মনোটোন গণিত সার্কিট

Question

সাধারণ গাণিতিক সার্কিট সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানের অবস্থা বুলিয়ান সার্কিট সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানের অবস্থার সাথে সমান বলে মনে হয়, অর্থাৎ আমাদের ভাল নিম্ন-সীমানা নেই। অন্যদিকে আমাদের একঘেয়ে বুলিয়ান সার্কিটের জন্য ক্ষুদ্রতর আকারের নিম্ন-সীমা রয়েছে ।

মনোোটোন গণিত সার্কিট সম্পর্কে আমরা কী জানি ? আমাদের কি তাদের জন্য একই রকম ভাল নিম্ন-সীমা রয়েছে? যদি তা না হয় তবে প্রয়োজনীয় পার্থক্য কী কী যা আমাদের একরঙা গাণিতিক সার্কিটের জন্য একই রকম নিম্ন-সীমানা পেতে দেয় না?

প্রশ্নটি এই প্রশ্নের মন্তব্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় ।

Comments

আমি পাটিগণিতের সার্কিট এবং বুলিয়ান সার্কিটের মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে আরও ভাল বোঝার চেষ্টা করছিলাম এবং আপনার উত্তরগুলি পড়া আমাকে আরও ভাল ধারণা অর্জনে সহায়তা করেছিল। আকর্ষণীয় উত্তর (এবং প্রশ্ন) জন্য অনেক ধন্যবাদ।

— কাভেহ

Answer 1

একজাতীয় গাণিতিক সার্কিটের জন্য নিম্ন সীমানা আরও সহজ হয় কারণ তারা বাতিল করতে নিষেধ করে। অন্যদিকে, আমরা সার্কিট কম্পিউটিং বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য ঘনিষ্ঠ নিম্ন সীমাগুলি প্রমাণ করতে পারি এমনকি যদি কোনও একঘেয়ে বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন $g:R\times R\to R$ প্রবেশদ্বার হিসাবে অনুমোদিত হয় (উদাহরণস্বরূপ বিভাগটি 9.6 দেখুন বইটিতে) )।

যদিও মনোোটোন পাটিগণিত সার্কিটগুলি মনোোটোন বুলিয়ান সার্কিটের তুলনায় দুর্বল (পরে আমাদের $a\land a=a$ এবং $a\lor (a\land b)=a$ ) রয়েছে, তবুও এই সার্কিটগুলি গতিশীল প্রোগ্রামিং (ডিপি) অ্যালগরিদমের সাথে তাদের সম্পর্কের কারণে আকর্ষণীয় । এ জাতীয় বেশিরভাগ অ্যালগরিদমগুলি সেমিরিং ওভার সার্কিট দ্বারা অনুকরণ করা যায়$(+,\min)$$(+,\max)$। গেটস তখন অ্যালগরিদমের দ্বারা ব্যবহৃত সাব-প্রবলেমের সাথে সামঞ্জস্য হয়। জেররম এবং স্নির (ভি বিনয়ের গবেষণাপত্রে) বাস্তবে যা প্রমাণ করেছে তা হ'ল ন্যূনতম ওজন পারফেক্ট ম্যাচিংয়ের জন্য (পাশাপাশি টিএসপি সমস্যার ক্ষেত্রে) যে কোনও ডিপি অ্যালগরিদমকে তাত্পর্যপূর্ণভাবে অনেকগুলি সাব-প্রবলেম উত্পন্ন করতে হবে। তবে পারফেক্ট ম্যাথিং সমস্যাটি "ডিপি ফ্লাওয়ার" এর নয় (এটি বেলম্যানের অনুকূলতার নীতিটি পূরণ করে না )। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং (ডিপি নয়) এই সমস্যার জন্য অনেক বেশি উপযুক্ত।

