অসীম সেমিরিং নিয়ে অ্যাডলম্যানের উপপাদ্য?

এডলম্যান 1978 সালে দেখা গেছে যে : একটি বুলিয়ান ফাংশন যদি এর ভেরিয়েবল আকারের একটি সম্ভাব্য বুলিয়ান বর্তনী দ্বারা নির্ণিত করা যেতে পারে , তারপর একটি নির্ণায়ক দ্বারা নির্ণিত করা যেতে পারে এবং মধ্যে আকারের বহুবর্ষের বুলিয়ান সার্কিট ; আসলে, আকারের । $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $f$ $n$ $M$ $f$ $M$ $n$ $O(nM)$

সাধারণ প্রশ্ন: other অন্য কোন (বুলিয়ান ব্যতীত) সেমিরিংগুলি ধরে রাখে? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

একটি বিট আরো নির্দিষ্ট, একটি হতে সম্ভাব্য বর্তনী একটি semiring উপর তার "উপরন্তু" ব্যবহার এবং "গুণ '' গেটস যেমন অপারেশন ইনপুটগুলি ইনপুট ভেরিয়েবল এবং সম্ভবত কিছু অতিরিক্ত এলোমেলো ভেরিয়েবল, যা এবং এর মানগুলি সম্ভাব্যতার সাথে স্বতন্ত্রভাবে নেয় ; এখানে এবং যথাক্রমে, সেমিরিংয়ের যোগমূলক এবং গুণক পরিচয় এই জাতীয় সার্কিট a একটি প্রদত্ত ফাংশন গণনা করে $\mathsf{C}$ $(S,+,\cdot,0,1)$ $(+)$ $(\cdot)$ $x_1,\ldots,x_n$ $0$ $1$ $1/2$ $0$ $1$ $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ যদি প্রতিটি for , । $x\in S^n$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$

ভোটিং ফাংশন এর ভেরিয়েবল একটি আংশিক ফাংশন যার মান হয় যদি উপাদান চেয়ে বেশি মনে হচ্ছে, মধ্যে বার এবং অনির্দিষ্ট হয় , এই ধরনের কোন উপাদান যদি বিদ্যমান। চেরনফ এবং ইউনিয়নের সীমাবদ্ধতার একটি সহজ প্রয়োগ নীচের ফলাফল দেয়। $\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $y$ $y$ $m/2$ $y_1,\ldots,y_m$ $y$

মেজরিটি ট্রিক: যদি কোনও সম্ভাব্য সার্কিট a একটি ফাংশন গণনা করে একটি সীমাবদ্ধ সেট তে সেট করে থাকে তবে উপলব্ধি of যেমন সমস্ত রাখে । $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ $X\subseteq S^n$ $m=O(\log|X|)$ $C_1,\ldots,C_m$ $\mathsf{C}$ $f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$ $x\in X$

বুলিয়ান সেমিরিংয়ের পরে, ভোট গণনা function গণিত function সংখ্যাগরিষ্ঠ ফাংশন এবং এর ছোট (এমনকি একঘেয়ে) সার্কিট রয়েছে। সুতরাং, অ্যাডলেম্যানের উপপাদ্যটি গ্রহণ করে অনুসরণ করে । $\mathrm{Maj}$ $X=\{0,1\}^n$

তবে অন্যান্য (বিশেষত, অসীম) সেমিরিং সম্পর্কে কী বলা যায়? কি গাণিতিক semiring (চলিত উপরন্তু এবং গুণ সঙ্গে)? $(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

প্রশ্ন 1: নেই গাণিতিক semiring উপর হোল্ড? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

যদিও আমি "হ্যাঁ" বাজি ধরেছি, আমি এটি প্রদর্শন করতে পারি না।

মন্তব্য: আমি এই কাগজটি সম্পর্কে সচেতন, যেখানে লেখকরা বাস্তব ক্ষেত্রের claim দাবি করেন । তারা অ-মনোোটোন গাণিতিক সার্কিটগুলির সাথে লেনদেন করে এবং আউটপুট গেট হিসাবে voting ভোটদানের কার্যক্রমে সার্কিটগুলিতে (থিওরেম 4 এ) আসে । তবে কীভাবে এই গাণিতিক g গেটকে একটি গাণিতিক সার্কিট দ্বারা অনুকরণ করবেন (এটি একঘেয়ে হোক বা নাও)? অর্থাৎ কীভাবে তাদের করলারি 3 পাবেন? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$ $\mathrm{Maj}$ $\mathrm{Maj}$

