ফোরিয়ার সহগগুলি বুলিয়ান ফাংশনগুলি ওআর এবং এক্সওর গেটগুলির সাথে বাউন্ডেড গভীরতা সার্কিট দ্বারা বর্ণিত

যাক $f$ একটি বুলিয়ান ফাংশন হতে হবে এবং এর থেকে একটি ফাংশন হিসাবে চ সম্পর্কে চিন্তা করি $\{-1,1\}^n$ করতে $\{ -1,1 \}$ । এই ভাষায় চ এর ফুরিয়ার সম্প্রসারণ হ'ল বর্গমুক্ত মনোমালিক্যের ক্ষেত্রে কেবল চ এর সম্প্রসারণ। (এই $2^n$ monomials রিয়েল ফাংশন স্থান করার জন্য একটি ভিত্তি গঠন $\{-1,1\}^n$ । কোফিসিয়েন্টস বর্গের সমষ্টি সহজভাবে হয় $1$ তাই $f$ বর্গক্ষেত্রে মুক্ত মোমোমিয়ালগুলির সম্ভাব্য বন্টনের দিকে নিয়ে যায়। আসুন এই বিতরণটিকে এফ-বিতরণ বলি।

যদি চ বহুতোষ আকারের একটি সীমিত গভীরতার সার্কিট দ্বারা বর্ণনা করা যায় তবে আমরা লিনিয়াল, মনসুর এবং নিসানের একটি উপপাদ্য দ্বারা জানি যে এফ বন্টন প্রায়-ক্ষুদ্রতর ওজন পর্যন্ত $\text{polylog } n$ আকারের মনোমালিন্যের উপর কেন্দ্রীভূত হয় । এটি হস্তাদ স্যুইচিং লেমা থেকে প্রাপ্ত। (একটি প্রত্যক্ষ প্রমাণ সবচেয়ে আকাঙ্ক্ষিত হবে।)

যখন আমরা 2 গেট যুক্ত করব তখন কী হবে? একটা উদাহরণ বিবেচনা ফাংশন $IP_{2n}$ উপর $2n$ ভেরিয়েবল যা প্রথম এন ভেরিয়েবল গেলিক ভাষার 2 ভেতরের পণ্য এবং গত এন ভেরিয়েবল হিসাবে বর্ণনা করা হয়। এখানে এফ-বিতরণ সমান।

প্রশ্ন : বুলিয়ান ফাংশনটির এফ-বিতরণটি সীমিত গভীরতার বহুবর্ষীয় আকার ও, বা, এমওডি সার্কিট দ্বারা "স্তরের" কেন্দ্রীভূত (অতিপরিচ্ছন্ন ক্ষুদ্র ত্রুটি পর্যন্ত) দ্বারা বর্ণিত ? $_2$ $o(n)$

মন্তব্য :

একটি কাউন্টারেরেক্সামেলের সম্ভাব্য পথটি হতে পারে ভেরিয়েবলগুলির বিচ্ছিন্ন সেটগুলিতে বিভিন্ন আইপি "কোনওভাবে আঠালো" করা তবে এটি কীভাবে করব তা আমি দেখতে পাই না। সম্ভবত একটির প্রশ্নটি দুর্বল করা উচিত এবং ভেরিয়েবলগুলিকে কিছু ওজন নির্ধারণের অনুমতি দেওয়া উচিত, তবে আমি এটি করার কোনও সুস্পষ্ট উপায় দেখতে পাচ্ছি না। (সুতরাং এই দুটি বিষয়ে উল্লেখ করা আমি যে বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছি তারও একটি অংশ)) $_2k$
আমি অনুমান করব যে আপনি যখন মো গেটগুলি মঞ্জুর করেন তখন এই প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর, (বা একটি সফল পরিবর্তনের জন্য) প্রযোজ্য হবে । (সুতরাং প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা রায়ান উইলিয়ামসের সাম্প্রতিক চিত্তাকর্ষক দুদকের ফলাফল দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল)) $_k$
প্রধানত এফ-বিতরণ প্রতিটি "স্তর" এর জন্য বড় (1 / বহু)।