সুতরাং উপযুক্ততাযুক্ত ছোট ডিপি অ্যালগরিদমগুলির দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে এমন অপ্টিমাইজেশন সমস্যাগুলি সম্পর্কে কী - আমরা তাদের জন্যও কম সীমাবদ্ধতা প্রমাণ করতে পারি? এই ক্ষেত্রে খুব আকর্ষণীয় কেররের একটি পুরানো ফলাফল (তাঁর পিএইচডি তে প্রপঞ্চ 6.1 )। এটি বোঝায় যে ক্লাসিকাল ফ্লয়েড-ওয়ারশাল ডিপি অ্যালগরিদম অল-পেয়ার্স শর্টেস্ট পাথস সমস্যার জন্য (এপিএসপি) সর্বোত্তম : সাবপ্রব্লেমগুলি প্রয়োজনীয়। আরও মজার বিষয় হ'ল কেরের যুক্তিটি খুব সহজ (জের্রাম এবং স্নির ব্যবহৃত তুলনায় অনেক সহজ): এটি কেবলমাত্র ডিস্ট্রিবিউটিভিটি অক্ষ ব্যবহার করে , এবং এর একটি যুক্তি সেট করে মিনি-গেটগুলি "হত্যা" করার সম্ভাবনা । এইভাবে তিনি প্রমাণ করেন যেa + min ( b , c ) = min ( a , b ) + min ( a , c ) 0 n 3 n × n ( + , min $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$প্লাস-গেটগুলি সেমিরিং উপরে দুটি ম্যাট্রিককে গুণতে প্রয়োজনীয় । সেক্টরে আহো, হপকক্রফ্ট এবং ওলম্যানের বইয়ের ৫.৯ এ দেখানো হয়েছে যে এই সমস্যাটি এপিএসপির সমস্যার সমতুল্য।$n\times n$$(+,\min)$

পরবর্তী প্রশ্ন হতে পারে: একক উত্স শর্টেস্ট পাথ (এসএসএসপি) সমস্যা সম্পর্কে কী? বেলম্যান-ফোর্ড ডিপি অ্যালগরিদম এটির জন্য (মনে হয় "সহজ" বলে মনে হচ্ছে) গেটও ব্যবহার করে। এটি কি সর্বোত্তম? এখন পর্যন্ত, সংক্ষিপ্ত পথ সমস্যার এই দুটি সংস্করণের মধ্যে কোনও বিচ্ছেদ জানা যায়নি; এই লাইনে ভার্জিনিয়া এবং রায়ান উইলিয়ামসের একটি আকর্ষণীয় কাগজ দেখুন । সুতরাং, এসএসএসপি-র একটি নিম্ন নিম্নতর -সর্কিটগুলি দুর্দান্ত ফলাফল হবে। পরবর্তী প্রশ্ন হতে পারে: ন্যাপস্যাকের জন্য নিম্ন সীমানা সম্পর্কে কী? এই খসড়াটিতে ন্যাপস্যাকের জন্য নিম্ন সীমানা সার্কিটের দুর্বল মডেলটিতে প্রমাণিত হয়েছে যেখানেΩ ( এন 3 ) ( + , মিনিট ) ( + , সর্বোচ্চ ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-গেটস সীমাবদ্ধ; পরিশিষ্ট কেরারের প্রমাণ পুনরুত্পাদন করা হয়।

Answer 2

হ্যাঁ। আমরা ভাল নিম্ন সীমানা জানি এবং আমরা তাদের বেশিরভাগ সময় ধরে জানি।

Jerrum এবং Snir প্রমাণিত একটি আবদ্ধ নিম্ন সূচকীয় 1980 দ্বারা স্থায়ী বীর এমনকি দেখিয়েছেন একটি একক বিয়োগ গেট জন্য একঘেয়েমি গাণিতিক সার্কিট উপর ব্যাখ্যা মূলকভাবে বেশি শক্তিশালী ।

(একঘেয়েমি) গাণিতিক সার্কিট সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য, গাণিতিক সার্কিটের উপর শিলপিলার জরিপটি পরীক্ষা করে দেখুন ।

Comments

শিপিলকার স্লাইড এবং এই পৃষ্ঠায় ভিডিওটিও উল্লেখযোগ্য ।

— হারুন স্টার্লিং

Answer 3

$2k$$k$

Answer 4

এটি কি গণনা করে: মৌলিক পরিসীমা অনুসন্ধানের সমস্যার (অফলাইন সেটিংসে) চ্যাজেলের আধা-গোষ্ঠীর নিম্ন সীমানা । সমস্ত নিম্ন সীমাগুলি প্রায় অনুকূল (নিম্ন সীমাটি বহুপদী এবং লগ লগ শর্তাবলী যখন নিম্ন সীমাটি বহুগঠিত হয় তখন লগ শর্তাবলী) are

Comments

কোনটি আমাকে জিজ্ঞাসা করতে পরিচালিত করে যে এই সীমাগুলি আরও শক্তিশালী করা হয়েছে?

— সাশো নিকোলভ