পাটিগণিত সার্কিটগুলি কি বুলিয়ানের চেয়ে দুর্বল?

যাক একটি (অ-একঘেয়েমি) এর নূন্যতম আকারের গাণিতিক বোঝাতে সার্কিট কম্পিউটিং একটি প্রদত্ত multilinear বহুপদী $A(f)$ $(+,\times,-)$ এবং একটি (অ-একঘেয়েমি) এর নূন্যতম আকারের বোঝাতে বুলিয়ান সার্কিট কম্পিউটিংবুলিয়ান সংস্করণ এর দ্বারা সংজ্ঞায়িত:

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{e \in E} c_{e} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{e_{i}},

$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$

B (f)

$B(f)$

(\lor, \land, \neg)

$(\lor,\land,\neg)$

f_{b}

$f_b$

f

$f$

f_{b} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \underset{e \in E}{⋁} \underset{i : e_{i} \neq 0}{⋀} x_{i} .

$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$

বহুপদীগুলি কীভাবে চেয়ে ছোট, তার জন্য পরিচিত ? $f$ $B(f)$ $A(f)$

যদি আমরা বিবেচনা একঘেয়েমি কোন বিয়োগ - সার্কিট সংস্করণ এবং কোন না - গেটস তারপর এমনকি হতে পারে ব্যাখ্যা মূলকভাবে চেয়ে ছোট নিতে, উদাহরণস্বরূপ, সবচেয়ে কম St পথ বহুপদী: উপর ; তারপরে এবং $(-)$ $(\neg)$ $B(f)$ $A(f)$ $f$ $K_n$ $B(f)=O(n^3)$ । কিন্তু "অ-একঘেয়ে বিশ্বে" কী ঘটে? অবশ্যই,বড়ফাঁক পরিচিত করা যাবে না ঠিক কারণ আমরা অত্যধিক নিম্ন সীমা নেই। তবে সম্ভবত কিছু ছোট ছোট ফাঁক জানা আছে? $A(f)=2^{\Omega(n)}$ $A(f)$

উল্লেখ্য (15.03.2016) আমার প্রশ্ন, আমি নিদিষ্ট না কত বড় কোফিসিয়েন্টস

অনুমতি দেওয়া হয়। ইগর Sergeev আমাকে মনে পড়ল য়ে, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত (univariate) বহুপদী

হয়েছে

(Strassen এবং সম্প্রদায় তার গ্রুপ)। তবে

এই বহুপদী জন্য, যেহেতু

c_{e}

$c_e$

f (z) = \sum_{j = 1}^{m} 2^{2^{j m}} z^{j}

$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$

A (f) = Ω (m^{1 / 2})

$A(f)=\Omega(m^{1/2})$

B (f) = 0

$B(f)=0$

। আমরা থেকে আসছে পেতে পারেন

একটিবহুচলকীয়বহুপদী

এর

Kronecker প্রতিকল্পন ব্যবহার ব্যবহার ভেরিয়েবল। সঙ্গে সহযোগী প্রত্যেক এক্সপোনেন্ট

একটি monomial

, যেখানে

f_{b} (z) = z

$f_b(z)=z$

f

$f$

f^{'} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f'(x_1,\ldots,x_n)$

n = \log m

$n=\log m$

j

$j$

X_{j} = \prod_{i : a_{i} = 1} x_{i}

$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$

(a_{1}, \dots, a_{n})

$(a_1,\ldots,a_n)$

বাইনারি উপস্থাপনার 0-1 সহগ রয়েছে । তারপর পছন্দসই বহুপদী হয়

, এবং আমরা আছে

কিন্তু বুলিয়ান সংস্করণ

ঠিক একটি বা ভেরিয়েবল, তাই

j

$j$

f^{'} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} X_{j}

$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$

A (f^{'}) + n \geq A (f) = Ω (m^{1 / 2}) = 2^{Ω (n)} .

$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$

f^{'}

$f'$

, এবং আমাদের একটি তাত্পর্যপূর্ণ ব্যবধান রয়েছে। সুতরাং, কোফিসিয়েন্টস মাত্রার সংখ্যা তিনবার সূচকীয় হতে পারে

ভেরিয়েবল তারপর ফাঁকের

করতে পারেনএমনকি সূচকীয় দেখানো হবে না। (আসলে, না মাত্রার নিজেই -। আরো কোফিসিয়েন্টস এর বীজগাণিতিক নির্ভরতা) এই কেন রিয়েল সমস্যা

এর ক্ষেত্রে দেখা যায়ছোটকোফিসিয়েন্টস (আদর্শগতভাবে, শুধুমাত্র 0-1)। তবে এক্ষেত্রে, যিহোশূয়কে স্মরণ করিয়ে দেওয়ার সাথে সাথে, নীচের দিকের

B (f^{'}) \leq n - 1

$B(f')\leq n-1$

n

$n$

A (f) / B (f)

$A(f)/B(f)$

A (f)

$A(f)$

স্ট্র্যাসেন এবং বাউরের

(0-1 সহগ সহ) আজ আমাদের কাছে সেরা রয়েছে।

A (f) = Ω (n \log n)

$A(f)=\Omega(n\log n)$

— Stasys
সূত্র

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$ $\sum_{i=1}^n x_i^n$ $\Omega(n \log n)$ $x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

হাই জোশুয়া: আপনি ঠিক বলেছেন, স্থায়ী একটি (শর্তাধীন হলেও) উদাহরণ! ঠিক আছে, আমরা স্থায়ীভাবে কোনও (এফ) এর উপরের কোনও নিম্ন সীমাবদ্ধতা জানি না। তবে যদি ভিপি এবং ভিএনপি-র স্থির-মুক্ত সংস্করণগুলি পৃথক হয়, তবে আমরা বিচ্ছেদ বি (এফ) বনাম এ (চ) কোনও (প্রকৃত) সীমাটি না জেনে জানি।

— স্টেসিস

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

জোশুয়াতে: ডান, আবার ভাল পয়েন্ট। যদি f সমস্ত n একক ভেরিয়েবলের n-th শক্তির যোগফল হয়, তবে B (f) সর্বাধিক n হয় এবং বাউর-স্ট্র্যাসেন শো এ (এফ) কমপক্ষে n এর প্রায় লগারিদম হয়। এটি এ (চ) এর জন্য সর্বাধিক পরিচিত। সুতরাং, আমার প্রশ্নের সবচেয়ে বড় সুস্পষ্ট ব্যবধানটি কেবলমাত্র লোগারিথমিক। (একটি প্রশ্ন অন্যদিকে: আপনি কি জানেন যে আমার @ মন্তব্যগুলি সর্বদা কেন অদৃশ্য থাকে?)

— স্টেসিস

@ স্ট্যাসিস: দুর্দান্ত উদাহরণ। (পুনরায়: সরাইয়া। আমি করি না I আমি মনে করি যে সিস্টেমগুলি "অ্যাড-এড" কাদের বিষয়ে স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুক্রম করে এবং আপনি যদি "ডিফল্ট ব্যক্তি" এ কোনও বার্তা পরিচালনা করেন তবে এটি এটি সরিয়ে দেয় I আমি মনে করি ।)

— জোশুয়া গ্রাচো

ঠিক। কোনও পোস্টের লেখক সর্বদা নতুন মন্তব্যে অবহিত হন, সুতরাং সিস্টেমটি স্পষ্ট @ বিজ্ঞপ্তিটিকে অপ্রয়োজনীয় হিসাবে সরিয়ে দেয়।

— এমিল জেবেক