প্রকৃতপক্ষে, সের্গেই গ্যাশকভ আমাকে (মস্কো বিশ্ববিদ্যালয় থেকে) নিম্নলিখিত সরল তর্কটি দেখিয়েছেন বলে মনে হচ্ছে যে এটি অসম্ভব (কমপক্ষে সার্কিটগুলির জন্য যা কেবলমাত্র বহুবচন গণনা করতে সক্ষম )। ধরুন আমরা কে বহুপদী । তারপরে বোঝায় , বোঝায় , এবং বোঝায় । এটি হ'ল কারণ, শূন্য বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রগুলিতে, বহুবচন-কার্যগুলির সমতা মানে সহগের সমতা। নোট করুন যে প্রশ্ন 1 এ, সম্ভাব্য সার্কিটের পরিসীমা এবং তাই, এর ডোমেন $\mathrm{Maj}(x,y,z)$ $f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$ $f(x,x,z)=x$ $c=0$ $f(x,y,x)=x$ $b=0$ $f(x,y,y)=y$ $a=0$ $\mathrm{Maj}$ -গেটটি অসীম । আমি তাই দেখে মনে হতে পারে শুধুমাত্র কম্পিউটিং গাণিতিক সার্কিট ফাংশন সাথে সংযুক্ত কাগজ আছে ছোট সসীম সঙ্গে রেঞ্জ মত । তারপরে আসলে একটি পাটিগণিত সার্কিট দ্বারা গণনা করা সহজ। তবে যদি ? $f:\mathbb{R}^n\to Y$ $Y$ $Y=\{0,1\}$ $\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$ $Y=\mathbb{R}$

সংশোধন [.0.০৩.২০১7]: পাস্কেল কোয়রান (এই কাগজের অন্যতম লেখক) আমাকে ইঙ্গিত করেছেন যে তাদের মডেল কেবল গাণিতিক সার্কিটের চেয়ে আরও শক্তিশালী: তারা সাইন-গেটগুলি অনুমতি দেয় ( ইনপুটটি নেতিবাচক কিনা তার উপর নির্ভর করে বা আউটপুট দেয়) না). সুতরাং, ভোটিং ফাংশন মেজর পারেন এই মডেলের কৃত্রিম হতে, এবং আমি আমার "বিভ্রান্তির" ফিরে নিতে।

0

$0$

1

$1$

গতিশীল প্রোগ্রামিংয়ের প্রসঙ্গে, বিশেষত আকর্ষণীয় হ'ল ক্রান্তীয় মিনি-প্লাস এবং সর্বোচ্চ-প্লাস সেমিরিংয়ের জন্য একই প্রশ্ন এবং । $(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$ $(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

প্রশ্ন 2: নেই গ্রীষ্মমন্ডলীয় semirings উপর হোল্ড? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

অনুষ্ঠিত এই দুটি semirings, এই যে যদৃচ্ছতা না গতি-আপ তথাকথিত "বিশুদ্ধ" গতিশীল প্রোগ্রামিং আলগোরিদিম করতে পারেন বোঝাতে চায়! এই অ্যালগরিদমগুলি কেবল তাদের পুনরাবৃত্তিতে ন্যূনতম / ম্যাক্স এবং যোগফলগুলি ব্যবহার করে; বেলম্যান-ফোর্ড, ফ্লয়েড-Warshall, অনুষ্ঠিত-Karp, এবং অন্যান্য অনেক বিশিষ্ট ডিপি আলগোরিদিম হয় বিশুদ্ধ। $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

এখনও অবধি, আমি একতরফা ত্রুটি দৃশ্যের অধীনে কেবলমাত্র প্রশ্ন 2 (সুনির্দিষ্টভাবে) জবাব দিতে পারি, যখন আমাদের অতিরিক্তভাবে মিনিট- প্লাস সেমিরিং (মিনিমাইজেশন), বা- সর্বাধিক-প্লাস সেমিরিং (সর্বাধিককরণ) এর উপরে। এটি হ'ল, এখন আমাদের প্রয়োজন যে এলোমেলো ক্রান্তীয় ক্রান্তীয় সার্কিট কখনই সর্বোত্তম মানের চেয়ে ভাল উত্পাদন করতে পারে না; এটি সর্বোত্তম মানের থেকেও আরও খারাপ মান দিয়ে ভুল করতে পারে। আমার প্রশ্নগুলি অবশ্য দ্বিমুখী ত্রুটির দৃশ্যের অধীনে । $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$

