প্রাথমিক প্রতিসাম্য বহুবর্ষের একজাতীয় গাণিতিক সার্কিট জটিলতা?

প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদী -th সব এর সমষ্টি পণ্য স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল। আমি এই বহুবর্ষের একঘেয়ে গণিত সার্কিট জটিলতায় আগ্রহী। একটি সাধারণ গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদম (পাশাপাশি নীচে চিত্র 1) গেটগুলির সাথে একটি সার্কিট দেয়। $k$ $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ $\binom{n}{k}$ $k$ $(+,\times)$ $(+,\times)$ $O(kn)$

প্রশ্ন: এর নিম্ন $\Omega(kn)$ কী জানা যায়?

একটি $(+,\times)$ সার্কিটটি স্কিউ হয় যদি প্রতিটি পণ্য গেটের দুটি ইনপুটগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি ভেরিয়েবল হয়। এ জাতীয় সার্কিটটি আসলে স্যুইচিং-এন্ড-রেক্টিফাইজিং নেটওয়ার্কের মতো (ভেরিয়েবল দ্বারা চিহ্নিত কয়েকটি প্রান্তযুক্ত একটি নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ; প্রতিটি সেন্ট পাথ তার লেবেলের উত্পাদন দেয়, এবং আউটপুটটি সমস্ত স্ট্যান্ড পাথের সমষ্টি)। ইতিমধ্যে 40 বছর আগে, মার্কভ একটি আশ্চর্যজনকভাবে শক্ত ফলাফল প্রমাণ করেছেন: $S_k^n$ এর জন্য একটি ন্যূনতম গণিত স্কিউ সার্কিটের ঠিক $k(n-k+1)$ পণ্য গেট রয়েছে। উপরের বাউন্ড ডুমুর থেকে অনুসরণ করে 1।

তবে নন-স্কু সার্কিটের জন্য এ জাতীয় নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করার কোনও প্রচেষ্টা আমি দেখিনি। এটি কি কেবল আমাদের "অহংকার", নাকি পথে কিছু সহজাত অসুবিধা লক্ষ্য করা যাচ্ছে?

পিএস আমি জানি যে গেটগুলি একই সাথে সমস্ত গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় । এটি 0-1 ইনপুটটি বাছাই করে মনোোটোন বুলিয়ান সার্কিটগুলির আকারের নীচে আবদ্ধ থেকে অনুসরণ করে; ইনগো ওয়েজেনারের বইয়ের 158 পৃষ্ঠা দেখুন । AKS বাছাই নেটওয়ার্কের যে বোঝা গেটস এই (বুলিয়ান) ক্ষেত্রে যথেষ্ট। আসলে, বাউর এবং জন্য নন-মোনোটোন গাণিতিক সার্কিটের আকারের উপর একটি কড়া বাঁধা করেছেন । তবে মনোোটোন পাটিগণিত সার্কিট সম্পর্কে কী বলা যায় ? $\Omega(n\log n)$ $S_1^n,\ldots,S_n^n$ $O(n\log n)$ $\Theta(n\log n)$ $S_{n/2}^n$

— Stasys
সূত্র

এক চ্যালেঞ্জ যদি আপনি "একঘেয়েমি" সীমাবদ্ধতা উঠিয়ে, আমরা যে কি জানেন দক্ষতার ধরনের জিনিস গনা কিভাবে। আপনি এফএফটি-ভিত্তিক বহুভুজের গুণটি ব্যবহার করে সময়ে সমস্ত (সমস্ত প্রাথমিক প্রতিসম মূল্যায়ন করুন ) গণনা করতে পারেন । সুতরাং, মনোোটোন সার্কিট মডেলটিতে একটি নিম্ন গণ্ডিকে প্রমাণ করার জন্য বহু yn গুণটির উপর একটি নিম্ন আবদ্ধ প্রমাণ করা প্রয়োজন । $S_0^n,\dots,S_n^n$ $n+1$ $O(n \log^2 n)$ $\Omega(nk)$ $\Omega(n^2)$

এখানে কিভাবে। একটি আনুষ্ঠানিক অজানা পরিচয় করান, এবং বহুবচন বিবেচনা করুন $y$

P (y) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i} y) ।

$P(y) = \prod_{i=1}^n (1 + x_i y).$

নোট করুন যেহেতু গুলি পরিচিত ধ্রুবক, তাই এটি অজানা এবং ডিগ্রি সহ একটি অবিবাহিত বহুপদী । এখন আপনি নোট করতে পারে সহগ মধ্যে ঠিক সব নির্ণয় করা, তাই , এটা গনা যথেষ্ট । $x_i$ $y$ $n$ $y^k$ $P(y)$ $S_k^n$ $S_0^n,\dots,S_n^n$ $P(y)$

এটা গনা সম্ভব করে তোলে মধ্যে সময়: সঙ্গে polynomials একটি সুষম বাইনারি ট্রি নির্মাণ 'পাতার এ s, এবং সংখ্যাবৃদ্ধি polynomials। ডিগ্রি এর দুটি বহুত্ববৃত্তিকে গুণিত করতে এফএফটি কৌশলগুলি ব্যবহার করে সময় লাগে , সুতরাং আমরা পুনরাবৃত্তি যা সলভ হয় । সুবিধার জন্য, আমি উপাদানগুলি উপেক্ষা করছি । $P(y)$ $O(n \lg^2 n)$ $(1+x_i y)$ $d$ $O(d \lg d)$ $T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$ $T(n) = O(n \lg^2 n)$ $\text{poly}(\lg \lg n)$

