একঘেয়ে ফাংশন গণনা করার জন্য আমাদের কতগুলি অবহেলা দরকার?

Question

Razborov প্রমাণ একঘেয়েমি ফাংশন ম্যাচিং নেই এমপি । তবে আমরা কি বহু প্রত্যাখ্যানের সাথে বহুতল আকারের সার্কিট ব্যবহার করে ম্যাচিং গণনা করতে পারি? $O(n^\epsilon)$ উপেক্ষাগুলির সাথে কোনও মিল / গতির মিল রয়েছে এমন কোনও পি / পলি সার্কিট রয়েছে কি ? প্রত্যাখ্যানের সংখ্যা এবং মিলের আকারের মধ্যে বাণিজ্য-বন্ধ কী?

Answer 1

মার্কভ প্রমাণ করেছেন যে এন ইনপুটগুলির যে কোনও ক্রিয়াকলাপ কেবল ⌈ লগ ( এন + 1 ) ⌉ উপকারের সাথে গণনা করা যেতে পারে । ফিশার একটি দক্ষ গঠনমূলক সংস্করণ বর্ণনা করেছিলেন। জিএলএল ব্লগ থেকে ফলাফলের একটি প্রকাশও দেখুন ।$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

আরো স্পষ্ট করে:

উপপাদ্য: ধরুন একটি বর্তনী দ্বারা নির্ণয় করা হয় সি সঙ্গে ছ গেটস, তাহলে এটি একটি সার্কিট দ্বারা নির্ণয় করা হয় সি * সঙ্গে 2 গ্রাম + + হে ( ঢ 2 লগ 2 এন ) গেটস এবং ⌈ লগ ( এন + 1 ) ⌉ উপকারগুলি ।$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

মূল ধারণা প্রতিটি তারের জন্য যোগ হয় মধ্যে সি একটি parellel টেলিগ্রাম W ' মধ্যে সি * যে সবসময় সম্পূরক বহন W । বেস কেস ইনপুট তারের জন্য: ফিশার বর্ণনা কিভাবে একটি বিপর্যয় বর্তনী গঠন করা আমি ( এক্স ) = ¯ এক্স সঙ্গে হে ( ঢ 2 লগ 2 এন ) গেটস এবং শুধুমাত্র ⌈ লগ ( এন + + 1 ) ⌉ negations। বর্তনী ও দরজা জন্য সি , আমরা বৃদ্ধি করতে $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ সঙ্গে একটি ' = খ ' ∨ গ ' , এবং অনুরূপভাবে জন্য অথবা দরজা। না ফটকগুলোতে সি খরচ কিছুই, আমরা শুধু ভূমিকা অদলবদল W এবং W ' নট গেট ভাটিতে। এইভাবে, বৈদ্যুতিন সংকেতের মেরু বদল subcircuit পাশাপাশি পুরো সার্কিট একঘেয়ে হয়।$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

এএ মার্কভ। ফাংশনগুলির সিস্টেমের বিপরীত জটিলতায়। জে এসিএম , 5 (4): 331–334, 1958।

এমজে ফিশার প্রত্যাখ্যান-সীমাবদ্ধ নেটওয়ার্কগুলির জটিলতা - একটি সংক্ষিপ্ত জরিপ। ইন অটোমাটা তত্ত্ব ও প্রচলিত ভাষায় , 71-82, 1975

Comments

এটি কি পি / পলি সার্কিট?

— বেনামে

হ্যাঁ, সার্কিটের আকার থেকে 2 g + O ( n 2 লগ 2 এন ) এ যায় যেখানে n ইনপুটগুলির সংখ্যা। আমি ফলাফলটির আরও একটি সুনির্দিষ্ট বিবৃতি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রতিক্রিয়াটি প্রসারিত করেছি এবং এটিকে আরও স্বনির্ভর করে তুলছি। $g$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$n$

— মিকেরো

এবং P মধ্যে কিছু স্পষ্ট (বহু-আউটপুট) একঘেয়েমি ফাংশন / পলি প্রয়োজন অন্তত negations পি থাকতে / পলি। $\log n-O(\log\log n)$

— স্ট্যাসিস

এই সারির প্রশ্নগুলির জন্য (সার্কিট / সূত্রগুলিতে অবহেলার শক্তি), নিম্নলিখিতগুলি প্রাসঙ্গিক হতে পারে: eccc.hpi-web.de/report/2014/144 , eprint.iacr.org/2014/902 , এবং ইসিসিসি। hpi-web.de/report/2015/026 ।

— ক্লিমেন্ট সি

dimacs.rutgers.edu/TechnicalReports/abstracts/1995/95-31.htmlদ্বারা যথেষ্ট। $2g+O(n\log n)$

— এমিল জেবেক

Answer 2

এন অবহেলা ব্যবহার করে কীভাবে বিটের বিবর্তন গণনা করা যায়$2^n-1$$n$

বিটগুলিকে ক্রমহ্রাসমান ক্রমে বাছাই করা যাক i < j ইঙ্গিত x i ≥ x j । এটি আজতাই om কমলস ze সেজেমেরি বাছাই নেটওয়ার্কের মতো একঘেয়ে বাছাই নেটওয়ার্ক দ্বারা অর্জন করা যেতে পারে।$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

আমরা ইনভার্সন সার্কিটটিকে বিট আই এন ( → x ) ইনডুকটিভভাবে সংজ্ঞায়িত করি : বেস কেসটির জন্য আমাদের n = 1 এবং আমি 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 । চলুন মি = 2 এন - 1 । আমরা কমাতে আমি এন (জন্য 2 মি + + 1 এক বিট) আমি এন - 1 গেট (জন্য $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$বিটস) এবং এবং ∨ গেটগুলি ব্যবহার করে একটি অবহেলা গেট। আমরা গণনা comp x মিটার অবহেলা ব্যবহার করি । জন্য আমি < মি দিন Y আমি : = ( x এর আমি ∧ ¬ এক্স মি ) ∨ এক্স মি + + আমি । আমরা ব্যবহার আমি এন - 1 উল্টানো → Y । এখন আমরা নীচের হিসাবে I এন সংজ্ঞায়িত করতে পারি :$\land$$\lor$$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

$$I^n_i := \begin{cases} I^{n-1}_i(\vec{y}) \land \lnot x_m & i<m \\ \lnot x_m & i=m \\ I^{n-1}_i(\vec{y}) \lor \lnot x_m & i<m \\ \end{cases}$$

X এন এর সম্ভাব্য মানগুলি বিবেচনা করে এবং → x হ্রাস পাচ্ছে এই সত্যটি ব্যবহার করে এই বিপরীতগুলি যাচাই করা সহজ ।$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

মাইকেল জে ফিশার, অবহেলা-সীমাবদ্ধ নেটওয়ার্কগুলির জটিলতা - একটি সংক্ষিপ্ত জরিপ, 1975।