লুকা হিসাবে দেখানো হয়েছে, আমি জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের উত্তরটি "না" no যে প্রশ্নটি বাকী রয়েছে তা হ'ল বুলিয়ান ফাংশনগুলির এফ বিতরণের বৈশিষ্ট্যগুলি সন্ধান করার উপায়গুলি প্রস্তাব করা যা এ্যান্ড ওআর দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে এবং 2 গেটের দ্বারা ভাগ করা যায়নি J

মনোটোন ফাংশন সম্পর্কে কথা বলে প্রশ্নটি সংরক্ষণ করার চেষ্টা:

$_2$ $o(n)$

$o(n)$ $\text{polylog} (n)$

— গিল কালাই
সূত্র

এটি খুব দৃ strong় অনুমান বলে মনে হচ্ছে, যদি এটি প্রমাণ হতে পারে তবে খুব আকর্ষণীয় হবে। এর পিছনে অন্তর্নিহিততা কি মোড গেটগুলির সাথে ধ্রুবক গভীরতার সার্কিটগুলির জন্য আপনি এমন ফাংশন রাখতে পারেন যা নিম্ন ডিগ্রি বহুবচনগুলির মতো সংবেদনশীল বা পুরোপুরির মতো একেবারে এলোমেলো, তবে সংখ্যাগরিষ্ঠের মতো মাঝখানে কিছু তৈরি করা শক্ত?

— বোয়াজ বারাক

প্রিয় বোয়াজ, (আমি দৃ strong় প্রস্তাবিত বিবৃতিটির একটি প্রতিবিম্ব প্রত্যাশা করব:) পুনরায়: স্বীকৃতি, "বার্নোলির মতো" দ্বারা "পুরোপুরি এলোমেলো" প্রতিস্থাপন করুন। যেমনটি আমার মনে আছে, আপনি যখন একক মোড কে গেট বিবেচনা করেন তখন এফ-ডিস্ট্রিবিউশনটি একটি নির্দিষ্ট বার্নোলি বিতরণের মতো (যথা | এস | এর জন্য ওজন পি ^ | এস | (1-পি) ^ {n- | এস | p কিছু পি জন্য, অগত্যা পি = 1 / 2। সুতরাং এটি দেখে মনে হচ্ছে যে মোড কে গেটগুলির সাথে ছোট ছোট সীমিত গভীরতার সার্কিটগুলি তাদের এফ-ডিস্রিবিশনগুলি যেমন বার্নোলি বিতরণে চালিত করে তাই সম্ভবত "কয়েকটি স্তরের বেশিরভাগ ওজন" এর সম্পত্তি (বা অন্য কিছু) বার্নৌলি ডিস্ট্রিবিউশনের সম্পত্তি) রক্ষণাবেক্ষণ করা হয়

— গিল কালাই

গিল, এর মতো কিছু কি কাউন্টারিক্স নমুনা হবে?

$m$ $n=m+\log m$ $n$ $(x,i)$ $x$ $(x_1,\ldots ,x_m)$ $i$ $1,\ldots,m$

$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

$i=1,\ldots,m$ $1/m$ $x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$ $1/m^2$

চ () গভীরতা -৩ এ উপলব্ধি করা যেতে পারে: সমস্ত এক্সওআরএসকে একটি স্তরে রাখুন, এবং তারপরে "নির্বাচন" দুটি স্তরগুলিতে এএনএস, ওআর এবং নোটগুলি করুন (নোটগুলি গণ্য করা হয়নি, যথারীতি গণনা করা)।

— লুকা ট্রেভিসান
সূত্র

হ্যাঁ, লুকা, দেখে মনে হচ্ছে আপনি ঠিক আছেন।

— গিল কালাই