পিএস [২ 27.০২.২০১ Here এ যোগ করা হয়েছে]: এখানে প্রশ্ন 1 (উত্তরের সাথে) উত্তর দেওয়ার জন্য আমার চেষ্টা করা হয়েছে। এরদোস এবং স্পেনসারের কারণে এন পার্টাইট হাইপারগ্রাফগুলির জন্য জারানকিউইকজ সমস্যার একটি অনুমানের সাথে "কম্বিনেটরিয়াল নলসটেলেনস্যাটজ" এর একটি সহজ সংস্করণটি একত্রিত করার ধারণা দেওয়া হচ্ছে। এই পরবর্তী ফলাফলের মডুলো, পুরো যুক্তি প্রাথমিক।

নোট করুন যে প্রশ্ন 2 এখনও খোলা রয়েছে: "নিষ্পাপ নুলস্টেলেনস্যাটজ" (কমপক্ষে আমি যে ফর্মটি ব্যবহার করেছি) গ্রীষ্মমন্ডলীয় সেমিরিংগুলিতে ধারণ করে না।

— Stasys
সূত্র

নীট: বিপিপি একটি ইউনিফর্ম ক্লাস যা পিটিএম না সার্কিট ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

— কাভেহ

@ কাভাহ: হ্যাঁ, এই অর্থে অ্যাডলম্যানের ফলাফল আরও কিছুটা শক্তিশালী, এটি বিপিপি / পলির পক্ষেও রয়েছে।

— স্ট্যাসিস

কীভাবে সহজ যুক্তিটি অসম্পূর্ণতা দেখায় তা দেখবেন না ... এটি দেখে মনে হচ্ছে যে এক্স, ওয়াই এবং জেড মনোমালিকের সহগগুলি শূন্য হতে হবে ... আমি কী অনুপস্থিত? এছাড়াও, যদি একটি বহুপদী মেজর গণনা করতে না পারে, তবে আপনি আর কীভাবে একটি সেমির উপর দিয়ে কোনও গণনা উপস্থাপন করতে পারেন? (সেমিরিংয়ের উপরে বহুপদী ছাড়া আর কী?) স্বতঃস্ফূর্তভাবে, একটি অসীম ডোমেনের উপর দিয়ে, কিছু y এর প্রতিটি প্রতিবন্ধকতা (যেটি> </ 2 y এর উপর আপনাকে আউটপুট y করতে হবে) অন্যের "স্বতন্ত্র" বলে মনে হয় (কোনও বাধা নেই বলে বোঝায়) অন্য) সুতরাং মনে হচ্ছে কোনও "সসীম" বহুবর্ষ অসীম বহু স্বাধীন বাধা মেটাতে পারে নি।

— রায়ান উইলিয়ামস

@ রায়ান: হ্যাঁ, এটি কেবল এফ = মেজর বোঝায় h = মেজর। তবে এইচ এর ডিগ্রি> 1 রয়েছে, সুতরাং h (x, x, z) = x অসম্ভব। এবং আপনি ঠিক বলেছেন: সেমিরিংয়ের ওপরে সার্কিটগুলি অন্য কোনও কিছুকে বহুবচন হিসাবে গণনা করতে পারে না। সুতরাং, তারা মেজর গণনা করতে পারে না But তবে সেই কাগজের লেখকরা সমস্ত ক্ষেত্রের ক্রিয়াকলাপ অনুমোদিত {+, x, -, / allowed সার্কিটের সাথে করেন। সম্ভবত তখন মেজর এখনও কোনওভাবে গণনা করা যেতে পারে? (তবে আমি কীভাবে তা দেখতে পাচ্ছি না) বিটিডব্লিউ নিজেই মেজর অনুকরণ করার চেষ্টা করার পরিবর্তে, এক মেজ-গেটটি সার্কিটের আকারটি যথেষ্ট পরিমাণে হ্রাস করতে পারে না তা দেখিয়ে প্রশ্নোত্তর এবং প্রশ্নোত্তর উত্তর দিতে পারে (যা যথেষ্ট প্রশংসনীয়)।

— স্ট্যাসিস

@ রায়ান: পিএস ইগর সার্জিভ পর্যবেক্ষণ করেছেন যে মেজর "সম্ভাব্য গণনাযোগ্য (আর, +, এক্স, -, /) হতে পারে"। উদাহরণস্বরূপ মেজ (x, y, z) f (x, y, z) = (xy + xz-2yz) / (2x-yz) | | x, y, z} | = 2 সহ সমস্ত ইনপুটের জন্য গণনাযোগ্য। নোট করুন যে উপরের সরল যুক্তিটি ইঙ্গিত দেয় যে ইতিমধ্যে এই ধরণের ইনপুটগুলিতে এটি করা যায় না (আর, +, এক্স, -)। সুতরাং, বিভাগ সাহায্য করতে পারে। তবে আমরা 0 ইস্যু দ্বারা বিভাগটির মুখোমুখি ...

