অন্যান্য সমস্যাটি সিএনপি- গ্রুপগুলির চেয়ে মনোয়েডদের পক্ষে শক্ত (D.1.3 এবং D.1.4)।$e$

তাহলে -test কিছু কঠিন জি , অবশ্যই, প্রাকৃতিক প্রশ্ন কিছু বৈপরীত্য ঝুলিতে কিনা তা ব্যবহারকারীকে, এবং যা নির্ণায়ক নম্র পার্থক্য হবে জি এবং অ নম্র জি । আসলে আমরা যখন গ্রুপগুলির পরিবর্তে সসীম অটোমেটা ব্যবহার করি তখন এই প্রশ্নটি আরও সাধারণভাবে জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। (আনুষ্ঠানিকভাবে: ফিক্স একটি নির্দিষ্ট বর্ণমালা Σ , এবং একটি সসীম নির্ণায়ক সসীম যন্ত্রমানব (DFA তে) একটি উপর Σ এবং বিবেচনা একটি -test সমস্যা, একটি poset থেকে উপাদানগুলি দিয়ে লেবেল দেওয়া Σ পরীক্ষণ একটি শব্দ দ্বারা গৃহীত কিনা কিছু রৈখিক এক্সটেনশন ধরনের, ক ।) অবশ্যই এই কঠিন প্রশ্নগুলি সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই।$G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$

Comments

আপনি কি কেবলমাত্র টেষ্ট সমস্যা সম্পর্কে ফলাফল সম্পর্কে আগ্রহী যেখানে জি একটি সীমাবদ্ধ গ্রুপ, বা আপনি কি এমন একটি অসীম জি সম্পর্কে আগ্রহী হবেন যার জন্য জি- টেষ্ট এনপি-সম্পূর্ণ? $G$$G$$G$$G$

— মিখাইল রুদয়

অসীম , সম্ভবত আকর্ষণীয় কিছু পাওয়ার জন্য আপনাকে সম্ভবত গ্রুপ অপারেশনগুলিতে জটিলতার সীমা আরোপ করতে হবে (যদি ইনপুট উপাদানগুলির মধ্যে রচনা ফাংশনটি ইতিমধ্যে এনপি-হার্ড হয় তবে কী হবে?) তবে, আমার কাছে "যুক্তিসঙ্গত" অসীম জি এর কোনও উদাহরণ নেই যেখানে কঠোরতা রয়েছে, তাই আমি এর উদাহরণ দিয়েও আগ্রহী হব। $G$$G$

— a3nm

এখানে ব্যারিংটনের উপপাদ্য (বা এর সদৃশ কিছু) ব্যবহার করার কোনও উপায় আছে কি? আমি কীভাবে তা নির্ধারণ করতে পারি না, যেহেতু আমি মোট অর্ডার বাছাই করার সময় যে পছন্দগুলি করেছি তার মধ্যে দীর্ঘমেয়াদী সম্পর্কের ব্যবস্থা কীভাবে করব তা বুঝতে পারি না, তবে অন্য কেউ কীভাবে এটি করবেন তা দেখতে পাবে।

— ডিডব্লিউ

Answer 1

আমি নীচে দেখিয়েছি যে টেস্ট সমস্যাটি কিছু সাধারণ তবে অসীম গ্রুপ জি এর জন্য এনপি-হার্ড । সীমাবদ্ধ মামলাটি এখনও খোলা আছে।$G$$G$

প্রমাণ

নিম্নলিখিত ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করুন: এবং g a ( x ) = x + a ।$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

তারপর নিতে দ্বারা উত্পন্ন গ্রুপ হতে চ এবং ছ একটি অপারেশন হিসাবে রচনা করেন।$G$$f$$g_a$

নোট করুন যে এর উপাদানগুলি হ'ল { f ∘ g a | a ∈ Z } ∪ { g a | a ∈ Z } , সুতরাং এটি আসলে খুব সহজ একটি গ্রুপ simple$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

তারপরে টেষ্ট সমস্যাটি পার্টিশন থেকে হ্রাস করে এনপি-হার্ড।$G$

পার্টিশন সমস্যাটি এর পূর্ণসংখ্যার একটি নির্দিষ্ট ক্রম চায় । । । , একটি এন সমান যোগফলের দুটি অংশে sequ অনুক্রমের একটি বিভাজন আছে কিনা।$a_1, a_2, ..., a_n$