আপনি যেখানে যত্নশীল তাহলে খুব ছোট হয়, তাহলে আপনি গনা করতে মধ্যে অনুরূপ ঠাট ব্যবহার সময়, মনে রেখে আপনি শুধুমাত্র যত্নশীল (অর্থাত্, of বা উচ্চতর শক্তিগুলির সমস্ত পদ ফেলে দেওয়া )। $k$ $S_0^n,\dots,S_k^n$ $O(n \lg^2 k)$ $P(x) \bmod y^{k+1}$ $y^{k+1}$ $y$

অবশ্যই, এফএফটি বিয়োগফল ব্যবহার করে, তাই নির্বাকভাবে এটি একঘেয়ে সার্কিটে প্রকাশযোগ্য নয়। একঘেয়ে গণিতের সার্কিটের সাথে দক্ষতার সাথে বহুগুণকে আরও বহুগুণিত করার অন্য কোনও উপায় আছে কিনা তা আমি জানি না, তবে বহুগুণীয় গুণনের জন্য যে কোনও দক্ষ মনোোটোন পদ্ধতি তত্ক্ষণাত আপনার সমস্যার জন্য একটি অ্যালগরিদম বাড়ে। সুতরাং, আপনার সমস্যার নিম্ন সীমানার জন্য বহুত্ববৃত্ত গুণনের জন্য নিম্ন সীমাটি আবশ্যক।

— ডিডাব্লিউ
সূত্র

ডিডাব্লু, এই নির্মাণটি প্রত্যাহারের জন্য ধন্যবাদ! এটি সাধারণত বেন-অরকেই দায়ী করা হয় এবং আমার এটি উল্লেখ করা উচিত ছিল। অপারেটরকে ( মূল্যায়ন করে কিছু আকার এবং গভীরতা মাত্র (!) এর একটি <i> সূত্র </ i> দেয় পয়েন্ট)। এটি সমজাতীয় এবং অ-সমজাতীয় ছোট-গভীরতার সূত্রগুলি পৃথক করতে ব্যবহৃত হত। তবে, যেমন আপনি উল্লেখ করেছেন, নির্মাণটি বিয়োগফলকে যথেষ্ট পরিমাণে ব্যবহার করে। সুতরাং, আমার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করছে: এই ব্যবহারটি আসলে কতটা "যথেষ্ট"? সীমিত-গভীরতার দৃশ্যে এটি আকর্ষণীয়ও হতে পারে।

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

$3$

S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}

$S_0^n,\ldots,S_n^n$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

— স্টেসিস

@ স্ট্যাসিস: আমি মনে করি বিয়োগ বিয়োগ খুব গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ নীসান-উইগডারসন নিম্ন 3 সমজাতীয় সার্কিটের উপর আবদ্ধ ; একজাতীয় গভীরতা 3 সার্কিটের মধ্যে, বিন্দুটি হ'ল এর শর্তগুলি গণনা করা অযথাই যার ডিগ্রি আউটপুট ডিগ্রি থেকে পৃথক। সুতরাং এটি বাতিল হওয়ার ধরণের সীমাবদ্ধ করে can বেন-অর নির্মাণে গণনা করার জন্য, ডিগ্রি বহুপদী গণনা করা প্রয়োজন (যদিও আউটপুটটিতে ডিগ্রি ) এবং তারপরে ডিগ্রি এর শর্তাবলী থেকে মুক্তি পেতে গুরুত্বপূর্ণভাবে বাতিলকরণ ব্যবহার করুন । এটি কোনও প্রমাণ নয়, কেবল কিছু অন্তর্দৃষ্টি ...

S_{k}^{n}

$S_k^n$

n

$n$

k < n

$k < n$

> k

$> k$

— জোশুয়া গ্রাচো

@Joshua: হ্যাঁ, আমরা জানি যে ভেরিয়েবলের কোফিসিয়েন্টস বহুপদী মধ্যে ঠিক polynomials হয় । কিন্তু আমরা প্রয়োজন গাউস (এবং তাই - subtractions) থেকে এই কোফিসিয়েন্টস বের করে আনতে মান উপর স্বতন্ত্র পয়েন্ট। আমার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে যে এই ক্ষেত্রে "একঘেয়ে শব্দ" এর কোনও গাউস প্রকৃতপক্ষে নেই কি না । (অনুমান করা উত্তর সহ - না O) আমি নিশ্চিত নই যে এর জন্য, ডিগ্রি এর শর্ত থেকে মুক্তি পাওয়া যথেষ্ট । আমরা আছে এটি এই প্রথম কোফিসিয়েন্টস।

y

$y$

P (y, x)

$P(y,x)$

S_{k}^{n} (x)

$S_k^n(x)$

n + 1

$n+1$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

> k

$> k$

k

$k$

— স্টেসিস