— স্টেসিস

এটি আপনার সাধারণ প্রশ্নের একটি আংশিক উত্তর (সম্পূর্ণরূপে সাধারণ গঠন কী হবে তা আমি নিশ্চিত নই) তবে এটি প্রস্তাব দেয় যে সীমিত ডোমেনে র্যান্ডমনেসকে সীমাবদ্ধ করার সময় পর্যাপ্ত সুন্দর অসীম সেমরিংয়ের উপর কাজ করা আসলে এই প্রশ্নটিকে তুচ্ছ করে তুলতে পারে কিনা অ্যাডলম্যানের উপপাদ্য ধারণ করে।

ধরুন আপনি জটিল সংখ্যাগুলির উপর কাজ করছেন , যাতে সার্কিটগুলি সেই ক্ষেত্রের উপরে বহুভুজগুলি গণনা করে এবং ধরুন যে ফাংশনটি নিজেই ভেরিয়েবলের কিছু বহুবর্ষীয় (তবে জটিল) দ্বারা গণনা করা হয়েছে । তারপরে দেখা যাচ্ছে যে ইতিমধ্যে কিছু স্থির , । কারণটি হ'ল প্রতিটি জন্য সাথে এর সেট একটি ar ম্যাথবিবি set একটি জারিস্কি-বন্ধ উপসেট নির্ধারণ করে এবং তাই অবশ্যই of এর সমস্ত হওয়া উচিত , না হলে শূন্য পরিমাপের একটি উপসেট। যদি এই সেটগুলির সকলের পরিমাপ শূন্য হয় তবে কেবল চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি $\mathbb{C}$ $f$ $x$ $r$ $C(x,r) = f(x)$ $r$ $x$ $C(x,r) = f(x)$ $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$ $r$ বিবেচনায় রাখা, সেট যেখানে এও পরিমাপ শূন্য থাকে। অন্যদিকে, ভাবনাটি হলো এই যে নির্ণয় এই সেট সব হতে হবে যে বোঝা , তাই এটি পরিমাপ শূন্য থাকতে পারে না। $x$ $\exists r : C(x,r) = f(x)$ $C$ $f$ $\mathbb{C}^n$

— অ্যান্ড্রু মরগান
সূত্র

মজাদার. আরও সাধারণভাবে, মাপের একটি সম্ভাব্য সার্কিট হল কিছু এলোমেলো পরিবর্তনশীল সি যা বেশিরভাগ এম গেট সহ সমস্ত সার্কিটের (সেই ধরণের) সেটগুলিতে এর মান গ্রহণ করে। [আল কাতারের কাগজ বিটিডব্লিউ। সি নির্বিচারে বিতরণ করা যায়। "সংখ্যাগরিষ্ঠ কৌশল" স্টিল কাজ করে।] আমি কি আপনার যুক্তি থেকে এই সিদ্ধান্তটি উপস্থাপন করতে পারি যে, সি এর পরিসীমা যদি সীমাবদ্ধ হয়, তবে জারিনস্কি-বদ্ধ সাবলেটগুলি তুচ্ছ হয় (নিজেকে সেট করে তোলে) বা শূন্য পরিমাপ হয়? গ্রীষ্মমন্ডলীয় সেমিরিংগুলিতে আমাদের কী এটি রয়েছে - "সমস্ত বা কিছুই নয়"? (আমি তাদের মধ্যে প্রধানত আগ্রহী))

— স্ট্যাসিস

আমি জানি না কীভাবে বা যুক্তিটি অন্যান্য সেমিরিংগুলিতে সাধারণীকরণ করবে, দুঃখিত। (আমার জন্য) যে অনুপস্থিত একটি প্রধান জিনিস হ'ল জ্যামিতিক অন্তর্নিহিততা কীভাবে "বহুবিধ যেগুলির সাথে একমত হয় না" তাকে " " এর "পরিমাপ-শূন্য উপগ্রহ" অনুবাদ করেবিশেষত গ্রীষ্মমন্ডলীয় সেমিরিংয়ের জন্য, অপারেশনগুলি সাধারণ বহুভুজ থেকে এতটাই আলাদা বলে মনে হয় যে উপযুক্ত অভিযোজনটি কী হওয়া উচিত তা অনুমান করাও শক্ত hard

C^{n}

$\mathbb{C}^n$

— অ্যান্ড্রু মরগান