একীকরণের ব্যবধান এবং আনুমানিক অনুপাত

যখন আমরা একটি মিনিমাইজেশন সমস্যার জন্য একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম বিবেচনা করি, তখন এই সমস্যার জন্য আইপি সূত্রের একীকরণের ব্যবধানটি নির্দিষ্ট অ্যালগরিদমের (যেমন গোলাকার বা প্রাথমিক দ্বৈত অ্যালগরিদম হিসাবে) জন্য একটি আনুমানিক অনুপাতের একটি নিম্ন সীমা দেয়। আসলে, এমন অনেকগুলি সমস্যা রয়েছে যার সেরা আনুমানিক অনুপাতটি ইন্টিগ্রালটির ব্যবধানের সাথে মেলে।

কিছু অ্যালগরিদমের কিছু সমস্যার জন্য ইন্টিগ্রালিটির ব্যবধানের চেয়ে আরও ভাল অনুমানের অনুপাত থাকতে পারে তবে আমি জানি না যে এ জাতীয় উদাহরণ বিদ্যমান আছে কি নেই। উত্তরটি যদি হ্যাঁ হয় তবে আপনি কিছু উদাহরণ দিতে পারেন?

আমি জানি যে কিছু সমস্যা একাধিক গাণিতিক সূত্রগুলি স্বীকার করে। এ জাতীয় ক্ষেত্রে গাণিতিক সূচনাকে ক্ষুদ্রতম ইন্টিগ্রালটির ফাঁক দিয়ে বিবেচনা করুন, যতক্ষণ না এটি বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধান করা যায় (সম্ভবত কিছু সূত্রগুলি বিচ্ছিন্নতা বাণী ব্যবহার করতে পারে)।

এই প্রশ্নটি [প্রশ্ন: সংহত গ্যাপের গুরুত্ব] এর সাথে সম্পর্কিত ।

— Snowie
সূত্র

আমি অনুমান করব যে জ্যামিতিক টিএসপি এই জাতীয় সমস্যার উদাহরণ হবে তবে আমার কোনও উল্লেখ নেই।

— জুলকা সুমেলা

এবং শিফট কৌশলটি ব্যবহার করে কোনও পিটিএএস স্বীকৃত সমস্যাগুলি সম্পর্কে কী বলা যায়? যেকোন একটিরও আইপি ফর্মুলেশন রয়েছে যথেচ্ছ ছোট সংহত গ্যাপের সাথে?

— জুলকা সুমেলা

@ জুক্কা জ্যামিতিক টিএসপি একটি ভাল উদাহরণ। 4/3 ইন্টিগ্রালিটি গ্যাপের উদাহরণটি একটি প্ল্যানার গ্রাফের একটি স্বল্পতম পাথ মেট্রিক এবং ইউক্লিডিয়ান টিএসপি বা

ফাঁক দিয়ে বিমানে

টিএসপি হিসাবে রূপান্তর করা সম্ভব হবে

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— লুকা ট্রেভিসন

আমি শুনেছি এটি একটি আকর্ষণীয় উন্মুক্ত প্রশ্ন হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে যে প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে সমস্যার জন্য পিটিএএসগুলি শেরেলি-অ্যাডামস বা লাসেরে শিথিলকরণের ধ্রুবক স্তরের ব্যবহার করে উপলব্ধি করা যায় কিনা। (যেখানে ধ্রুবক নির্ভরযোগ্য রেশনের উপর নির্ভর করে যেটি অর্জন করতে চায়।) এটি জানা উচিত, বা কমপক্ষে বর্তমানের কৌশলগুলির সাথে প্রমাণযোগ্য, যে ঘন গ্রাফগুলিতে পিটিএএস রয়েছে (যেমন সর্বাধিক কাটা) গ্রাফ সমস্যাগুলিও বহুবর্ষের একটি পরিবার রয়েছে ইচ্ছামত ছোট সংহত ফাঁক দিয়ে আকার শিথিলকরণ।

— লুকা ট্রুইসান

সম্পর্কিত প্রশ্ন: এমন কোনও সমস্যা আছে যা প্রমাণিত যে বহু-আকারের কোনও এলপি বর্তমান সর্বাধিক পরিচিত আনুমানিক অনুপাত দিতে পারে না? কিছু সীমাবদ্ধ ধরণের এলপির জন্যও কি এ জাতীয় বিষয়টি প্রমাণ করা সম্ভব?