এমন কোন ক্রম, আমরা আমাদের poset নেওয়া গঠিত এন + + 2 আরোপিত কোন অর্ডার দিয়ে উপাদান। এর মধ্যে দুটি উপাদান চ । অন্যান্য এন উপাদানগুলি i = 1 , এর জন্য জি এ আই । । । , এন ।$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

নোট করুন যে এবং এফ ∘ জি পি ∘ এফ = জি - পি । শুধুমাত্র এই ঘটনা ব্যবহার করে, আমরা দেখতে যে উপাদানের রচনা পি কোন অনুক্রমে হবে সবসময় সমান ছ Σ আমি ∉ আমি একটি আমি - Σ আমি ∈ আমি একটি আমি যেখানে আমি সূচকের সেট, যার জন্য হয় ছ একটি আমি মধ্যে স্থান ছিল চ এর দুটি ঘটনা$g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$। যেহেতু পরিচয়টি , পি এর অর্ডারিং পরিচয়টি রচনা করে এবং কেবল যদি সেই আদেশের অধীনে থাকে ∑ i ∉ I a i - ∑ i ∈ I a i = 0 , বা অন্য কথায় যদি এবং কেবল যদি ∑ i ∉ I a i = ∑ i ∈ I a i ।$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

তারপর এই ক্ষেত্রটিকেই -problem একটি সমাধান যদি এবং কেবল যদি একটা বিদ্যমান রয়েছে আমি যেমন যে Σ আমি ∉ আমি একটি আমি = Σ আমি ∈ আমি একটি আমি ; পার্টিশনের উদাহরণটির সমাধান হ'ল ঠিক এই অবস্থাতেই।$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

সুতরাং এই হ্রাস উত্তর সংরক্ষণ করা হয়। যেহেতু এটি স্পষ্টত বহুবর্ষীয় সময় ( এর উপাদানগুলির কোনও যুক্তিসঙ্গত এনকোডিং অনুমান করে ), জি- টেস্ট সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ।$G$$G$

Comments

অনেক ধন্যবাদ. আসলে আমি শো কঠোরতা থেকে পার্টিশন থেকে কমানো সম্পর্কে জানত অসীম গ্রুপ কিন্তু অতিরিক্ত ভাবপূর্ণ ক্ষমতা (আমাদের উদ্ভাবনের এর apx নেভিগেশন D.1.2) ব্যবহার করার জন্য -test, এবং আমরা দেখেনি কিভাবে কঠোরতা পেতে জি থেকে -test এটা। এটি অত্যন্ত আকর্ষণীয় যে আপনি যখন উপাদানগুলির উপর আদেশ চাপানোর শক্তি ব্যবহার না করে এটি করতে পেরেছিলেন। আবার এটিকে নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ! সীমাবদ্ধ মামলার ক্ষেত্রে, তবে আমরা সম্মত হই যে সীমাবদ্ধ পরিমাণ বা মোডুলো ব্যবহার করার জন্য এবং আপনার একটি সীমাবদ্ধ দল পাওয়ার জন্য আপনার প্রমাণটি টুইঙ্ক করার চেষ্টা করার ফলে কোনও সমস্যা হবে না, তাই না? $G$$G$

— a3nm

Answer 2

আমার সহকারী সহ, আমরা সবেমাত্র একটি প্রিপ্রিন্ট পোস্ট করেছি যা নিয়মিত ভাষার জন্য এই সমস্যাটি আরও সাধারণভাবে অধ্যয়ন করে। সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রে, আমরা দাবি করি যে উপাদানগুলির ক্ষেত্রে আংশিক ক্রম শৃঙ্খলার সমন্বয়ে গঠিত ক্ষেত্রে সমস্যাটি ট্র্যাকটেবল (এনএল) রয়েছে: দেখুন উপপাদ্য 6.2। আমরা অনুমান করব যে সাধারণ ডিএজিগুলিও সমস্যাটি এনএল-তে রয়েছে এবং সেই সেটিংটিতে কৌশলটি বাড়ানোর কিছুটা আশা রয়েছে, তবে আমরা এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত এর জন্য একটি উপাদান অনুপস্থিত রয়েছি - বিশদর জন্য, প্রিপ্রিন্ট দেখুন, বিভাগ 6, শেষে "সীমাবদ্ধতা" অনুচ্ছেদ, দ্বিতীয় সীমাবদ্ধতা।