মাইক ডে দ্বারা এই প্রক্রিয়াটিতে একটি দুর্দান্ত রচনাআপ রয়েছে:
https://d3cw3dd2w32x2b.cloudfront.net/wp-content/uploads/2012/07/euler-angles1.pdf
0.9.7.0, 02/08/2015 সংস্করণ অনুসারে এটি এখন গ্ল্যামেও প্রয়োগ করা হয়েছে। বাস্তবায়ন পরীক্ষা করে দেখুন ।
গণিতটি বুঝতে, আপনার ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের মানগুলি দেখতে হবে। এছাড়াও, মানগুলি যথাযথভাবে নিষ্কাশনের জন্য আপনার ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে আবর্তনগুলি প্রয়োগ করা হয়েছিল এমন ক্রমটি আপনাকে জানতে হবে।
ইউলার কোণ থেকে একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সটি x-, y-, এবং z- অক্ষগুলির চারপাশে ঘূর্ণনগুলির সমন্বয় করে গঠিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, জেডের চারপাশে θ ডিগ্রি ঘোরানো ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে করা যেতে পারে
┌ cosθ -sinθ 0 ┐
Rz = │ sinθ cosθ 0 │
└ 0 0 1 ┘
এক্স এবং ওয়াইয়ের অক্ষগুলি ঘোরানোর জন্য অনুরূপ ম্যাট্রিকগুলি বিদ্যমান:
┌ 1 0 0 ┐
Rx = │ 0 cosθ -sinθ │
└ 0 sinθ cosθ ┘
┌ cosθ 0 sinθ ┐
Ry = │ 0 1 0 │
└ -sinθ 0 cosθ ┘
আমরা একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে এই ম্যাট্রিকগুলি একসাথে গুণ করতে পারি যা তিনটি ঘূর্ণনের ফলাফল। এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে এই ম্যাট্রিকগুলি একসাথে গুণিত হওয়ার ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ ম্যাট্রিক্সের গুণটি পরিবর্তনীয় নয় । এর অর্থ Rx*Ry*Rz ≠ Rz*Ry*Rx। আসুন একটি সম্ভাব্য ঘূর্ণন ক্রম বিবেচনা করুন, জাইএক্স। যখন তিনটি ম্যাট্রিক একত্রিত হয়, তখন এর ফলাফলটি একটি ম্যাট্রিক্সে আসে:
┌ CyCz -CySz Sy ┐
RxRyRz = │ SxSyCz + CxSz -SxSySz + CxCz -SxCy │
└ -CxSyCz + SxSz CxSySz + SxCz CxCy ┘
আবর্তনের কোণের Cxকোসাইন কোথায় x, আবর্তনের কোণের Sxসাইন xইত্যাদি
এখন, চ্যালেঞ্জ মূল বের করে আনতে হয় x, yএবং zমান যে ম্যাট্রিক্স চলে গেলেন।
প্রথমে xকোণটি বের করা যাক। যদি আমরা জানি sin(x)এবং cos(x), আমরা atan2আমাদের কোণটি ফিরিয়ে দিতে বিপরীত স্পর্শকাতর কাজটি ব্যবহার করতে পারি । দুর্ভাগ্যক্রমে, এই মানগুলি আমাদের ম্যাট্রিক্সে নিজেরাই উপস্থিত হয় না। তবে, যদি আমরা উপাদানগুলি ঘনিষ্ঠভাবে লক্ষ্য করি M[1][2]এবং M[2][2], আমরা দেখতে পাই যে আমরা -sin(x)*cos(y)পাশাপাশি জানি cos(x)*cos(y)। যেহেতু স্পর্শকাতর কার্যটি ত্রিভুজের বিপরীত এবং সংলগ্ন দিকগুলির অনুপাত, তাই উভয় মানকে একই পরিমাণে স্কেল করে (এই ক্ষেত্রে cos(y)) একই ফলাফল দেবে। সুতরাং,
x = atan2(-M[1][2], M[2][2])
এখন আসার চেষ্টা করা যাক y। আমরা জানি sin(y)থেকে M[0][2]। আমাদের যদি কোস (y) থাকে atan2তবে আমরা আবার ব্যবহার করতে পারতাম , তবে আমাদের ম্যাট্রিক্সে সেই মান নেই। তবে পাইথাগোরিয়ান পরিচয়ের কারণে আমরা তা জানি:
cosY = sqrt(1 - M[0][2])
সুতরাং, আমরা গণনা করতে পারি y:
y = atan2(M[0][2], cosY)
সর্বশেষে, আমাদের গণনা করা দরকার z। মাইক ডে-এর দৃষ্টিভঙ্গি পূর্ববর্তী উত্তর থেকে আলাদা। যেহেতু এই মুহুর্তে আমরা কীভাবে xএবং yঘূর্ণনের পরিমাণ জানি , তাই আমরা একটি এক্সওয়াই রোটেশন ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে পারি, এবং zলক্ষ্য ম্যাট্রিক্সের সাথে মিলের জন্য প্রয়োজনীয় ঘূর্ণনের পরিমাণটি খুঁজে পেতে পারি । RxRyম্যাট্রিক্স ভালো দেখায়:
┌ Cy 0 Sy ┐
RxRy = │ SxSy Cx -SxCy │
└ -CxSy Sx CxCy ┘
যেহেতু আমরা জানি যে RxRy* Rzআমাদের ইনপুট ম্যাট্রিক্সের সমান M, তাই আমরা ফিরে পেতে এই ম্যাট্রিক্সটি ব্যবহার করতে পারি Rz:
M = RxRy * Rz
inverse(RxRy) * M = Rz
একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের বিপরীত তার TRANSPOSE হয় , তাই আমরা এই প্রসারিত করতে পারেন:
┌ Cy SxSy -CxSy ┐┌M00 M01 M02┐ ┌ cosZ -sinZ 0 ┐
│ 0 Cx Sx ││M10 M11 M12│ = │ sinZ cosZ 0 │
└ Sy -SxCy CxCy ┘└M20 M21 M22┘ └ 0 0 1 ┘
আমরা এখন ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য sinZএবং cosZসম্পাদন করে সমাধান করতে পারি । আমাদের কেবল উপাদানগুলির গণনা করতে হবে [1][0]এবং [1][1]।
sinZ = cosX * M[1][0] + sinX * M[2][0]
cosZ = coxX * M[1][1] + sinX * M[2][1]
z = atan2(sinZ, cosZ)
এখানে রেফারেন্সের জন্য একটি সম্পূর্ণ বাস্তবায়ন:
#include <iostream>
#include <cmath>
class Vec4 {
public:
Vec4(float x, float y, float z, float w) :
x(x), y(y), z(z), w(w) {}
float dot(const Vec4& other) const {
return x * other.x +
y * other.y +
z * other.z +
w * other.w;
};
float x, y, z, w;
};
class Mat4x4 {
public:
Mat4x4() {}
Mat4x4(float v00, float v01, float v02, float v03,
float v10, float v11, float v12, float v13,
float v20, float v21, float v22, float v23,
float v30, float v31, float v32, float v33) {
values[0] = v00;
values[1] = v01;
values[2] = v02;
values[3] = v03;
values[4] = v10;
values[5] = v11;
values[6] = v12;
values[7] = v13;
values[8] = v20;
values[9] = v21;
values[10] = v22;
values[11] = v23;
values[12] = v30;
values[13] = v31;
values[14] = v32;
values[15] = v33;
}
Vec4 row(const int row) const {
return Vec4(
values[row*4],
values[row*4+1],
values[row*4+2],
values[row*4+3]
);
}
Vec4 column(const int column) const {
return Vec4(
values[column],
values[column + 4],
values[column + 8],
values[column + 12]
);
}
Mat4x4 multiply(const Mat4x4& other) const {
Mat4x4 result;
for (int row = 0; row < 4; ++row) {
for (int column = 0; column < 4; ++column) {
result.values[row*4+column] = this->row(row).dot(other.column(column));
}
}
return result;
}
void extractEulerAngleXYZ(float& rotXangle, float& rotYangle, float& rotZangle) const {
rotXangle = atan2(-row(1).z, row(2).z);
float cosYangle = sqrt(pow(row(0).x, 2) + pow(row(0).y, 2));
rotYangle = atan2(row(0).z, cosYangle);
float sinXangle = sin(rotXangle);
float cosXangle = cos(rotXangle);
rotZangle = atan2(cosXangle * row(1).x + sinXangle * row(2).x, cosXangle * row(1).y + sinXangle * row(2).y);
}
float values[16];
};
float toRadians(float degrees) {
return degrees * (M_PI / 180);
}
float toDegrees(float radians) {
return radians * (180 / M_PI);
}
int main() {
float rotXangle = toRadians(15);
float rotYangle = toRadians(30);
float rotZangle = toRadians(60);
Mat4x4 rotX(
1, 0, 0, 0,
0, cos(rotXangle), -sin(rotXangle), 0,
0, sin(rotXangle), cos(rotXangle), 0,
0, 0, 0, 1
);
Mat4x4 rotY(
cos(rotYangle), 0, sin(rotYangle), 0,
0, 1, 0, 0,
-sin(rotYangle), 0, cos(rotYangle), 0,
0, 0, 0, 1
);
Mat4x4 rotZ(
cos(rotZangle), -sin(rotZangle), 0, 0,
sin(rotZangle), cos(rotZangle), 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 1
);
Mat4x4 concatenatedRotationMatrix =
rotX.multiply(rotY.multiply(rotZ));
float extractedXangle = 0, extractedYangle = 0, extractedZangle = 0;
concatenatedRotationMatrix.extractEulerAngleXYZ(
extractedXangle, extractedYangle, extractedZangle
);
std::cout << toDegrees(extractedXangle) << ' ' <<
toDegrees(extractedYangle) << ' ' <<
toDegrees(extractedZangle) << std::endl;
return 0;
}