— দানু

উত্তর:

হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে, বেশ কয়েকটি উদাহরণ আছে।

একটি শাস্ত্রীয় উদাহরণ সর্বাধিক মিল, যেখানে "প্রাকৃতিক" শিথিলকরণ (বিজোড় সেট সীমাবদ্ধতা ছাড়াই) এর ব্যবধান 2 থাকে, তবে অবশ্যই একটি দক্ষ অ্যালগরিদম থাকে। এটি সম্পূর্ণরূপে যোগ্যতা অর্জন করে না, কারণ ক্ষতিকারক আকারের এলপি রয়েছে যা উপবৃত্তাকার মাধ্যমে সমাধান করা যায়।

একটি আকর্ষণীয় জায়গা ক্যাপাসিটেড সুবিধার জায়গা। এখানে প্রাকৃতিক শিথিলতার সীমাহীন একীকরণের ব্যবধান রয়েছে। তবুও স্থানীয় অনুসন্ধান ভিত্তিক অ্যালগরিদমগুলি ধ্রুবক ফ্যাক্টরটির আনুমানিকতা দেয়।

আর একটি খুব আকর্ষণীয় এটি (যদিও এটি একটি সর্বাধিকরণের সমস্যা) হ'ল এই কাগজটি: http://www.cis.upenn.edu/jesanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf । এখানে এলপির একটি বিশাল ব্যবধান রয়েছে এবং এখনও একটি এলগোরিদম ব্যবহার করে যে এলপি আরও ভাল করতে পারে।

— কুনাল
সূত্র

আপনাকে অনেক ধন্যবাদ. এই উত্তরে আমি যা খুঁজছিলাম তা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, বিশেষত চক্রবর্তী এট আল-র দ্বারা লেখা FOCS কাগজ। (এই কাগজটি আমার খুব আগ্রহী)। সুতরাং আমি এই উত্তরটি গ্রহণযোগ্য হিসাবে সেট করেছি। যদিও আমি এখনও আরও উদাহরণ সন্ধান করছি এবং তাই যে কেউ অন্য উদাহরণ দিতে পারে তার খুব প্রশংসা হবে।

— স্নোই

বিভিন্ন উদাহরণ রয়েছে যার মধ্যে একটি সেমিডাইফিনেট প্রোগ্রামিং শিথিলকরণ একটি আনুমানিককে মঞ্জুরি দেয় যা লিনিয়ার প্রোগ্রামিং শিথিলকরণের জন্য জ্ঞাত একীকরণের ব্যবধানগুলির চেয়ে উচ্চতর।

উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড লিনিয়ার প্রোগ্রামিং শিথিলকরণ সর্বাধিক কাটটি 1/2 এর একীকরণের ফাঁক রয়েছে এবং এটি আরও অনেক পরিশীলিত লিনিয়ার প্রোগ্রামিং শিথিলকরণ (সিএফ দে লা ভেগা-কেনিনি এবং শোয়েনেবেক-ট্র্যাভিসান-তুলসিয়ানী) জন্য সত্য, তবে গোম্যানস -উইলিয়ামসন এসডিপি অ্যালগরিদমের সান্নিধ্য আছে 8৮৮ ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

সম্ভবত কম পরিচিত, কার্লফ এবং জুইক দেখিয়েছেন যে এসডিপি ব্যবহার করে কেউ সর্বাধিক 3SAT ব্যবহার করতে পারে, যে সংস্করণে 7/8 এর মধ্যে ক্লোজ 1, 2 বা 3 আক্ষরিক থাকতে পারে, যখন গেমেন্স এবং উইলিয়ামসন একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং শিথিলকরণ শিখিয়েছিলেন যে তারা একটি 3/4 প্রায় অনুমান প্রমাণ করতে ব্যবহৃত (ইন্নাকাকাসীরা অন্যান্য পদ্ধতির দ্বারা আগে 3/4 প্রায় অনুমান করেছিলেন), এবং সর্বোচ্চ 3 এসএটি-র গোয়েমনস-উইলিয়ামসন এলপি শিথিলকরণটি সহজেই ইন্টিগ্রালিটির ফাঁক 3/4 দেখতে পাওয়া যায়।

— লুকা ট্রেভিসান
সূত্র

GF_2- র মাধ্যমে লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সমাধান করার বিষয়ে অনুদানেরও একটি ফলাফল রয়েছে। ভাল সমাধান সহ সমীকরণ সিস্টেমগুলির জন্য, আপনার 2 এর একটি এসডিপি ইন্টিগ্রালিটির ফাঁক রয়েছে (খুব শক্ত আকারে) তবে আপনি সমস্যার সমাধান করতে গাউসিয়ান এলিমিনেশন ব্যবহার করতে পারেন।

— YI WU
সূত্র